Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 1 8 8 . lim (1 -Ь x2) ctg *. х— *0 ◄ Аналогично предыдущему lim (l + x2) ct82* = exp {lim x2ctS2x} = exp | lim | = е. ► 1 8 9 . lim
- 1 9 1 . lim ( } + Ь*-х ) * ° Г ; . x0 4 1 + Sin X /
- Поскольку sin - + cos - = - + l + o ( l ) при x —► oo, lim (sin
- 1 9 4 . lim Ъ £ - * ± Я x — +
- 1 9 7 . a) lim --------, a > 0; 6) lim
- 1 9 8 . lim --- —— (и
| § 7. Предел функции
79 lim ◄ Вычтем и прибавим в числителе единицу, тогда t / cosx — -^cos х х —*0 S i n X ( у / COS X — 1 1 — -(VcOS ж \ = lim . 2----- + ----- г ^2 ------ = 1—0 у sin X sin X J = lim ( — i —о у si COS x — 1 1 — COS X sin 2 x ( a / cosi + 1 ) + sin 2 * 1 4 . ,J/cosx + ^cos 2 x ) " 1 — COS X = bill ------ 5 ---- x —0 X i Г ______ l ____ + 1 ^ = I Г- I + M = - JL. V sin x / у cos x T-1 1 .(. f/Eosx -1- у / cos2 x / 2 V 2 3 / 12 Здесь воспользовались тем, что tycasx —* 1 при х —>• 0 , а это следует из примеров 175 и 154. ► 1 8 5 . Доказать, что lim (sin у/х + 1 — sin yfx) — 0. Ж—»+ о о ◄ Действительно, | sin у/х + \ — sin у/х | = Л . у / х + 1 - у/х у/х + 1 + у/х 2 s in ------- ----- !!— cos —----------- -— 2 2 < 2 1 2( у / 7 Т Т + у/х) 1 у/х + 1 + т/х r2yfx < ^ 7 = < е при X > ^ . = £(е). ► Докажем следующие утверждения: A) lim ах = ах° , а > 0 ; Б) lim lnx = lnxo; В) lim (« (х ))* ^ = а 6 при условии, что Ve > 0 36 > 0 : 0 < |х — Хо| < 6 =» (0 < |«(х) — о) < X - * X q е) Л (0 < |«(х) - Ь\ < г). 4 А) Достаточно рассмотреть случай а > 1. Имеем \ах — ах° | = ах°\ах~х° — 1 |. 1 _ i_ Поскольку lim а " = lim a n = 1, ю для произвольного е > 0 существует такое по, что п —ю о п - ю о е - — — s 1 ------- < а по < а по < 1 + ----- . а*° ахо Тогда при |х — хо| < ~~ имеем £ _ J_ _ J_ £ 1 ------- < а "о < ах х° < a n° < 1 + ----- . а х о а 1 о ' т. е. |а* - а*°| = ах°\ах~х° - 1| < е при |х - хо| < Б) Имеем - i - < l n ( l + i ) < ---- 3 _ < l n ( l - i ) < - i K f l \ 11 / n n — 1 \ n / n при » > 1. Таким образом, при n > 1 ---- Ц - < l n ( l - i ) < b ( l + i ) < w — 1 \ П/ \ П/ n Пусть e > 0 — произвольное число, не превосходящее j . Тогда существует такое по, что - е < In ( l —) < In (1 + — ) < е. \ по/ V « о/ Если взять 1 х — Хо 1 ----- < --------- < — , По хо но 80 Г л. 1. Введение в анализ то для разности In х — lnxo = In ^1 + х~*° j получим следующую оценку: - ‘ или | In х — In хо| < е, если только |х — хо| < хо®. В) Согласно условию и пункту Б), к(х)1пм(х) —► Ып а при х —♦ хо- Тогда, на основании А), имеем / ч l i m v ( x ) lim ( m ( x ))v ( i ) = lim ev(-x)lnuW = eblna = ab = ( lim u(x) Г -**0 . ► X - * X q X - + X q \ X - * X 0 J Найти пределы : 186. lim x —»oo / x + 2 V2x + 1 -4 Согласно утверждениям A)—В), имеем lim x —►oo lim exp x —>-oo x_±2_l 2x + 1 / Поскольку In **2, < 0 при достаточно больш их x , a lim x 2 = + ° o , то искомый пред ел pa- 1 x —»oo вен 0. ► Замечание. Решение примеров 187—192, 200, 201, 208, 209, 210 основано на простом примере раскрытия неопределенности 100. Пусть lim и(х) = 1, lim v(x) = оо. Тогда, на основании утверждения В), получаем I - . I Q X—>.Т 0 Иш X —* X Q lim X - + X Q (* + (» _ 1 \ ( и-1)г' Г 1 ■ 1 ))“ - 1 ) = ехр < lim (и — 1 )tr > . ) кх~ хв ) 187. lim х2 + 1 ◄ В нашем случае м = У У г = х 2; ( и — 1)п = - У - . Следовательно, / V + i y 2 Г ,. Зх2 1 .3 = ^ { t L ^ Г 2 / = е • 1 8 8 . lim (1 -Ь x2) ctg *. х— *0 ◄ Аналогично предыдущему lim (l + x2) ct82* = exp {lim x2ctS2x} = exp | lim | = е. ► 1 8 9 . lim (1 -f sin x x ) cts,rx X —* 1 ◄ Очевидно, § 7. Предел функции 81 ◄ Имеем / 1 + tg х \ JnTx Г,, tg x — smx 1 1 Г.. 2 a n - 1 0 lim ( — —г— ) = exp < Inn ------ :--------- ----}• = exp < lim ------- 7- —2--- r- > = e = 1 . ► i - o V l + s m i / Lx— *o 1 + sin x s m i j (^-.о cos x (1 + sm x) J 1 9 1 . lim ( } + Ь*-х ) * ° Г ; . x~0 4 1 + Sin X / А На основании примечания о раскрытии неопределенности вида 1°°, при вычислении предела показательно-степенного выражения и” имеем / tg * — sin х 1 (и — 1)V = ----- ;--------—5—♦ 1 + sin X sin X Поскольку при х —► О tg х — sin х = tg х (1 — cos х) ~ — , 1 + sin х ~ 1, sin х ~ х , то lim(м — 1) d = lim _ л ' ' _ л I Таким образом, Urn (1±$1Л »>"3* = е 2 = V?- ► х— .о ч 1 -|- sm х / 1 9 2 . lim (sin — + cos . X -.00 \ x x / А Поскольку sin - + cos - = - + l + o ( l ) при x —► oo, lim (sin - cos M = 1, to X X X V S / м . iv, \ X O B / x— *o o 'Г lim (sin — + cos — ^ = exp / lim ( — + о ( i ^ x l = e. ► x —*■ oo \ X X j l x —oo \X \ x JJ i 1 9 3 . lim M l ± £ ) . x — 0 x А На основании утверждения В), имеем lim ~L.?) - lim ln f ( l + t ) i ] = In e = 1. x — 0 x x —o / Таким образом, ln (l + i ) = i + o ( i) при * —► 0. ► 1 9 4 . lim Ъ £ - * ± Я x — + oo ln (x 10 + 1 + 1) А Вынося за скобки в числителе и знаменателе старшие степени х и пользуясь утвержде нием Б), находим 1п(х2 - х + 1) 2 1n x + l n ( l - i + 1 lim ■ 7 ----------— = lim ---------------- 7------ ;—г = - . ► x—+oo ln (x 10 + X + 1) X-.+ 00 10ln X + l n ( l + ^9 + Jio ) 8 1 9 5 . lim ! l i ^ ± fc ) + lg K ,- fc.) - i l i £ , , > o. h—0 ft2 ◄ На основании свойств логарифмов и утверждения Б), получим lim } g ^ ..,+ ft) + 1i ( ; - fe) - 21S 2: = um - U Л - = /t—-о h 2 Л—*o h 2 у x 2 J lge lim ln --Y X2 J ha lg e 1 9 6 . lim ln cos ax о ln cos bx 82 Гл. 1. Введение в анализ ◄ Пользуясь асимптотическими равенствами (см. примеры 178 и 193), получаем In cos аж Inn --------— = Inn х—о In cos bx In ( l - + 0 (x2)) + o(x2) 2 2 2 2 1 “ v" > a x a _ lim — -------- — = lim ts —- = -гг- ► In ( l - + a (x2)) x~° - H f - + o(x2) *~ob2 ax — i (i + * 0 ^ - i 1 9 7 . a) lim --------, a > 0; 6) lim ------------- (ц ■ — действительное). x—О Ж *-.0 ж ' ◄ а) Пусть ах — 1 = t. Тогда t —> 0 при х -> 0, поэтому ах — 1 tin а In а lim --------= lim -——---- 77 = lim :——-----г— т~ = In а. х2 Ь2 б) Очевидно, lim = lim = х —*0 etl 1П(1+®) x—0 X t—o l n ( l + t ) t—o ln(l + 1)1/' Таким образом, ax = 1 + ж In a -f о (x) при x —► 0 (ex = 1 + x + о (x)). Min(,+x) * = /*> так как /‘ Ч 1 + *) — 0 ПРИ х —► 0, lim ем"1п(; - у = 1, lim = 1 (на основании утверждения Б); примеров 197, а) и 193). Таким образом, (1 + х)^ = 1 + цх + о (х) при х —► 0. ► 1 9 8 . lim --- —— (и — действительное). I -о ж2 ◄ Используя результат предыдущего примера, получаем .. 1 —cos^x . (1 + (cosx — 1))д — 1 1 — cos х и, x—о cos x — 1 x2 2 x—0 i n n Л e*J - (c o s x )^ ax - xa 1 9 9 . a) lim ------- -- — -— ; 6) l i m --------- x—о X2 x — a x — a ◄ а) Имеем , a > 0; в) lim „ a i 2 __ 2 a ^ <■ . e cos x — 1 , a Ф 0. e x — (co ex )^ __ ег'2 — 1 1 — (co sx)^ x2 x2 + x2 На основании примеров 197, а) и 198 находим, что искомый предел равен 1 + б) После очевидных преобразований получим а * - *а _ д а а - а - 1 + ж — а х — а ^^2. Предел первого слагаемого (см. пример 197, а)) равен а“ 1па. Предел второго слагаемого (см. пример 197, б)) равен аа. Следовательно, , . Д X а | а а , а п т --------- = а In а — а = а In —. в) Имеем cos2n х — 1 (еах — 1) cos2a ж + cos2a х — 1 еах —1 2а 1 — cos2a х -------------- = i- ---------- 1------- ------------------- = ------- -— a cos х ---------- -------. х2 ж2 а х 2 х2 Поскольку lim -----j — rv cos2a ж = a , lim x — О а г x —О нулю. ► = а , то предел всего выражения равен 2 0 0 . lim a > 0. х —*а X — (I Хх_ ◄ Представим функцию: = ¥>г(х). Очевидно, ¥>i(*) ¥>(х) в виде суммы двух слагаемых: <р(х) = — Н е “ 1 п х ( е ( х - о ) 1 п х _ 2 ^ (х — a) In х •lnx. 83 § 7, Предел функции Так как при х —► о ео1п* —» а°, е^д_ ^ [п J 1 —► 1, In х —► I n а, то lim y>i(x) = «а 1па. Далее, - и М - к . • • № ■> - . • » , <■ ?. Окончательно получаем lim = в“ In а + аа = а“ 1п(ае). ► . lim ( 1 + 4 ж—0 у 1 + S1 sin х cos ах сг#*х 2 0 1 . .................. sin*cospa: / ◄ Ищем предел показательно-степенного выражения и”; имеем (при х —► 0) cos ах — cos f)x cos3 х (и — l)i> = 1 + sin х cos fix sin2 a: ( £ f ^ 2 + ° ( * 2)) ( l - £ l + 0 (x2))3 £ ^ я 2 + 0 ( ,» ) жүктеу/скачать 16,21 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|