откуда в(х0, А х )
= £ l n
8 8 . Пусть
откуда
в(х0, Д х )
=
^ ( у ' Т + ^ -
l ) ,
хо(х
0
+
Дх) > 0;
/ : х I
Г
при 0 < х < 1,
t ~
при 1 < х < +оо.
Определить промежуточное значение с формулы конечных приращений для функции / на
сегменте [
0
,
2
].
◄ Исследуем функцию / на дифференцируемость в точке х =
1
. По определению одно
сторонних производных, имеем
/1(1)= Urn -L
(
L d
1
+ Дд)2 - Л - -1, /;(1)= Urn — ( --------- l ) = - l .
д х—-о
Д х
^
2
J
+
д х—+о
Д х
V l + Д х
/
Функция / дифференцируема на сегменте [0, 2]. Применяя формулу конечных приращений
к функции / на сегменте [
0
,
2
], находим
/ (
2
) - / (
0
) =
2
/'( с ) ,
0
< с <
2
.
Поскольку /( 2 ) = i /( 0 ) = | ,
/ ' : х
—х
при
0
< х ^
1
,
- Д г
при
1
< X <
2
,
ТО
_ . —
2
с
при
0
<
с
^
1
,
- J r
при
1
< с <
2
,
откуда ci = j , С
2
=
\/2
— два промежуточных значения. ►
8 9 .
Пусть функция / имеет непрерывную производную
f
в интервале ]а, Ь[. Можно ли
для всякой точки £ из ]а,
6
[ указать две другие точки x i и хг из этого интервала, если
/ ( x
2
) - / ( x i ) = ,
Х ! < ^ < Х 2?
Х2 - XI
◄ Если на интервале ]а, Ь[ / '( х ) ^ 0 и / отлична от постоянной на любом отрезке,
являющимся частью ]а, £>[, то / возрастает на ]а, Ь[. Тогда для любых x i,
х2
€ ]а , Ь[, х
2
> x i,
имеем
f { x 2) - f { x i ) >
0
''
х
2
—
и для тех точек интервала, в которых
f ' ( x)
=
0
, равенство
/ ( х г ) - Д х 0 _
у ф
= 0
Х2 — Xl
невозможно. Например, для функции / : х i-+ x s , — 1 ^ х ^ 1, при любых x i, х
2
б ] — 1, 1[
выполняется неравенство
Х% — X ?
2
,
2
„
--------------- = Х 2 + X 1 Х2 + Х х > 0 ,
Х 2 - XI
150
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
следовательно, для точки f =
0
значений аргумента xi и t
2
, o которых говорилось в условии
задачи, не существует.
Приведенные рассуждения не исключают, однако, положительно
го ответа на поставленный вопрос для некоторых классов функций, удовлетворяющих всем
условиям теоремы Лагранжа. ►
9 0 . Доказать неравенства:
а) | sin
х
- sin j/| ^ |х - у | ; б)
рур~1 {х - у) ^ . х р - у р ^. рхр~1( х ~ у ) ,
если
0
< у < я и р >
1
;
\ i
. 1 1
.I
, я — b
, а
а — b
Bj
|arctga — arctg b| ^ |я — 6|;
г) ------- < In ^ < — -— , если 0 < о <
а.
<4
По формуле Лагранжа, имеем:
а)
sin
х — sin
у = (х — у)
cos f , откуда | sin
х
— sin j/| = | cos f ||x — j / | ^ | x — у|;
б)
хр - у р =
р?я_1(х
- у), у
< £ <
х
, откуда (х -
у)ру
г’ ~ 1
<
хр - ур
^ (х -
у)рхр~1
;
в) arctg о — arctg
b
= j ^ j ( a —
b),
откуда |arctga — arctg Ь) ^ |я — Ь|;
г
) In а —
In
b — i ( a — 6), а < £ < b,
откуда
<
In
^
►.
9 1 . Доказать, что если функция / дифференцируема, но не ограничена на конечном
интервале
]а,
J[, то ее производная / ' также не ограничена на интервале
]а,
Ь[.
◄ Пусть функция / дифференцируема на
]а,
Ь[ и не ограничена при х —*■
b
—
0
. Возь
мем произвольную последовательность (х п), сходящуюся к J слева. Тогда существует такой
номер
N
, что при Vn
> N
выполняется неравенство |/ ( х „ ) | >
А ,
каким бы
А
>
0
ни было.
Фиксируем любое число
т
>
N
и рассмотрим при п >
т
разность / ( х п) — / ( х т ). Применяя
теорему Лагранжа к функции / на сегменте [хт , х„], находим
f(x„) ~ / ( х т )
Хп
Хгп
I / (£тп)Ь
Где Хгп < £rmi < х„. При достаточно больших п левая часть, в силу условия задачи, больше
любого наперед заданного положительного числа, откуда следует неограниченность произ
водной / ' при х —<• b — 0.
Обратное утверждение неправильно: из неограниченности производной в интервале не
следует неограниченность функции на этом интервале, например: /
:
i h
у 'х , 0 < х < а . ►
9 2 .
Доказать, что если функция
/
дифференцируема в бесконечном интервале ]хо, +оо[
и
lim /'( х ) = 0,
х —» + о о
ТО
lira М
= 0)
х
—► +00
X
т. е. /(х ) = о(х) при х — +оо.
◄ Пусть (х„) — произвольная последовательность значений аргумента такая, что х п —►
+
00
. Тогда Ve > О ЭN : Vn > N справедливо неравенство
1/'(*»)1 < f •
(
1
)
Фиксируем no > N и, взяв п > По, применим теорему Лагранжа к функции / на отрезке
[x-noi Хп\*
= I/ (£пп0)|>
(2)
ГДе
Х п 0 < £ п п о ^ Х п .
В силу неравенства (1), из (2) имеем
f ( x n ) - f { x no)
f ( x n
) ~ /(Х «0)
Хп
- ХПо
е
Из (3) получаем неравенства
f ( x np) _
п
'
ХП0
Хп
е
f ( x n) < f ( x nо)
+
£ п Л £
х п ) 2
(
3
)
X
X
X
(4)
§ 5. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши
151
При больших и, очевидно, справедливо неравенство
, .
_ £ ^
.
£
3
1„
2
a ( l —
J <
2
всегДа ПРИ
п
> по, тогда, используя неравенство (4), при По > № й 'п ри
достаточно больших и >
по
получим неравенство
/ ( х „ )
-е <
— — - <
е ,
(5)
f(*n)
< е.
Поскольку (г„) — произвольная бесконечно большая последовательность, все члены ко
торой положительны, то имеем
lim
==
0
) =Ф-
( f ( x) =
о(х)) при
х
—* +оо. ►
X—
►
+
00
X
J
9 3 .
Доказать, что если функция / дифференцируема в бесконечном интервале ]хо, +оо[
и /(х )
—
о(х) при х —►
+оо, то
lim
\f' (x)\
=
0
.
х —* + о о
В частности, если существует lim
}' ( х)
=
к,
то
к
= 0.
X
—►-(- СО
◄ Допустим, что
lim
\ f ' ( x ) \ = A ,
А Ф 0,
х —
*
ОО
тогда Ve (0 < е < Д) 3
В
такое, что при
х
>
В
выполняется неравенство
|/'(х )| >
А - е .
(
1
)
Фиксируем xi >
В
и возьмем х >
х
\ . Применяя теорему Лагранжа к функции / на сегменте
[xi, х], получим, принимая во внимание неравенство (
1
),
/(х ) - / ( х i)
X — Xi
= |/'(£ )| ^
А - е ,
Xi < S
<
X.
Переходя в неравенстве (2) к пределу при х —►
+оо, получим
(
2
)
lim
.г—*+ оо
/(* )
> А - е ,
а это противоречит условию /(х ) =
о(х).
Таким образом,
А =
0, т. е. lim 1/'(х)1 = 0.
х —* + о о
Допустим теперь, что существует
lim
f ' ( x ) — к.
Тогда для произвольной последова-
X
—* + СО
тельности (хт ), хт >
0
, хт —►
+оо, имеем
lim / '( х т ) =
к,
т
—► со
т. е. Ve > 0 3
М
такое, что при
т
>
М
выполняется неравенство
к - е < f ' ( x m) < к + е .
(3)
Взяв
юо
>
М
и
т
> т о , получим, применив теорему Лагранжа к функции / на сегменте
[х,,
1
0, Х,71],
f ( x m )
- /(X w o) =
Xmo < £m <
'•Em “" 2-mo
Из неравенства (3) следует неравенство
fc- e < / ( l ”> )--/(« 2 g ) < t + g .
Itn "* Xmg
(4)
Переходя к пределу в неравенстве (4) при т —►
+оо, получим
152
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
к — е < lim
т —»+ оо
Хг,
Поскольку lim
= 0, то получаем fc — г ^ 0, к + е ^ 0, откуда, в силу произвольности
т — оо
Хт
е, следует, что к = 0. ►
9 4 .
Доказать, что если функция / непрерывна на сегменте [а, 6], имеет конечную произ
водную внутри него и не является линейной, го в интервале ]а, 6[ найдется, по меньшей мере,
одна такая точка с, что
т -
/(«)
6 — а
1/'(с)| >
4 Разбивая произвольным образом сегмент [а, 6] на п частей точками а о — хо < xi <
Х2
<
...
<
х „
= 6, получаем
|/(6) - /(а )| =
По формуле Лагранжа имеем
^ 2 f { x i + i ) - f ( x i )
/(* i+ i) - f(xi) = f ' i t i ) Axi,
Xi
<
(i
<
Xi+ l ,
i = 0, и - 1 ,
где Ax , = xt+i - x,.
Таким образом, приходим к неравенству
(1)
Функция / отлична от линейной, поэтому существует такое разбиение сегмента [a, 6], что
среди чисел | / ((£;)| найдется наибольшее, отличное от нуля, которое обозначим | / '( ( ) | . Тогда
из (1) получим строгое неравенство
П —
1
|/(6) - f(a)l
< I f
'(()15 3
Дх, =
(6 -
«)|/'(£)|,
г = 0
откуда j/'(£)l >
“ < £ < Ь. ►
95.
Доказать, что если функция
/
имеет вторую производную на сегменте [а, 6] и / ’(о)
=
f'(b) = 0, то в интервале ]а, 6[ существует, по меньшей мере, одна точка с такая, что
( b h y m
- /(а)|-
■4 Если
/(х)
= const, то утверждение очевидно. Предположим, что функция / отлична
от постоянной. Из условия /'( а ) = /'(6 ) = 0 следует, что / отлична от линейной функции.
Применяя формулу Коши конечных приращений к функциям / и <р : х \-+ —
на сегменте
[а, 2±-j и к функциям / и ф : .
на сегменте
б], получаем
а < 6 <
8 ( / ( ^ ) -/(«)) _ /'(&)
(Ь - а)2
6 - а ’
8 ( / ( 6 ) - / ( ^ ) ) __ / '( 6 )
a + 6
(6 - а)2
6 -
’
2
Складывая полученные равенства, находим
чт
Достарыңызбен бөлісу: |