Математикалық физиканың негізгі теңдеулеріне келтірілетін қарапайым физикалық есептер
жүктеу/скачать 0,96 Mb.
|
| 50. Электромагниттік өрістің теңдеулері
Электромагниттік өріс негізінде электрлік пен магниттік өрістердің кернеулері вектор функциялар `E мен `H сипатталады. Фарадей заңы бойынша магниттік өрістің өзгерулері электрлік кернеуіне әсер етеді, осы заңдылық мына математикалық теңдік ò ESds=-1/C ∂/∂t òò mHNdu S D өрнектеледі. Мұнда ES=npS`E, `S шекара. S-жанама бағыт. HN=npN`H, `N –шекара S-нормаль, C-жарық жылдамдығы, m-ортаның магниттік өткізгіштік коэффиценті. Стокс формуласы òVSds=òò(rot `V)Ndu пайдалансақ, онда Максвеллдің бірінші теңдеуі S D rot `E=-1/C ∂/∂t(mH) (3.30) алынады. Кулон заңы негізінде Максвельдің екінші теңдеуі rot H=4p/C j+1/C ∂/∂t (e`E) (3.31) шығады. Мұнда e-диэлектрлік тұрақты. j=l`E ток өткізгіштің көлемдік тығыздығы (Ом заңы) l-орталық өткізгіштік коэффиценті Үшінші теңдеу ортаның үзіліссіздік заңы ∂r/∂t+dw j=0 (3.32) r-зарядтың тығыздығы Векторлық талдаудың формуласын dw(rot`a)=0 пайдаланып, теңдеу (3.30) dw операторын қолдансақ, онда div(rot`E)=-1/C ∂/∂t (div(m`H))=0 осыдан кернеулік H үшін мына теңдеуді аламыз. div(m`H)=0 (3.33) Егерде теңдеулер (3.31) мен (3.32) оператор div қолдансақ, онда div(rot`H)=4p/C div`j+1/C ∂/∂t (div(e`E))=1/C ∂/∂t[-4pr+div(e`E)]=0 Осыдан кернеулік `E үшін мына теңдеуге келеміз. div(e`E)=4pr (3.34) Теңдеулер (3.30)-(3.31)-(3.33)-(3.34) электродинамиканың негізгі теңдеулері немесе Максвельдің толық теңдеулер жүйесі деп аталады. Енді ортаның дербес жағдайын қарастырайық. 1) Электромагниттік өрістің вакуумдегі теңдеулері Вакуумде j=0, b=0, e=m=1 болғандықтан толық жүйе rot`E=-1/C ∂`H/∂t, rot`H=1/C dE/dt, div`E=div`H=0 түрінде жазылады. Егерде бірінші теңдеуге rot операторын қолдансақ, онда rot rot`E=-1/C rot (∂`H/∂t ) теңдікті аламыз. Векторлық талдаудан белгілі rot rot`E=`V(div E)-∆`E=-∆`E (3.35) болғандықтан ∆`E=1/C ∂/∂t(rot`H) Максвельдің екінші теңдеуін пайдаланып, кернеулік `E үшін d2`E/dt2=C2∆`E (3.36) Дәл осындай түрлендіру жасап кернеулік `H үшін ∂2`H/∂t2=C2∆`H (3.37) Толқын теңдеулер (3.36)-(3.37) гиперболалық типке жатады. 2) Біртекті ортада электромагниттік өрістің теңдеулері Егерде r=0, ал e=const, m= const, l= const болса, онда (3.30) теңдеуге оператор rot қолданып rot rot`E=- 1/C m ∂/∂t(rot`H) осы теңдіктен (3.31) теңдеу мен формула (3.35) пайдаланып электр кернеулігі `E үшін ∆E=1/C2 m[e ∂2E/∂t2+4pl ∂E/∂t] (3.38) Дәл осындай түрлендіру жасап (3.31) теңдеуден магниттік өрістің кернеулігі `H үшін ∆H=1/C2 m[e ∂2H/∂t2+4pl ∂H/∂t] (3.39) теңдеулерді аламыз. (3.38)-(3.39) теңдеулер телграфтық теңдеулер типіне жатады. Егерде l=0, онда (3.38)-(3.39) толқын теңдеулері гиперболалық типке, ал егерде e=0, онда (3.38)-(3.39) жылу өткізгіштік теңдеулер параболалық типке жатады. жүктеу/скачать 0,96 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|