Пример 32. Построить эпюры Mx и Qyдля заданной балки (см. рис.).
Решение. 1.Предположим, что опорные реакции А и В направлены вверх (рис. а). Из уравнений равновесия имеем:
Для проверки найденных реакций используем уравнение равновесия.
а) б) в) г) Уравнение тождественно удовлетворяется, что указывает на правильность определения опорных реакций.
2. Для построения эпюр Mxи Qyзаданную балку разобьем на участки I, II, III таким образом, что бы в пределах каждого участка силовой фактор определялся непрерывной функцией от z. Применим метод сечений к I и III участкам (рис. б). Выражения для внутренних силовых факторов имеют вид:
Построим эпюру (рис. в), используя выражения и . Согласно правилам ординаты эпюры Qy, равны откладываются вверх и постоянны на I и II участках. В сечении D (рис. а), где приложена сила P, на эпюре Qyбудет скачок на величину P и в направлении этой силы. В сечении B, где z3=0, получаем . По значениям , поперечной силы в сечениях D и B строим прямую Qy на IIIучастке. Прямая пересекла ось на расстоянии z0 от опоры B. Значение z0 найдем, приравняв нулю. Тогда . В этом сечении на эпюре Mx достигается экстремальное значение.
Согласно правилам эпюра Mx на I участке линейна и положительна. При ; при . Согласно правилу на эпюре Mx в сечении C будет скачек на величину момента m (рис. д). Скачок момента направлен вниз, так как при переходе с I участка на II участок внешний момент m вызывает сжатие нижних волокон (рис. г). На II участке прямая параллельна прямой , так как производная Qyна обоих участках одинакова. Значение Mx в сечении D равно . На III участке эпюра Mx согласно правилу имеет вид квадратной параболы, которая выпуклостью направлена навстречу распределенной нагрузке q и имеет максимум в сечении .
Найдем . Параболу строим по трем значениям момента , =0, . Отметим, что в сечении D на эпюре Mx согласно правилу будет излом.
Проверим выполнение дифференциальных зависимостей на построенных эпюрах Qy, Mx. На участках I, II производная положительная функция (Mx) возрастает. В сечении D производная (Qy) имеет скачок, а функция (Mx) имеет излом. В сечении производная (Qy) равна нулю, функция (Mx) достигает максимума на III участке.