22 Гл. 1. Введение в анализ Будем для простоты обозначать через R одновременно множество всех действительных чисел, упорядоченное пространство действительных чисел и упорядоченное поле действи тельных чисел, различая смысл обозначения по тексту изложения. Например, если записано
х € R, то здесь R — множество действительных чисел. Если сказано, что х sj у в R, то под
R понимаем упорядоченное пространство. Наконец, если записано х + у < z в R, то R озна
чает упорядоченное поле действительных чисел. В случае, если по тексту изложения не ясен
смысл обозначения, то будем пользоваться более сложными обозначениями.
Для действительного числа х введем следующие характеристики: |х| — модуль х , sgn х —
отрицательная часть х . Они вводятся по пра-
3.4. Основные характеристики действительного числа. знак х,
вилам:
положительная часть х, х -X,
если х ^
0
,
еслих <
0
;
Г *•
sgn х = <
0
,
l -
1
.
если х >
0
,
если х =
0
,
если х <
0
;
г х-
если х >
0
,
_ / о ,
если х >
0
,
если х ^
0
;
X = <
1 если х <
0
.
Очевидны следующие соотношения между этими характеристиками Vx
6
R:
x = |x|sgnx,
|x| = xsgnx,
X = х+ — х ~ , |х| = х+ + х"
ж+ = М + х
-
=
2
■
При решении задач часто применяются неравенства
— |х| ^ —х ^ х ^ х+ ^ |х|, |х| ^ О, х + ^
0
, х~ ^
0
.
(
1
)
(
2
)
Вместе с указанными характеристиками полезно также рассмотреть функции М —►
R :
х *-♦ |х |, х к-» sgnx, х и i + , х —> х_ , графики которых изображены на рис. 17—20. Первая и
вторая функции являются мультипликативными отображениями, поскольку из определения
этих функций следуют равенства
|ху| = |х||у|,
sgn (ху) = (sgn x)(sgn у)
V(x €
R,
у €
R).
Каждая из указанных функций, за исключением “sgn”, обладает свойством: множество
