Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

199
§11. Построение графиков функций по характерным точкам
Отсюда следует, что при х — а достигается максимум, равный ~ . Далее,
У
П
е
откуда следует, что в точке х = 2а имеется перегиб функции у, причем при х <
2
а график
X 9
функции выпуклый вверх, а при х > 2а — вниз. Так как хе_ “ —*■ 0 при х —►
+оо, то прямая 
у =
0
является асимптотой графика функции при х —* -foo.
2
. 
Если а < 
0
, то, как легко видеть, этот случай сводится к предыдущему, если в нем 
заменить у на —у, а х на —х.
График семейства изображен на рис. 51, 52. ►
У праж нения для сам остоятел ьн ой р аботы  
Построить графики следующих функций:
404.
а) / ( х ) = sup {sin х, cos х, tg 
х}; 
б) /( х ) = inf {sinx, cosx, tgx}.
405.
x = tcost , y = tsi nt , z = t. 
406. 
x = acost, у = acos2<, £ = cos3t.

Найти геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют следующим урав­
нениям:
407. ( l — х
2
— |1 — х2\)2 4- у2 = 0.
408. (2 - х 2 - |1 - х 2\ - | 1 - у| - |у|) ( 2 - у2 - |1 - у2\ -  |1 - х| - |х |) = 0.
409. х 2 + у 2 + 9 - |х
2
4- у2 - 1| - |2 - у\ - \у + 3| - |х| - |5 - х| = 0.
410. 2 - у - |1 - х - у| - |1 + х - у| - |у| = 0.
§ 12. Задачи на максимум и минимум функции
1 8 9 .
Доказать, что если функция /( х ) неотрицательна, то функция F( x)  = с /
2
(х) (с >
0
) 
имеет в точности те же точки экстремума, что и функция / ( х ) .
◄ Для определенности предположим, что в точке х
0
функция /( х ) достигает максимума. 
Тогда существует такое 6 > 
0
, что для всех х из окрестности 
0
< |х — х0| < 6 справедливо 
неравенство /( х ) < /(х о ).
Т ак как /( х ) ^
0
и с >
0
, то из последнего неравенства следует: 
c f 2(х) < с /
2
(хо), т. е. F( x)  < -F(xo).
Последнее означает, что в точке х
0
функция F( x)  достигает максимума. В случае минимума 
поступаем аналогично. ►
190.
Доказать, что если функция <р(х) монотонно возрастает в строгом смысле при 
—оо < х < + о о , то функции f ( x )  и p ( f ( x ) )  имеют одни и те же точки экстремума.
◄ Пусть 
в 
точке хо достигается максимум функции / ( х ) . Тогда при всех х из окрестности 
О < |х — Хо| < 8 справедливо неравенство
/( х ) < /(х о ) = /о-
Так как функция р ( х ) монотонно возрастает в строгом смысле, то из неравенства / < /о 
следует неравенство
¥>(/) <
что и требовалось доказать. Аналогично, предположив, что в точке хо функция р (/(х )) 
достигает 
1
максимума, придем к выводу, что функция /( х ) также достигает максимума. ►
191. 
В каких системах логарифмов существуют чи­
сла, равные своему логарифму?
◄ Пусть у — основание искомой системы логарифмов. 
Тогда согласно условию имеем
logj, х = х 
(х > 
0
,
у > 
0
,
у ф 
1
).
1
откуда у — х~х .
Функция у уже исследована нами в примере 174. Из
1
него следует, в частности, что у не превышает утах = е ё , 
т. е. во всех системах с основанием у 
( 0
< у < ее } у ф  
1
)
192. 
в 
данный круговой сегмент, не превышающий полукруга, вписать прямоугольник 
с наибольшей площадью.
4  Пусть высота прямоугольника х, ширина 
2
у.
Если обозначить через 
2
« дугу сегмента, а через 2<р — дугу, стягиваемую стороной пря­
моугольника, то получаем, что у = i? sin ^ ; х = ОЕ — O B = R(costp — cos а) (рис. 53). Следо­
вательно, площадь прямоугольника равна
S = 
2
ху = 2R2 sin ^(cos tp — cos a).
Приравнивая нулю производную
S'(tp) =
2
R 2 
( 2
cos
2
p — cos p cos tv — l ) =
0
,

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: