Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

76
Гл. 1. Введение в анализ
= Нт
X—> + оо
\ А + 1 +
1
+ 2\ A + T j ( \ А + 1 + 1 + х
1 6 6 .
liin ( \ / х 3 4- Зх2 — \ / х 2 — 2х) .
X —*+ оо
◄ Прибавляя и вычитая х, получим
lim ( у / х 3 -f Зх2 — \J х 2 — 2т) = lim ( \ / х 3 — Зх2 — х) 4- lim (х — \ / х 2 — 2х) = 1 + 1 = 2.
Р 
—* + 0 0
х
—* + о о
х
—* + о о
1 6 7 .
lim ( V (x + ai)(x + а2) ... (х + а„) — х).
х - * + о о
◄ Положим - = t, тогда t —►
+0 при х —►
+оо и
\ / ( х + “ОО* + аг) .. • (х 4- ап) - х = ^  +
— -,
где P(t) = (ai +
“2
+ • • • + о,п) t 4- (ai а 
2
+ ai п.з + • • • 4" a-п—lfln) t2 4" • • • 4" ai 
0,2
• • • antn ■
Используя результат примера 162, находим, что искомый предел равен
ai 4" а2 4" • • • 4- Ип
1 6 8 .
lim
х—
.+ 
00
4 Имеем
(х — \/х 2 — 1)" 4- (х 4- \/х'2 — 1)"
lim
*—+00
(х — л/*2 — 1)" 4- (* 4- V x 2 — 1)" _
= lim 
------ l7= ^= A + lim ( l + J l - \ )
Х
—+00
\ х ( х  4- 
у
/
х
2 — 1) /
х—+со 1 
V 
]
1й О V 
(V l 4- X2 4- х ) п -  (л/1 
4
- X2 - х)"
1 о У . lim --------------------- ------------------- -— (п — натуральное число).
е члены, получаем
= lim — ^пх ( у Д Щ  
4- о (х)^ =
= 0 4- 2” = 2". ►
◄ Возводя в п-ю степень и приводя подобные члены, получаем
цю У И * +  »)и - ( У ^ ~ *Г _ Км а
= lim 2 | п
X —+Q
^ х /Г + х 2^
п_1 + £1£)) =2». ►
х
Найти пределы:
1 7 0 .
lim
х — т
sm 
п х
◄ Положим х = ж + t, t —►
0. Тогда 
sinm x 
.. 
sin(mir + mt) 
( - l ) m sm m i
i - » s m nx 
t—o sm(»jr-fn<) 
t—o (—l ) n smn<
m
= ( _ i r
_ „ m
1. m
^
= ( _ i ) m
n t—o mt 
sin nt 
n
1 7 1 .
lim
1 — cos x
x — o 
x *
◄ Пользуясь первым замечательным пределом, находим
1 — cosх 
2sin2 f
lim ----- ----- = lim ------——
x
—*-0 
X *
x - * 0
X
2
Таким образом, 1 — cos x =
4- о (x2) при x —►
0. ►
= Um 
1
 f^iV = 
V  
, - . 2 \
)  
2

§7. Предел функции
77
1 7 2 .
Km
.г—О X
◄ Из неравенства |1 — cosх| = 2sin2 § < |х| вытекает, что
.. 
tg x
sinx 
1
urn cosx = 1, 
lim ---- : lim --------------- = 1.
x — 0 
x — 0 
X 
x —0
X 
COS X
Таким образом, tg x = x -f о (x) при x —*• 0. ►
1 7 3
Km ^ п ®г — sin 3x 
x—o 
sin x
◄ Пользуясь асимптотическим разложением, находим
sin 5 x — sin Зх 
5x — Зх + о(х)
.... ------------- -— = iim --------------- -
lim
x-+0
2
. 
►
X + 0 (x)
лгг л 
1 4- sin x — cos x
1 7 4 . Kin ------ :---------------- .
x—O 1 4- sin p i — cos px
•4 Поскольку при x —►
0 имеем 1 — cosx = о(х), 1 — cospx = о(х), sinx = х + о (х), 
sinpx = рх + о (х), то
14- s in x — cosx 
.. 
x f o f x )
1
Km ------:---------------- = Km ---------►
x—o 1 4- sm px — cospx 
x—o px + о (x) 
p
1 7 5 .
Доказать равенства:
2
n *__ |
a) lim sinx = sin a; 6) Km cosx = cos а; в) K m tgx = tga, a ф — -— it; n € Z.
x
—>-a 
x
—>-a 
x —*a 
2
◄ а) Имеем 
0 ^ | sin x — sin a\ = 
б) Аналогично
Л . x — a 
x 4- a I
2 sm —-— cos —-— < 2
x — a
0 < I cos x — cos al =
„ . x — a . x 4-a 
2 sm —-— sm
^ |x — a|, 
Km sin x = sin a.
< |x — a| и 
Km cos x = cos a.
2 
2
в) Km tg x = ^~,‘cosI- =
= tg а, если cos а ф 0, т. e. если а ф 
n € Z. ►
X—
►
<» 
'
Найти пределы:
1 7 6 .
lim sinf - si* a ,
.г-* a 
X — а
◄ Очевидно,
.. 
sm х — sin а 
lim ---------------= Inn
х —*X — d
x —*a
x—a
n • 
x — a
x 4 - a
w _
2 sm - j - cos - f -
sin —
x + a 
,
------------------— = lim ------• lim cos-----------= 1 • cos й = cos a
x~~a 
- 
2
x — a
x-*a
x
—* a
(здесь воспользовались тем, что cosx —►
cosb при x —*b). ►
1 7 7 . lim Ctg- * ~ C tg a .
a?-*a 
Ж — a
◄ Пользуясь формулой разности котангенсов, находим
u „ ctS* - ctga _ u_ sin (a - x) 
1 
_ Цщ f  sin(a - x)
a — x
x — a
x — a
 
sin 
X 
• sin 
a 
X 
— a 
x — a
1 
V 
1 
1
—----- Km —---- = — r~j—>
sm 
a 
x—a sm x 
sin a
a ф кг, к € Z.' ►
1 7 8
К i cos (a + 2x) — 2 cos (a 4- x) 4- cose
x—0 
x2
◄ Выражение в числителе преобразуем в произведение, имеем
cos (а 4-2х) — 2 cos (а 4 -х) 4-cos a 
1 /
х . (  
З х \ 
. х . /
шп ----------------------г-------------------- = lim —г I —2 sin — sm ( а 4- — ) 4- 2 sin — sm I a 4-
x-o 
x2 
x-o x2 V 
2 
V 
2 /
. 2 
V
= Km ( — Дг- • 2sin ^ • 2sin ^ cos(a 4- x)^ = —cosa. ► 
x-o V x2 
2 
2 
/
b*
| H

78
Гл. 1. Введение в анализ
1 7 9 . lim 
ctS 
(о 
+ 2х) — 2ctg («4- * )4 -ctg a
x —0 
X 2
◄ Аналогично предыдущему
lim Ct3 --a 
+ 2X)--- 2c^g 
+ ctS a 
lim \  ((ctg (a 4 -2 x )-c tg (a 4 -x ))-(c tg (a 4 -x )-c tg a )) =
= lim —r , . , —„ .
x—о x* \s m (a + 2s)
x-»Q 
x
sin
in x
 
sin x 
\ _
) sin (a -f x) + sin (a + x) sin a )
= l i m (
x
—.0
ysin(a -f x) \ x J
2 cos (a + x) 
sin a sin(a 4- 2x)
а ф kiг, к € Z. ►
)
_ 2 cos a 
sin3 a ’
1 8 0 . lim
2 sin2 x 4~ sin x — 1
x_ £ 2 sin2 i — 3 sin x 4-1
6
◄ Разлагая числитель и знаменатель на множители, получаем 
2 sin2 х + sin х — 1
~ 
~ - х
.. 
(sinx 4 -l)(2 sm x — 1) 
.. 
s m x 4 -l 
, ^
lim — - о ----- — ----------- --- lim 
-------- - f ; —-------- - f = lim -------- - = —3. ►
£ 2sin ж — 3sinx 4-1 
x~* —
(sinx — 1)(2sinx — 1) 
“ ‘
в 
6
__ * sin x — 1 
* e
1 8 1 . lim
tg3x — 3 tg x
- 3 
}(* +f)
◄ Разлагая числитель на множители, имеем
f a
У = Um
* - f cos(*4- у) 
х-,1
cos (х 4- f )
®*п (®~f)
,• 
. 
Л
тг\ 
Sin 1 - Г
(
я \
= lim 
tg *
I 
tg * 4- tg —
) 
----------- - j i -----------r =
lim 
tg® I tg * 4- tg — 1
X— Z 
\ 
3 / COS 
X 
COS J Sin ( J — xj 
x_ £
'
3 /
- = - 2 4 . ►
1 8 2 .
Um tg (a ~b x) tg (a — x) — tg2a 
I
—0
 
x2
◄ После очевидных преобразований находим
Um ^ + « i i g ( « .- .5 ) - * g 2" = Um j _ ( ts 2« - t g 2* _
=
*—о 
*2 
x—o x2 \ 1 — tg2a tg2x 
у
= Um 
- ^ p ( t g 4a — 
1) 
= tg4a — 
1
 
=
cos 2a
cos* a
1 8 3 .
Um 
,.... - . x -----
.
x—о y/\ 4- * sin x — y/cosx
◄ Уничтожая иррациональность в знаменателе, получаем
m2
Um
= lim
x2(V l 4~ x sin x 4~ Vcos x) _
i / l + x sin x 4- л/cos x
-**. /-------- :---- 
. 
— in.. — , , 
• 
= Um
x— о v l + x sm x — ycos x 
x-»o 
14
-x sm x — cosx 
x—o
1 
— COS X
, 
sin 
X
t
2 
* -r
Бели * —*■
0, то 1 4- xsinx —►
1, а тогда (см. пример 144) V l 4- х sin ж —*• V l = 1. Аналогично 
Vcosx —►
1 при х —*■
0. Далее, 
|
) —1’ J ПРИ ® —* 0. Следовательно,
Vl + 1 sin 
х
+ Vе08 * _ 4
1 1
i — 
c o s х
' 
s i n
х
о ‘ 
^
*—0 
- 
2
---- 1-------
3
184. 
lim
х-*0
Vcos х — у cos а 
sin2 х

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: