= С, С = const.
x - + a - f - 0 % - * b — 0 фз нкцшо
F ■. х у-+ { f ( x ), С если х € ]а, 6[,
при х = а и х = 6.
Рассмотрим
Она непрерывна на сегменте [я, Ь] и имеет конечную производную на интервале ]а, Ь[, причем
F(a) = F(l>). По теореме Ролля на интервале ]a, i>[ найдется такая точка с, что
F'(c) = f'(c) = 0.
Если интервал ]«, Ь[ бесконечный, то, в силу существования конечной производной функ
ции / , непрерывности функции / и существования конечных, равных между собой, ее пре
дельных значений при х —* а + 0 и х —*■ Ь — 0, при достаточно малом е > 0 прямая у = С + е
или прямая у — С — е пересечет кривую у = f (x ) , по меньшей мере, в двух точках, которые
обозначим ci и г2. Для функции / на сегменте [ci, с2] выполнены все условия теоремы Рол
ля, поэтому на интервале ]ci, с2[ (а значит, и на интервале ]а, 6[) найдется такая точка с, что
П с ) = 0. Рассмотрим теперь случай, когда
lim /(х ) =
lim f i x ) = оо.Тогда как в случае
х — *-а-|-0 х —* 6 — 0 конечного, так и бесконечного интервала ]а, Ь[ уравнение f ( x ) = А (где
А > 0 — любое
число, фиксированное, когда liin /(х ) = lim f ( x ) = +
00
) или уравнение f i x ) = —А (в
х — » a + 0 х —* 6 — О случае, когда lim f ( x ) = lim f{x) = —
00
) всегда имеет два различных корня, которые
л — « + 0 х — ' 6 — 0 обозначим оч и о 2. Применяя теорему Ролля к функции / на сегменте [oi, о2], приходим к
выводу, что на интервале ]oi, о 2[ (а значит, и на ]«, (>[) существует, по меньшей мере, одна
такая точка
с,
что f'(c) = 0. ►
8 2 .
Пусть: 1) функция / определена и имеет непрерывную производную (п — 1)-го
порядка на сегменте [хо, х,,]; 2) / имеет производную п-го порядка в интервале ]хо, х п[; 3)
выполнены равенства f ( x 0
) = f ( x 1
) = . .. = f ( x n), хо < xi < ... < хп. Доказать, что в
интервале
]хо, х„[
существует, по меньшей мере, одна точка £ такая, что / ^ ( £ ) = О,
