Математика пәнінің жаңа бағдарламасында «кез келген адам өз өмірінде кездесетін күрделі есептерді орындау: кесте, диаграмма, график түріндегі ақпаратты оқи алуы қажет» делінген
Негізгі элементар функциялардың туындылары
жүктеу/скачать 1,94 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Дифференциалдау ережелері
- Функцияның дифференциалы
| Негізгі элементар функциялардың туындылары
1. - тұрақты. . 2. . . . 3. . . 4. . . 5. . . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . 13. . 14. . 15. . 16. . Дифференциалдау ережелері
Функцияның дифференциалы Функцияның туындысын есептеу, яғни функцияны дифференциалдау туралы ілімнің келесі негізгі ұғымы – дифференциал ұғымы. Қазіргі мезгілде, біз, дифференциалды туынды ұғымы арқылы анықталатын екінші дәрежедегі (рөлдегі) ұғым деп есептеп жүрміз; шын мәнінде ақырсыз кішкене шамалардың талдауы алғаш дүниеге келгенде және одан кейін біраз уақыт бойы туынды ұғымы емес, дифференциал ұғымы алғашқы ұғым деп есептелді; ал туындыны дифференциалдардың қатынасы деп санады, яғни екінші рөлдегі ұғым деп есептеді. Айта кету керек, ол заманда дифференциал ұғымы әлі де болса нақты да дәл анықтамаға ие емес еді және ол ұғымға байланысты қарама-қайшылықтар да жоқ емес еді, себебі ол заманда математикалық ойқорытуда тәуелсіз айнымалы мен тәуелді айнымалылырдың өзгерістерін тұтас нысан түрінде қарастыру әлі де болса жетіліп болмаған еді. Функцияның дифференциалының формальді түрдегі анықтамасы әрине белгілі: функциясының дифференциалы деп біз (1) шамасын атаймыз, мұндағы – тәуелсіз айнымалының өсімшесі; сонымен, функциясының дифференциалы өзара тәуелсіз екі айнымалының – шамасы мен оның өсімшесіне – тәуелді функция, бұл екі айнымалылардың мәндері өзара ешқандай байланыста емес және олардың кез келген біреуін екіншісіне тәуелсіз таңдап алуға болады. Дербес жағдайда функциясын қарастыра отырып, біз теңдігіне келеміз, яғни тәуелсіз айнымалы үшін дифференциал мен өсімше әрқашан бірдей болады. (1) формулада өсімшесінің орнына -ті қоя отырып, біз, келесі теңдікке келеміз: , (2) яғни функцияның дифференциалының өзіміз әдетте қолданып жүрген анықтамасын аламыз: функцияның дифференциалы оның туындысы мен тәуелсіз айнымалының дифференциалының көбейтіндісіне тең. (2) теңдіктен , (3) яғни функцияның туындысы функцияның дифференциалының тәуелсіз айнымалының дифференциалына қатынасына тең. Бұл, соңғы (3)-ші өрнек немесе формальді түрдегі анықтама дифференциал ұғымының математикалық талдау мен оның қолданылуларындағы өте маңыздылығын аша алмайды. Бұл мәселені терең талдау үшін дифференциал ұғымына және дифференциал идеясына тиянақты көңіл бөлу керек. Түсінуге жеңіл және сенімдірек болу үшін тәуелсіз айнымалы уақытты білдіретін, ал функциясы қозғалыстағы материалдық нүктенің 0-ден -ке дейінгі уақыт аралығында жүрген жолын білдіретін дербес жағдайды қарастырған дұрыс сияқты. Бұл жағдайда туындысы қозғалыстағы нүктенің уақыт мезетіндегі лездік жылдамдығын бейнелейтінін білеміз; сондықтан – қозғалыстағы нүктенің уақыт аралығында, егер нүкте осы аралықта аралықтың бастапқы нүктесіндегі жылдамдықпен бірқалыпты қозғалатын болса, жүретін жолының шамасы. Шындығында осы уақыт аралығында нүктенің жүрген жолы, жалпы жағдайда, басқа болады, себебі қозғалыстағы нүктенің жылдамдығы тұрақты болып қала бермейді. Жалпы жағдайда, біз білетініміздей, туындысын және шамаларының -тің берілген мәніндегі салыстырмалы өзгергіштіктерінің өлшемі ретінде қарастыруға болады. Сондықтан дифференциалын шамасының оның мәніне дейін өзгергендегі, кесіндісінің барлық нүктелерінде осы өлшем осы аралықтың басындағыдай болып қала бергенде функциясы алатын өсімше ретінде қарастыруға болады. Бұл концепция 2.1-суретте көрнекі бейнеленген: – қисығының ординатасы абсцисса -тен мәніне дейін жүрген жолда қисыққа жүргізілген жанама осы аралықтың барлық нүктелерінде нүктесіндегі мәнімен бірдей болғандағы, яғни біз осы қисықты оған абсциссасы нүктесінде жүргізілген жанамамен алмастырғанда алатын өсімшесі. Бізге қолданбалы ғылымдарда өсімшесінің кішкене мәндерінде көбінесе функциясының өсімшесі мен дифференциалы арасында айырмашылық жоқ деп есептейтіндері белгілі; бұл өз кезегінде дифференциалды «ақырсыз аз өсімше» деп қате және зиянды түсінуге себеп болады, шындығында, жалпы жағдайда дифференциал өсімше емес. Осындай алмастыруға байланысты туындайтын екі сұраққа жауап беруге тырысып көрейік: 1) бұл алмастыру қандай дәрежеде негізделген? және 2) ол қандай пайда әкелуі мүмкін? Бірінші сұраққа жауап беру үшін қатынасын негізге аламыз. Осы қатынас негізінде ақырсыз аз шама болатын айырмасын арқылы белгілейміз, нәтижесінде (1´) қатынасына келеміз. болғанда болғандықтан, көбейтіндісі -пен салыстырғанда жоғары ретті ақырсыз аз шама болып табылады; бірақ қатынасы тұрақты шама, ал болғанда қатынасының шегі осы тұрақты шамаға тең болады, сондықтан, егер болса, онда , және шамаларының үшеуі де бір реттегі ақырсыз аз шамалар болады; сол себепті шамасы -пен салыстырғанда жоғары ретті ақырсыз аз шама бола отырып, және шамаларының әрқайсысымен салыстырғанда да жоғары ретті ақырсыз аз шама болады. Сонымен, соңғы (1´) қатынас, егер болса, онда болғанда функцияның өсімшесі мен дифференциалының айырмасы , және шамаларының әрқайсысымен салыстырғанда жоғары ретті ақырсыз аз шама болатынын көрсетеді; басқаша айтқанда, функцияның өсімшесін дифференциалмен немесе дифференциалды өсімшемен алмастырғанда салыстырмалы қателік өте кішкене (дәлірек айтқанда ақырсыз аз) болады. болғанда алынған қатынас келесі қатынасымен мәндес, ал соңғы қатынас болғанда және эквивалентті ақырсыз аз шамалар екенін көрсетеді. Осы нәтижелерге сүйене отырып кішкене болғанда жуықтап есептеулерде функцияның өсімшесін оның дифференциалымен алмастыруға болады. Қойылған екінші сұраққа – функцияның өсімшесін оның дифференциалымен алмастыру қандай пайда әкелуі мүмкін? – жауап беру үшін өсімшенің құрылымынан гөрі дифференциалдың құрылымы теориялық жағынан ықшам және практикалық тұрғыдан ыңғайлырақ екенін байқаймыз. Дифференциал шамасының сызықтық функциясы болып табылады, өзгергенде дифференциалдың өзгеру сипаттамасы өте қарапайым, және оны оқып-үйрену үшін мәнін бір ғана нүктеде есептеуден басқа ештеңе талап етілмейді; ал шамасын есептеуде біз мұндай қарапайымдылықты көрмейміз. Мысалы, -тің -қа өте жақын мәндері үшін, мысалы, , және т. с. с. мәндері үшін функциясының мәндерінің кестесін құру керек болсын. Қолымызда олардың мәндерін дәл есептейтін құралдар мен құрылғылар жоқ делік. болғанда екендігін білеміз, бірақ -тің -қа жақын мәндеріне көшкенде шамасының сәйкес өсімшелерін есептейтін тәсілдерді білмейміз. Есебімізде өсімшелерінің кішкенелігін ескере отырып функцияның өсімшелерін дифференциалдарымен алмастырып көруге батыл шешім қабылдап көрелік. және болғандықтан болады, мұндағы радиандық өлшемде өрнектелген (), сондықтан біз келесі жуық мәндерді бірден аламыз: , , , ............................................... Сонымен, біз, дифференциалдың келесі екі қасиетке ие екенін көріп отырмыз: 1) ол шамасының сызықтық функциясы, және 2) ол шамасынан -ке қатысты салыстырғанда жоғары ретті ақырсыз аз шамаға өзгешелігі бар. Енді осы екі қасиет арқылы дифференциалдың толық анықталатынын көрсетелік, олай болса дифференциал туралы білімді дәл осы анықтамадан бастауға болар еді деген қорытынды жасауға болар еді (дегенмен, кез келген дифференциалданатын, яғни туындысы бар функция үшін оның дифференциалы бар екендігін дәлелдеу үшін бәрібір туынды ұғымын айналып кету мүмкін емес еді). Мысалдар. 1) жүктеу/скачать 1,94 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|