Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
| Гл.
2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной ◄ На каждом из сегментов [x;_i, х,], i = 1, п, выполнены все условия теоремы Ролля для функции / , следовательно, существует не меньше п точек £, б ]х 0, х„[ таких, что /'(£>) = 0. Для функции / ' на каждом из сегментов [£;, £j+i], j = 1 , п — 1 , выполнены все условия теоремы Ролля, поэтому существует, по меньшей мере, п — 1 точка ?/fc €]хо, хп[ такая, что f"(Vk) = 0, к = 1, п — 1. Продолжая рассуждать таким же образом, приходим к выводу, что в п — (» — 2) = 2 точках интервала ]х0, х„[ / (п_1)(0 ) = 0, » = 1, 2. Применяя теорему Ролля к функции / (п_1) на сегменте [Ci, £ 2 ], получаем, что существует хотя бы одна точка £ ё ]х 0, х„[ такая, что /1"1(£) = 0. ► 8 3 . Доказать, что если все нули многочлена Р„(х) = а0х п + at x n~l + . . . + ап, а0 ф 0, с действительными коэффициентами а*,, к = 0, п, действительны, то его последовательные производные Р„, Р " , . .. , Р^”'~'^ также имеют лишь действительные нули. ◄ Предполагая, что все нули различные, по теореме Ролля получаем, что Р Ц х) имеет « — 1 действительный нуль; Р " (х) будет иметь уже п —2 действительных нуля и т. д. Но так как при дифференцировании многочлена степень многочлена уменьшается на единицу, то получается, что все нули производных будут действительны. Если какой-то нуль многочлена кратный, то он же будет нулем и для производной от многочлена, т. е. также действительным. ► 8 4 . Доказать, что у многочлена Лежандра Рп(х) = 1 dn 2"п! <1хй « * - 1)") все нули действительны и заключены в интервале ] — 1, 1[. ◄ Многочлен Unix) = (х2 — 1)" имеет на сегменте [—1, 1] 2п действительных нулей: xi = Х 2 — . .. = х„ = — 1; Xn+i = 1 , 1+2 — . .. — Х 2 п — 1 • Согласно предыдущей теореме, многочлен Рп(х) имеет п действительных нулей, расположенных, по теореме Ролля, в интервале ] — 1, 1[, что и требовалось доказать. ► 8 5 . Доказать, что у многочлена Чебышева—Лагерра М * ) = ^ ( х - о все нули положительны. ◄ Рассмотрим функцию ip : х ь-* х пе~х . Поскольку <р(х) = 0, то существует х —►-foo такая точка С £]0, + оо[, что «//(О) = 0 (см. пример 81). Очевидно, у/(0) = lim р' (х) = 0, я —* + с о поэтому, в силу теоремы Ролля н на основании решения примера 81, найдутся точки £2 £]0, £i[ и £3 €]£ i , +оо[ такие, что уз"(£;) = 0, i = 2, 3. Кроме того, уз"(0) = 0. Таким образом, р " обращается в нуль в трех точках полуоси х ^ 0. Поскольку lim = 0 X— »+ ОО при j = 0, n — 1, то, применяя теорему Ролля и пользуясь п — 3 раза результатом решения примера 81, получаем, что функция обращается в нуль в п + 1 точках, лежащих на полуоси х ^ 0, причем одна из этих точек х = 0. Эти точки являются концами п отрезков, на каждом из которых к функции 1 pin~U применима теорема Ролля, поэтому существует, по меньшей мере, к таких точек щ > 0, что = 0. Очевидно, yjlnl(0) ф 0. Поскольку Ь п { х ) = e x ip in \ x ) есть многочлен n -й степени, имеющий п нулей, то его нули — точки i j k , причем i]k > 0, жүктеу/скачать 16,21 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|