Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
| С1 К = П С^ ’
с П л" = и с ^ - (2) м м м и В этом случае символ дополнения С можно менять местами со знаком U или П, при этом знаки эти переходят один в другой. 1.5. А лгебра множеств. Пусть J — некоторое множество, а Р ( 3 ) — система всех подмножеств множества 3 • О п ред елен и е 1. Непустое семейство R С Р ( 3 ) , замкнутое относительно операций объединения, пересечения и разности множеств, называется кольцом множеств. О п ред елен и е 2. Множество Е называется единицей семейства множеств И, если Е 6 £ и VA € £ справедливо равенство А Л Е — А. О п ред елен и е 3. Кольцо множеств, содержащее в качестве своего элемента единицу, называется алгеброй множеств. О п ред елен и е 4. Семейство множеств S С Р{ содержит пустое множество и если VA € S и VAi С А существуют такие множества А 2 , А з , . . . , А п € S, что А = Ai U А 2 U ... U Ап, где символ U означает объединение непересекающихся множеств. 1 . Доказать справедливость отношений 1 )— 8 ) пункта 1.3. •4 1) По определению 3, п. 1.2, A U В = {х € 3 :х € A V х е В}, следовательно, из включения х € A U В следует х € У , т . е. A \J В С. 3 ■ Аналогично, по определению 4, п. 1.2, А Л В = {t 6 / : х е А А х б В}, поэтому из включения х € А Л В следует включение A n B C j - 8 2) Поскольку высказывание х € А V х 6 В равносильно высказыванию х € В V х с А, то A \J В = {х £ J : х £ A V х £ В ) = {х £ J \ х £ В У х е А ) = В \J А. Второе равенство доказы вается аналогично. 3) В силу свойств логического сим вола V, имеем A U ( 5 U B ) = { i 6 l7 : i 6 J4 V i e ( f l U £))} = { i e j : i € A V ( r е в V * е D )} = = {x € 3 : (x € A V X € В) V x € £>} = {x € 3 ■ x e (-4 U В) V x € D} = (A U B) U D. Второе равенство из 3) доказы вается аналогично. 4) Имеем Л и (В П D) - {х 6 3 : х € А V х € {В П £>)} = = {х € J : х £ А V (х е В Л х € D)} = {х € J : (х € A V х £ В) Л (х € А V х € D)} = = {* € J ■ ■ (* € Л U В) А {х € A U £>)} = (Л U В) П (Л U D). Второе равенство доказывается аналогично. 5) Пусть а; € Л U Л, тогда х € А А х € А, т. е. х € Л и, тем самым, справедливо включение Л U Л С Л, Обратное включение А С A U А непосредственно следует из определения объединения. Из двух последних включений вытекает равенство A U А = Л. Равенство Л П А = А доказывается аналогично. 6 ) Предположим, что справедливо равенство А Л В = Л. Тогда (Л П В = Л) =*• (Л С Л П В) => (Л С В). Пользуясь полученным включением, находим Л и В = { х € J : i € A V x e 5 } C { x e J : i 6 B V i e B } = 5 . А поскольку Л U В Э В , то Л U В = В. Таким образом, (А Л B = A ) = > ( A U B = B). ( 1 ) Пусть теперь Л U В — В. Тогда справедливы импликации (Л U В = В) => (Л U В С 5 ) => (Л С 5 ). Пользуясь включением А С В, находим А Л . 8 = { х € 17 : : с € А Л х € В } э { ж € . 7 : : с € А Л х е А } = А . А поскольку справедливо и обратное вклю чение А л В С Л, то А Л В = А, следовательно, ( А и В = Я ) = > ( А л £ = А). ( 2 ) Из (1) и (2) следует (АС\ В = А) & (A U В = В). 7) Если x € A U 0 , t o x € A V x € 0 . Поскольку м нож ество 0 не содерж ит ни одного элемента, то из х € A U 0 следует х € Л, т. е. A U 0 С Л, что совместно с вклю чением Л U 0 Э Л равносильно равенству Л U 0 = Л. Далее, и з 0 С Л Л 0 С 0 непосредственно следует равенство Л Л 0 = 0 . Поскольку АС. 3 1 т о А Л 17 = { х € 1 7 : ж € А Л х € .7}, Э { х € У : х € Л Л х € Л } = А , что совместно с включением Л Л J С Л влечет равенство Л Л ,7 = А. Наконец, непосредственно из вклю чений J С A l l J С 3 следует равенство A U 3 = 3 ■ I 8 ) Согласно свойству 1), A U C A C 3 . (3) Пусть х £ 3 , тогда если х € Л, то х € Л U СЛ; если же х 0 Л, то х € СА и снова х € Л U СЛ. Таким образом, из х € 3 следует х € Л U СЛ, т. е. 7 C A U C A . (4) Из (3) и (4) следует равенство Л U СЛ = 3■ (5) Для доказательства равенства Л Л СЛ = 0 покажем, что множество Л Л СЛ не содержит ни одного элемента. Действительно, согласно равенству (5), любой элемент множества 3 принадлежит Л или СЛ. Если х € Л, то х 0 СЛ и, следовательно, х 0 Л Л СЛ. Если же х € СЛ, то ж £ А (так как если бы х 6 А, то х £ СЛ), и снова х ^ Л Л СЛ. Поскольку множество Л Л СЛ не содержит ни одного элемента, то это множество пустое, т. е. Л Л СЛ = 0 . ► жүктеу/скачать 16,21 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|