Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
| Гл. 1. Введение в анализ
Покажем, например, что семейство S = {{or, /?}, {а}, {/?}, {у}, 0 } — полукольцо. Действи тельно, пересечение любых двух элементов семейства S снова является элементом S. Далее, для всякого элемента S справедливо разложение: {а, 0} = {а} и {0}, {а} = {а}, {/?} = {/?}, {у} = {у} на непересекающиеся множества. Таким образом, семейство S — полукольцо. ► 12. Пусть три числа а, b и с удовлетворяют неравенствам а < с < Ь. Показать, что семейство s = {[а, Ь], [а, с], [с, 6 ], [а, с[, [с, с], ]с, 6 ], 0 }, состоящее из сегментов и полусегментов, образованных точками о, Ъ и с, является полуколь цом, но не кольцом. Ч Пересечение любых двух элементов семейства S есть элемент этого же семейства, т. е. S замкнуто относительно операции пересечения. Далее, любой элемент семейства S допускает разложение на непересекающиеся части, принадлежащие S. Например, [а, Ь] = [а, с]|_1]с, Ь] = [о, c[U[c, c]U]c, b] = [а, c[U[c, 6 ], [а, с] = [а, c[U[c, с] и т. д. Семейство S не является кольцом, так как оно не замкнуто относительно объединения. На пример, [а, с[и]с, Ь] не принадлежит S. ► 13. Доказать, что (А П В) х (D П Е) = (А х D) п (В х Е). ( 1 ) ◄ Пусть (г, у) £ (А П В) х (D П Е), тогда я € А П В и j 6 й П £ , что равносильно тому, что х £ А А х £ В и у £ D А у £ Е. А поскольку х £ А А у £ D, то (г, у) £ А х D . Аналогично, п з х £ В Л у £ Е следует (я, у) £ В х Е. Таким образом, (я, у) £ (А х D) П (В х Е) и (А П В) х (D Г\ Е) С (А х D) П (В х Е). (2) Предположим теперь, что (я, у) € ((А х D) П ( В х Е)). Тогда (я, у) € (А х D) А (я, у) € (В х Е) и, следовательно, я € А Л у £ D и х £ В Л у £ Е. Отсюда х £ А Г\ В и у £ D П Е, т. е. (я, у) £ ((А П В) х (D П Е)) и справедливо включение (А х D) П (В х Е) С (А П В) х (D П Е). (3) Из включений ( 2 ) и (3) следует ( 1 ). ► Упражнения для самостоятельной работы 1 . Доказать равенства: а) С U Ам = Р|С А М; б ) С П А м = и С А „ М М / 1 / 1 (см. равенства (2) п. 1.4), где ц принадлежит произвольному множеству. 2. Пусть А С В и D произвольные множества. Доказать справедливость включений: а) А П D С В П D; б) A U D С В U D. 3. Доказать, что если A C B h A c D , то A c B n D . 4. Доказать, что если A C D a B c D , t o A U B c D. 5. Доказать справедливость равенств: а) А Д В = (A U В )\(А П В)\ б) A U В = (А Л В) Л (А П В); в) А \ В = А А (А П В). 6 . Доказать, что для симметрической разности справедливо включение А А В С ((A A D) U (В A D)). 7. Доказать справедливость включений: а ) (Ai U А 2 )\(В , U В 2) С (А ,\Я ,) U (А 2 \В 2); б) (СА, U СА2) Д (СП, и СП2) С С((СА, Д СП,) П (СА 2 Д СИ2)), где А ,, А2, В ,, В 2 — подмножества множества J . 8 . ' Доказать что: а) (A, U А2) Д (П, U В2) С (А, Д В ,) U (А 2 Д В2); б) (Л) п А2) Д (В, П В2) с ( А , Д В , ) л (А 2 Д В2); " -в)■ (АД'А2) Д (В ,\В 2) С (А, Д В ,)\(А 2 Д В2), где А,., А 2, В ,, В 2 — подмножества множества 3 . 9. Определить множества A U В, А П В, А \В , В\А, А А В, если: |