Методическая система подготовки студентов высшей педагогической школы к реализации линии практических приложений в курсе геометрии основной и старшей ступени общего образования
жүктеу/скачать 4,6 Mb. Pdf көрінісі
|
| 4
, Е. Но из условия известно положение точки начала Р 1 и конца Е траектории, а также те борта, которых коснется шар. Этого достаточно, чтобы про- вести процедуру «выпрямления траектории» Построив отрезок специальной прямой, а затем, совершив «обратные» построения, возможно восстановить вид ломаной (тра- екторию движения шара) и найти точку прицеливания. Построение (рис. 16). 157 1. Построить прямоугольник АВСD с отношением сторон 1:2. 2. Построить середины сторон АВ и СD – точки Е и F. 3. Построить точку Р 1 , так, чтобы FР 1 : Р 1 Е=1:3 4. Построить квадрат ВЕF / D / , симметричный квадрату ВЕFD относительно сто- роны ВЕ: продолжить сторону ВD за точку В и отложить отрезок ВD / , равный ВD, достроить квадрат. 5. Построить квадрат ВЕ / F // D / , симметричный квадрату ВЕF / D / относительно стороны ВD / : продолжить сторону F / D / за точку D / и отложить отрезок F // D / , равный F / D / , достроить квадрат. 6. Построить квадрат В / Е // F // D / , симметричный квадрату ВЕ / F // D / относительно стороны F // D / : продолжить сторону ВD / за точку D / и отложить отрезок В / D / , равный ВD / . 7. Соединить точки Р 1 и Е // . Таким образом, получен отрезок Р 1 Е // , который является «выпрямлением» тра- ектории движения шара. Отметим точки пересечения отрезка со сторонами постро- енных квадратов: Р 2 , Р / 3 , Р / 4 и проведем «обратные» построения. 8. Построить отрезок, симметричный отрезку Р / 4 Е // относительно стороны F // D / квадрата В / Е // F // D / . При преобразовании симметрии образом точки Р / 4 будет сама эта точка, т. к. она лежит на оси симметрии. Образом точки Е // будет точка Е / . Соединим точки Р / 4 и Е / , получим отрезок Р / 4 Е / . 9. Аналогично построим образы от- резков Р / 3 Р / 4 и Р / 4 Е / путем выполнения пре- образования симметрии относительно ВD / . Получим соответственно отрезки Р / 3 Р и РЕ. 10. Таким же образом построим об- разы отрезков РЕ, Р / 3 Р и Р 2 Р / 3 . Получим от- резки Р 4 Е, Р 3 Р 4 , Р 2 Р 3 . 11. Построить отрезок, симметричный отрезку Р / 4 Е // относительно стороны F // D / квадрата В / Е // F // D / . При преобразовании симметрии образом точки Р / 4 будет сама эта Р 4 Р 3 Р В / Е / F // F / D / A С Р / 4 Е // Р Р / 3 Р 1 D F В Е Рис. 16 158 точка, т. к. она лежит на оси симметрии. Образом точки Е // будет точка Е / . Соединим точки Р / 4 и Е / , получим отрезок Р / 4 Е / . 12. Аналогично построим образы отрезков Р / 3 Р / 4 и Р / 4 Е / путем преобразования симметрии относительно ВD / . Получим соответственно отрезки Р / 3 Р и РЕ. 13. Таким же способом построим образы отрезков РЕ, Р / 3 Р и Р 2 Р / 3 . Получим отрезки Р 4 Е, Р 3 Р 4 , Р 2 Р 3 . Доказательство. Ломаная Р 1 Р 2 Р 3 Р 4 Е является траекторией движе- ния бильярдного шара, т. к. по построе- нию ЕР 2 Р 1 = ВР 2 Р 3 ; ВР 3 Р 2 = DР 3 Р 4 ; DР 4 Р 3 == ЕР 4 F. Найдем положение Р 2 – точки прицеливания. Для этого вы- числим, например, длину отрезка Р 2 В. Воспользуемся рисунком 16, внеся в него нужные изменения. На нем оставим построенные нами ранее си- стему квадратов и отрезок Р 1 Е // , удалим обозначения точек, которыми не будем поль- зоваться. Дополнительно достроим еще один квадрат и проведем прямую Р 1 К парал- лельно DF (рис. 17). Рассмотрим Р 1 Е // К и Р 2 Е // Е / . Легко видеть, что они подобны по двум углам: Р 1 КЕ // = Р 2 Е / Е // =90 0 ; Е // – общий. Из подобия треугольников сле- дует подобие сторон. Примем длину стороны квадрата за единицу, тогда Р 1 К=2; КЕ // =2 3 2 (учитывая, что по условию Р 1 F= 3 1 ); Е / Е // =2. Найдем сторону Р 2 Е / . Запишем пропорцию: Р 1 К: Р 2 Е / = КЕ // : Е / Е // или 2:Х=2 3 2 :2. Отсюда Х= 2 3 , т. е. Р 2 Е / = 2 3 . Но Р 2 Е / = Р 2 В+ВЕ / ; учитывая, что ВЕ / =1, как сторона квадрата, получим: Р 2 В= Р 2 Е / - Р 2 Е / = 2 1 . Это означает, что игрок должен прицеливаться для удара по бильярдному шару в центр той части борта, которая расположена между лузами Е и В. В Е / A С Е // Р Р 1 D F Е К Рис. 17 159 Мотивируя дальнейшее изучение теории математических бильярдов, учитель может предложить изменить первоначальные условия задачи (положение забивае- мого шара), проверить предложенный метод решения в теории и на практике. Учи- тель также может продемонстрировать другие задачи (о переливании жидкости, об освещении зеркальных комнат, об осциллографе и т. д.), для решения которых уча- щимся необходимо продолжить изучение теории математических бильярдов. 4. Формирование мировоззрения. Под мировоззрением, как пишет Б.В. Гнеденко, принято понимать систему идеалов, принципов, философских, научных, политических, нравственных и эстети- ческих взглядов и убеждений человека, определяющих не только его отношение к миру, к самому себе, но и направление его деятельности. По определению, данному Б.В. Гнеденко, «мировоззрение представляет собой целый комплекс представлений о реальном мире, о его познаваемости, об отношении человека к труду, к другим лю- дям, к своим обязанностям по отношению к обществу» [91, с. 24]. Опираясь на работы известных педагогов и психологов (Э.И. Моносзон, И.Ф. Тесленко, Б.В. Гнеденко), под мировоззрением школьников будем понимать сово- купность мировоззренческих идей, объясняющих сущность и законы развития при- роды, общества, мышления, оформленных в сознании школьников в виде взглядов, убеждений, предположений, гипотез, аксиом, ведущих идей и ключевых понятий той или иной науки и создающих основу объяснения различных природных и обществен- ных процессов и явлений. Механизмы формирования мировоззрения у школьников средствами учебных предметов изучались многими учеными (В.В. Краевский, Н.А. Терешин, А.Л. Жо- хов). В работах этих и других авторов убедительно показано, что школьная матема- тика через свою прикладную составляющую может способствовать усвоению миро- воззренческих идей о взаимосвязи явлений объективного мира, о его познаваемости. Один из подходов к решению этого вопроса рассмотрен в монографии А.Л. Жохова [152]. В этой работе показано, что для усвоения различных мировоззренческих идей, а значит и для развития мировоззрения, учащиеся должны обладать рядом умений. К мировоззренческим умениям, которые могут быть приобретены в процессе обучения 160 математике, автор относит те, которые «либо представляют обобщенные способы по- знания и преобразования окружающего мира, в том числе и духовного мира чело- века, либо активно способствуют формированию других механизмов обобщенной ориентировки человека в мире» [152, с. 34]. А.Л. Жоховым приведены конкретные мировоззренческие умения, которые могут быть сформированы в процессе обучения математике. Среди них выделим сле- дующие: «для некоторого объекта познания строить математическую модель с ис- пользованием известных знаний и средств»; «осуществлять «обратное» действие поиска различных прообразов построенной модели в знакомых областях знаний или сферах деятельности» [152]. Их формирование невозможно без использования в обучении математике ее практических приложений. Рассмотрим пример, иллюстри- рующий умение осуществлять «обратное» действие поиска различных прообразов математической модели в различных областях знаний или сферах деятельности. Доказать, что при сечении конуса плоскостью, параллельной основанию, по- лучается сечение, площадь которого прямо пропорциональна квадрату расстояния от сечения до вершины. Это утверждение (математическая модель) служит теоретическим объясне- нием зависимости между силой освещения и расстоянием от источника света (ее про- образ). Поясним это. Действительно, представим, что имеется некоторый точечный источник света (карманный фонарик). Световой поток от такого источника представ- ляет собой конус. Направим его на некоторую поверхность, увидим световое пятно, которое можно считать основанием конуса. Будем удалять или приближать эту по- верхность (например, кусок картона) к источнику света. Заметим, что при удалении поверхности на расстояние, вдвое большее от источника света, площадь светового пятна увеличится в четыре раза, а количество световой энергии, приходящееся на единицу площади, станет вчетверо меньшим. (Мы увидим, что пятно станет менее ярким. А из курса физики известно, что сила освещения обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света.) В современной астрономии эту закономер- ность используют для определения расстояний до различных отдаленных объектов О О 1 рис.1 161 Вселенной. Таким образом, для построенной математической модели найден ее ре- альный прообраз. Мировоззренческая функция задач на приложения обоснована тем, что идея об общности отражения материального мира в математике раскрывается в содержании понятия, при изучении его свойств. Так, в определение параллелепипеда включены свойства окружающих нас предметов, имеющих такую форму. Зная, что объем па- раллелепипеда равен произведению трех его измерений, возможно, например, найти объем воздуха в учебном кабинете, объем железнодорожного вагона или других предметов, которые используются в домашнем обиходе независимо от их назначе- ния, веса и т. д. Таким образом, если бы понятие «параллелепипед» не носило аб- страктного характера, то для каждого предмета надо было бы иметь свою формулу для вычисления объема. Итак, в этой части исследования расширено и дополнено понятие задачи на приложения: Задача, связанная с практическими приложениями математики (за- дача на приложения), – это задача, основанная на содержательной модели реаль- ного объекта, математическая модель которого может быть построена сред- ствами школьного курса математики. Выявлены различия между задачей на прило- жения и сюжетной задачей, в фабуле которой использованы реальные объекты, со- стоящие в степени достоверности описания этих объектов и отношений между ними. В качестве уровней сложности задач на приложения, являющихся основным содержательным компонентом линии ППМ, принимаем уровни сложности выполне- жүктеу/скачать 4,6 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|