Математикалық физиканың негізгі теңдеулеріне келтірілетін қарапайым физикалық есептер
жүктеу/скачать 0,96 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 1) Қатты денедегі жылудың таралу теңдеуі
| 60. Жылу мен массаның тасымалдану процестерінің теңдеулері
Кейбір физико-химиялық процестерде субстанцияның (жылудың, заттық бөлшектредің, зарядтың т.б.) белгілі бір ортада концентрация көп аймақтан концентрация аз аймаққа таралуы қарастырылады. Таралу нәтижесінде уақытқа байланысты, орта өзінің тепе-теңдік күйіне ұмтылады. Осындай құбылыстарға ортада жылудың таралуы, сұйықтар мен газдардағы диффузиялық процестер, электр зарядтарының таралуы т.б. жатқызуға болады. Осы процестерді сипаттайтын шамалар уақыт t мен кеңістік нүктелерінің координаталарына тәуелді белгісіз функциялар, оларды анықтау көбінесе дербес туындылы дифференциалдық теңдеулерді шешуге алып келеді. 1) Қатты денедегі жылудың таралу теңдеуі Дененің бір бөлігінен екінші бөлігіне жылудың таралуы дененің жылу өткізгіштігі дейді. Егер қарастырылған дене бірқалыпты қыздырылмаса, онда дененің қызуы жоғары бөлігінен қызу төмен бөліктеріне қарай жылудың таралу процессі жүреді. R3 кеңістігінде дененің қызуын сипаттайтын физикалық шама, оның температурасы U(x,y,z,t), t –уақыт, нүкте P(x,y,z)Î W. Көлемі W изотропиялық қатты дененің тығыздығы r(x,y,z), ішкі жылу өткізгіштік коэффиценті k(x,y,z), жылу сыйымдылығы C(x,y,z) және денедегі жылу көзінің тығыздығы f(x,y,z,t) болсын. Кез-келген S бетпен шектелген аймақ DÌ W бөлігінде жылу балансын есептейік. Фурье заңы бойынша жылу ағының тығыздығы q (бірлік уақытта, бірлік беттен өтетін жылудың шамасы) бетке нормаль бағытта мына теңдікпен анықталады. q=-k ∂U/∂Nº-k gradN Uº-k(`N0,gradU) (3.40) Мұнда N0-S-бетіне жүргізілген бірлік нормаль. Сондықтан уақыт t1 мен t2 аралығында S беті арқылы өтетін жылудың мөлшері t2 Q1=-òdt òòk ∂U/∂N ds t1 S Остроградскийй-Гаусс формуласын ескерсек, онда t2 Q1=ò dtòòòdiv(k,grad U)dU t1 D Жылу көзінің D аймақта беретін жылуының мөлшері t2 Q2=ò dt òòòf(P,t)d t1 D Осы жылулар Q1 мен Q2 дене D жылуын ∆t=t2-t1 уақытта dU=U(P,t+∆t)-U(P,t) шаманы өзгертуге жұмсалады. Белгілі көлемі d дененің ∆t уақытта температурасы dU өзгерту үшін қажетті жылу мөлшері ∆Q3=crdUd=cr ∂U/∂t ∆t du (3.41) Сондықтан D бөлігіндегі температурасын dU өзгерту үшін қажетті жылу мөлшері t2 Q3=ò dt òòòcr ∂U/∂t du t1 D Энергия сақталу заңы бойынша Q3=Q1+Q2 Ендеше мына интегралдық теңдік орынды t2 t2 t2 òdt òòòcr ∂U/∂t du=ò dt òòòdiv(k gradU)+ò dt òòòf(P,t)du (3.42) t1 D t1 D t1 D Теңдік (3.42) кез-келген аймақ D және кез-келген уақыт ∆t=t2-t1 орындалғандықтан, орта мән туралы теореманы пайдаланып сr ∂U/∂t=dw(k grad U)+f(x,y,z,t) (3.43) теңдеуін аламыз. Егерде қатты дене W біртекті болса, яғни r,c,k-тұрақты болса, онда (3.43) теңдеуді ∂U/∂t=a2∆U+F(x,y,z,t) (3.44) түрінде жазуға болады. Мұнда a2=k/cr Теңдеу (3.44) жылу өткізгіштік теңдеу деп аталады. Теңдеу (3.44)параболалық типке жатады. Ескерту. Жылудың таралуы жоғарғы интенсивтік процестерде тығыздық q Фурье заңы (3.40) формуламен емес, мына жалпылама Фурье заңы q=-k ∂U/∂N-t ∂q/∂t (3.45) өрнектеледі. Егерде f(x,y,z,t)=0 болса, онда жылу балансы div`q=cr Ut (3.46) (3.45) теңдіктен dw операторын қолданып мына теңдікті аламыз. div q=-div(k ∂U/∂N)-t div(∂q/∂t) осыдан (3.46) теңдікті ескеріп cr[Ut+t Utt]=div(k gradU) теңдеуі шығады. Егерде r,c,k-тұрақты болса, онда Ut+t Utt=a2∆U (3.47) теңдеу (3.47) гиперболалық типке жатады. Сондықтан оны жылуөткізгіштік гипербоалық теңдеуі деп аталады. жүктеу/скачать 0,96 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|