Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
j , x(t) - 5 t + t 5. 182
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- § 5. Теоремы Ролля, Л агранжа, Коши
| j , x(t)
- 5 t + t 5. 182. y = /(x ); У (0 = (т^ 7 > 7 > |y(<)l) > *(<) = 4t + sin < + cos <• Вычислить d J в указанной точке: v(x) v2(x) 183. у = f ( x ) , x 3 + у'1 = 3ж2у2 + 1 в точке M ( 0 , 1). 184. у = /(а:), Зж3 — 2уь — х2 + у2 + 1 в точке М ( 0, 1). 185. у = /(а:), у = а: 1п(х2 + у2) в точке М(1, 0). 186. Пусть компоненты /,(ж) вектор-функции f : х н (/1 (ж:), Д (х ),... , /п(х)) удовле творяют системе уравнений £ /•?(а;)(1 + х ' +3) = sin(ja:)/j(x), j = 1, п. 1 = 1 Найти f"(x ). 187. Пусть функциональная матрица .А(ж) удовлетворяет уравнению А 2( х )В( х ) + А( х )С( х ) = Е, где В(х), С( х) — дважды дифференцируемые матрицы, Е — единичная матрица. Найти А (а:), если Л(а:) коммутирует со своей производной. 188. Найти (/4/(з:), если /(ж) = м2(ж)гг3(ж). 189. Найти d2f ( x ) , если /(а:) = А(«(х))5(ж(х)), где А, В — матричные функции. 190. Найти d2/(ж), если /(ж ) = |<Ды(ж))|, где ip — вектор-функция. §5. Теоремы Ролля, Лагранж а, Коши 147 § 5. Теоремы Ролля, Л агранжа, Коши 5.1. Теорема Ролля. Пусть функция / : [а, Ь] —* R непрерывна на сегменте [а, Ь] и имеет конечную или беско нечную производную внутри этого сегмента. Пусть, кроме того, /(а ) = /(Ь). Тогда внутри сегмента [а, 6] найдется точка £ такая, что /'(€) = о. 5.2. Т еорема Лагранж а. Если функция / : [u, i] —* R непрерывна на сегменте [а, 6] и имеет конечную или беско нечную производную во внутренних точках этого сегмента, то 3£ €]<*, Ь[ такое, что / ( Ч - / ( « ) = / '( 0 ( ь - < 0 - 5.3. Теорема Коши. Если каждая из функций / и д непрерывна на [я, Ь] и имеет конечную или бесконечную производную на ]я, fc[ и если, кроме того, производная д'(х) ф 0 на ]а, Ь[, то Э£ б]а, 6[ такое, что справедлива формула m - п а ) = п о у( Ь)-д( а) Если дополнительно потребовать, чтобы д(а) ф д(Ь), то условие д'(х) ф 0 можно заменить менее жестким: ( /'( я ))2 + Ф 0 Vx€]a,b[. 8 1 . Пусть функция / имеет конечную производную / ' в каждой точке конечного или бесконечного интервала ]а, Ь[ и Нш f (x ) = lim f (x). .г-— *a-f0 х — *6—О Доказать, что /'( с ) = 0, где с — некоторая точка интервала ]а, Ь[. ■4 Пусть интервал ]а, й[ конечен и lim f ( x ) = lim f i x ) жүктеу/скачать 16,21 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|