Математикалық физиканың негізгі теңдеулеріне келтірілетін қарапайым физикалық есептер
жүктеу/скачать 0,96 Mb.
|
Дәрістер 1-5
| 2. Диффузия теңдеуі
Белгілі бір көлемде еріткіш сұйықта ерітілетін зат бір қалыпты ерітілмесе, немесе белгілі көлемде газ бірқалыпты толтырылмаса, онда ондай орталарда диффузиялық процесс- концентрация жоғарғы бөлігінен концетрация аз бөлігіне зат балшектері қозғалады. Сұйықтың (газдың) концентрациясы деп, олардың dQ мөлшерінің dV- көлемге қатынасын, яғни концентрация U=dQ/dV Фурье заңы ұқсас, ∆S беттен, ∆t-уақытта өтетін заттың мөлшері Нэрнст заңы бойынша ∆Q=-D ∂U/∂N ds ∆t=-D(N0, grad U)dsdt (3.48) Мұнда D-диффузия коэффиценті, N0-нормаль S бетке. Шекарасы S болатын W аймақтағы диффузияланатын заттың мөлшері t2 Q1=-ò dt òòD ∂U/∂N ds t1 S артады. Остроградский-Гаусс формуласын ескерсек, онда t2 Q1=-ò dt òòòdiv(D grad U)d t1 Ω Егерде W көлемде тығыздығы f(x,y,z,t) болатын ерітілген заттың көзі болса, онда қосымша заттың мөлшері ∆t=t2-t1 уақытта t2 Q2=ò dt òòòf(x,y,z,t) dV t1 Ω көбейеді. Мөлшері Q1 мен Q2 заттардың бөлшектері W аймақтағы сұйық (газ ) концентрациясын арттырады. Белгілі dt-уақытта көлем d сұйық (газ ) концентрация dU шамаға өзгерті үшін қажетті сұйық (газ ) мөлшері ∆Q3=CdUdV=CUtdtd Мұнда c-қуыстық коэффицент Сондықтан t1 мен t2 уақытта W көлемді сұйықтың концентрация өзгерту үшін қажетті сұйықтың мөлшері t2 Q3=ò dtòòòCUtdV t1 Ω Заттың сақталу заңы бойынша Q3=Q1+Q2, яғни t2 t2 t2 ò dt òòòdiv(D grad U)d+ò dt òòòf(x,y,z,t)d=ò dtòòòCUtd (3.49) t1 Ω t1 Ω t1 Ω интегралдық теңдік орындалады. (3.49) теңдіктен сұйық (газ) концентрациясы үшін CUt=div(D grad U)+f(x,y,z,t) (3.50) дифференциялдық теңдеуін аламыз. Егерде қарастырылған сұйық (газ) ортасы біртекті болса, яғни C,D-тұрақты, онда Ut=a2∆U+F(x,y,z,t) (3.51) Мұнда a2=D/C Теңдеу (3.51)-жылуөткізгіштік теңдеу. Параболалық типке жатады. Ескерту 2. Кейбір газдарда молекулалардың бөліну (жойылу )реакция жүреді. Көбінесе бөліну реакциясының жылдамдығы газдың концентрация пропорционал болады, яғни Q=U , онда (3.51) теңдеуі мына түрде жазылады. Ut=a2∆U-/c U+F(x,y,z,t) (3.52) Мұнда >0 бөліну коэффицент. Ескерту3. Кейбір сұйықтар мен газдарда диффундайтын заттық бөлшектері ортаның элеменнттері мен реакция түзеді, яғни заттың бөлшектері көбейе бастайды. Көбею мөлшері концентрацияға пропорционал десек, яғни Q=U, онда концентрация үшін теңдеу Ut=a2∆U+/c U+F(x,y,z,t) аламыз. жүктеу/скачать 0,96 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|