Мазмұны: Кiрiспе 1 тарау. Геометриялық салулар теориясының кейбiр мәселелерi 1
жүктеу/скачать 1,93 Mb.
|
| Есеп 5: 1, 2 шеңберлерінің ортақ А нүктесі арқылы берілген шеңбер-лерді бірдей хордамен қиып өтетіндей түзу жүргізіңіз.
Шешуі: Талдау: Есеп шешілді делік, р – ізделінді түзу болсын (42-сурет). р 1 = В, р 2 = C деп белгілейік. Сонда ВА = АС болғандықтан, SA: B C. Егер SA: 1 десек, В 1 С және де С 2. Салу: 1) SA: 1 шеңбері 2) 2 = C (А – дан өзге нүкте) 3) АС түзуі АС – ізделінді түзу Дәлелдеу: О1, О - сәйкесінше 1, шеңберлерінің центрлері, ал В=AC1 деп белгілейік. Центрлік симметрияның қасиеті бойынша ВО1 = O1A=AO=OC Бұдан ОАС = О1АВ – вертикаль бұрыштар. Онда АОС = АО1В. Үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісі бойынша СОА = ВО1А, олай болса АВ = АС. Зерттеу: Салу жоспарының 1) және 3) қадамдары бірмәнді орындалады, ал 2) қадамға байланысты мына жағдайлар болу мүмкін: а) 1 2 қимасы жалғыз А нүктесінен құралады, яғни бұл шеңберлер А нүктесінде жанасады. Онда 2 қимасы да жалғыз А нүктесінен құралады. Бұл жағдайда егер 1, 2 шеңберлерінің радиустары тең болса, есептің шексіз көп шешімі бар; егер 1, 2 шеңберлерінің радиустары әртүрлі болса, есептің шешімі жоқ. б) 1 2 қимасы А және А нүктелерінен тұрады. Онда 2 қимасында А-дан өзге бір ғана нүкте бар. Сондықтан бұл жағдайда 1, 2 шеңберлерінің радиустары тең болса да, әртүрлі болса да есептің жалғыз шешімі бар. Есеп 6: ВАС = бұрышы, қабырғаларының АВАС = mn қатынасы және АН биіктігі бойынша АВС үшбұрышын салыңыз. Шешуі: Т алдау: Есеп шешілді делік, яғни ізделінді АВС үшбұрышы салынған болсын (43 - сурет). Берілген бұрышты МАК деп белгілесек, онда кез – келген ҒАР (ҒМА, РКА) үшбұрышы есептің бірінші шартын қанағаттандырады. Екінші шарттын қанағаттандыратын үшбұрышты табу үшін ұқсастықты пайдала-намыз. АМ сәулесіне АВ1 = m, АK сәулесіне AC1 = n кесінділерін салсақ, В1АС1 ~ ВАС. Салу: 1) МАК = бұрышы 2) АВ1 = m (В1АМ) кесіндісі 3) АС1 = n (С1АК) кесіндісі 4) В1С1 кесіндісі 5) АН1 В1С1 (Н1 В1С1) түзуі 6) АН1 сәулесіне АН = h кесіндісі 7) Н нүктесі арқылы lВ1С1 түзуі 8) l МА = В нүктесі 9) l КА = С нүктесі АВС – ізделінді Дәлелдеу: Салу бойынша АВ1С1 үшбұрышында В1АС1 = , АВ1АС1 = mn және ВСВ1С1. Онда АВС АВ1С1 (үшбұрыштың қабырғасына параллель түзу оған ұқсас болатын үшбұрыш қияды). Олай болса, АВС үшбұрышында да ВАС = , АВАС = mn және де салу бойынша А төбесінен түсірілген биіктік h болады. Демек АВС үшбұрышы есептің барлық шартын қанағаттандырады, яғни ізделінді болады. Есеп 7: АВС сүйір бұрышты үшбұрышының ішінен А, В, С нүктелеріне дейінгі қашықтықтарының қосындысы ең кіші болатындай О нүктесін табыңыз. Шешуі: Т алдау: Ізделінді О нүктесі тұрғызылған болсын (44-сурет). АВО үшбұрышын АВС үшбұрышының сыртына қарай 600-қа бұрсақ, О О1, В В1. АО = АО1, О1АО = 600, бұдан АО1О – тең қабырғалы үшбұрыш, яғни АО = ОО1. Егер В1, О1, О, С нүктелері бір түзудің бойында жатса, В1О1ОС сызығы ең кіші ұзындыққа ие болады. Осылайша О В1С. Дәл осы әдіспен О С1В, мұндағы С1 - : АС АС1. Салу: 1) АВС үшбұрышының сыртынан АВ, АС кесінділеріне, сәйкесінше, тең қабырғалы АВ1В және АС1С үшбұрыштарын тұрғызамыз. 2) В1С және С1В түзулері 3) В1С С1В = О нүктесі О – ізделінді нүкте. Дәлелдеу: Дәлелдеуі талдаудан байқауға болады. Зерттеу: Қабырғалары АВ, АС болатын тең қабырғалы үшбұрыштар әрдайым бірмәнді табылады. Олай болса, В1С С1В = О нүктесі де жалғыз, яғни есептің бір ғана шешімі бар. Есеп 8: Шеңбердің екі радиусы сызылған. Осы радиустармен тең үш бөлікке бөлінетіндей шеңбердің хордасын салыңыз. Шешуі: Талдау: Айталық (О, r) – берілген шеңбер, АО, ВО – берілген радиустар, ал РС – ізделінді кесінді (45-сурет). Онда АО РС = D, ВО РС = К десек, CD=DK=KP. РС кесіндісіне А (немесе В) нүктесі арқылы параллель түзу жүргізсек, РОС = РОС, мұндағы Р = ОР АВ, С = ОС АВ. Олай болса, АО, ВО радиустары РС кесіндісін тең үшке бөледі. С алу: 1) АВ түзуі 2) SA: В С нүктесі 3) SВ: А Р′ нүктесі 4) ОС, ОР кесінділері 5) ОС = С нүктесі 6) ОР = Р нүктесі 7) РС кесіндісі РС – ізделінді кесінді Дәлелдеу: АО, ВО радиустар болғандықтан, ОАС = ОВР. Салу бойынша АС = ВР. Онда АСО = ВРО, бұдан СО = РО. ОС мен ОР радиустар болғандықтан тең, онда СС = РР. Бұдан РСРС, яғни РОС РОС. Ал салу бойынша СА = AB = ВР, онда үшбұрыштардың ұқсастығынан CD = =DK=KP. Зерттеу: Егер А, В нүктелері О нүктесіне қатысты симметриялы емес болса, онда есептің бір ғана шешімі бар. Егер А, В нүктелері О нүктесіне қатысты симметриялы болса, есептің шешімі болмайды. Есеп 9: Үш медианасы ma, mв, mc бойынша үшбұрыш салыңыз. Шешуі: Т алдау: Есеп шешілді делік және ізделінді АВС үшбұрышы тұрғызылған болсын (46-сурет). АМ, ВN және СР – оның медианалары, Е – медианалардың қиылысу нүктесі және АМ = ma, BN = mв, CP = mc. ВЕС үшбұрышында ВЕ=mв, СЕ=mс, ал ВМ = МС. Егер М нүктесіне қатысты симметрияда Е нүктесі D – ға көшеді десек, ЕD= ma. Сонда ВЕD үшбұрышын үш қабыр-ғасы бойынша салуға болады. Салу: 1)ВЕ = mв, ЕD = ma, ВD = mc қабырғалары бойынша ΔВЕD 2) М – ЕD кесіндісінің ортасы 3) SM: В С нүктесі 4) SЕ: D A нүктесі 5) АВ, ВС, СА кесінділері АВС – ізделінді үшбұрыш Дәлелдеу: Салу бойынша ЕD =ma, онда центрлік симметрияның қасиетінен АМ = ma шығады. М – ЕD кесіндісінің ортасы және SM: В С бойынша SM:ВD СЕ, яғни BD = CE = mc. Ал ВЕ=mв, онда Е – медианалардың қиылысу нүктесі, яғни BN = mв, CP = mс. Зерттеу: ВЕD үшбұрышын салу үшін mа mв + mс, mв mа + mс, mс mа +mв, қатынастары орындалуы керек. Онда есептің бір ғана шешімі бар. Басқа жағдайларда есептің шеімі жоқ. жүктеу/скачать 1,93 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|