Глава 1
Введение в анализ
§ 1. Элементы теории множеств
1.1. Логические символы.
В математике часто некоторые словесные выражения заменяют посредством символов.
Так, например, символом V заменяют выражение “для произвольного” , или “для любого”, или
“какого бы ни было”, а символом 3 — выражение “существует”, или “Найдется”. Символы
V
и 3 называются
кванторами.
Запись
А
В (
импликация)
означает, что из справедливости высказывания
А вытекает
справедливость высказывания
В. Если, кроме того, из справедливости высказывания
В вы
текает справедливость
А , то
записываем А
В. Если
А
В, то высказывание
В является
необходимым и достаточным условием для того, чтобы выполнялось высказывание
А.
Если предложения
А и
В справедливы одновременно, то записываем
А А В . Если же
справедливо хотя бы одно из предложений
А или
В , то записываем Л V
В.
1.2. Операции над множествами.
Математическое понятие
множества элементов принимается в качестве интуитивного.
Множество задается правилом или признаком, согласно которому определяем, принадлежит
ли данный элемент множеству или не принадлежит.
Множество обозначают символом
А = {ж}, где
х — общее наименование элементов мно
жества
А. Часто
множество записывают в виде А = {а,
Ь, с,...}, где в фигурных скобках
указаны элементы множества
А.
Будем пользоваться обозначениями:
N — множество всех натуральных чисел;
Ъ — множество всех целых чисел;
(Q) — множество всех рациональных чисел;
R — множество всех действительных чисел;
С — множество всех комплексных чисел;
Ъо — множество всех неотрицательных целых чисел.
Запись
а €
А (или
А Э
а) означает, что элемент
а принадлежит мно
жеству
А.
Запись
а £ А (или
А $ а) означает, что элемент
а не принадлежит
множеству
А.
Множество
В , все элементы которого принадлежат множеству
А, назы
вается
подмножеством множества
А, и при этом записывают
В С. А (или
А Э
В) (рис. 1). Всегда
А
С
А, так как каждый элемент множества,
естественно,
принадлежит А. Пустое множество, т. е. множество, не со
держащее ни одного элемента, обозначим символом
0
. Любое множество
содержит пустое множество в качестве своего подмножества.
О п ред елен и е 1.
Если А
С
В
А
В С А, то А и В называются
равными множествами, прг
1
этом записывают А = В.
О п ред елен и е 2.
Если А С
3 , то множество элементов множества
3 , не принадлежащих А, называется дополнением множества А к мно
жеству
J (рис.
2
).
Дополнение множества
А к множеству
3 обозначают символом
C j A
или просто ОА, если известно, к какому множеству берется дополнение.
Таким образом,
Достарыңызбен бөлісу: 
