Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
§ 1. Элементы теории множеств
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
| § 1. Элементы теории множеств
7 1.3. Булева алгебра. Пусть А, В и D — произвольные подмножества множества 3 ■ Тогда непосредственно из определений объединения, пересечения и дополнения вытекают следующие предложения: V) А и В С. 3 , АС\ В С. J (замкнутость операций объединения и пересечения); 2) A U В = В U А, А П В — В П А (коммутативность операций объединения и пересече ния); 3) A U (В U D) — (A U В) U D, А П (В П D) = (А П В) П D (ассоциативность операций объединения и пересечения); 4) A U (В П D) = (A U В) П (Л U D) (дистрибутивность операции объединения относи тельно операции пересечения); А П (В U D) = (А П В) U (А П D) (дистрибутивность операции пересечения относительно операции объединения); 5) А и А = А Л А = А; 6 ) (A U В = В) & (А П В = А); 7 ) A U 0 = A, A D J - A , А П 0 = 0 , A U J = J ; 8 ) A U СА = 3 , А П GA = 0 . Если для элементов множества а = {А , В, С, . .. } определены объединение U и пересече-. ние П, для которых выполняются отношения 1)— 8 ), то тройка (tr, и, Л) называется булевой алгеброй. Таким образом, если <т — семейство всех частей множества 3 , то (<г, U, Л) — булева алгебра. 1.4. Принцип двойственности. Для произвольных подмножеств А и В множества 3 справедливы равенства C ( A U В) = С А Г \С В , С ( АЛ В) = С А и С В . (1) Свойства, записанные равенствами (1), называются принципом двойственности. Их можно прочитать следующим образом: дополнение к объединению множеств равно пересече нию их дополнений, а дополнение к пересечению множеств равно объединению их дополнений. Без труда принцип двойственности переносится на произвольное число подмножеств Ам; при этом записывают жүктеу/скачать 16,21 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|