метод сведения к равносиль-
ной системе.
На конкретных примерах автор показывает методику решения
иррациональных неравенств.
Пример 1. Решить неравенство
.
Решение
.
«Решение таких неравенств зависит от знака правой части. Поэтому
рассмотрим два случая: 1.
2.
31
Первый случай
: Пусть
. При условии
обе части исход-
ного неравенства существуют и неотрицательны. Возведем обе части исход-
ного неравенства в квадрат. Тогда оно равносильно системе неравенств:
Отметим, что условие
обеспечивается первым
неравенством системы. Решая полученную систему неравенств, находим
, т.е. решение системы неравенств – промежуток
Второй случай:
Пусть теперь
. Тогда в силу неотрицательности
исходное неравенство выполняется для всех значений
x,
при кото-
рых существует
. Значит, исходное неравенство равносильно системе
неравенств:
Решением этой системы является промежуток
. Осталось объединить решения, полученные в обоих случаях:
Ответ
:
» [4, с. 204].
Пример 2
.
Решить неравенство
Решение
. «Рассмотрим два случая:
Первый случай
: Пусть
. При условии существования квадратного
корня:
– обе части исходного неравенства неотрицательны.
Возведем
их
в
квадрат.
Получим
систему
неравенств:
которая равносильна исходному неравенству. Регая
эту систему, находим
, т.е. решением этой системы яв-
ляется множество
Второй случай
: Пусть теперь
. Так как квадратный корень прини-
мает только неотрицательные значения, то ни при каких значениях
x
он не
может быть меньше нуля. Следовательно, решением исходного неравенства
будет множество, полученное в первом случае.
Ответ
:
» [4, с. 205].
32
Затем Р.Ю. Костюченко тмечает, что следование четкому алгоритму не
всегда приводит к правильному решению неравенства или может его услож-
нить. Поэтому учителю необходимо показать школьникам иные методы и
способы решения неравенств, а также требовать от них обоснованность каж-
дого действия. Как раз таким рациональным методом является метод интер-
валов. Он относится ко второму подходу решения иррациональных нера-
венств, который не предполагает использование равносильных преобразова-
ний [11].
Автор выделяет «этапы применения
метода интервалов при решении
неравенств
, независимо какое оно, рациональное или иррациональное:
1.
Привести исходное неравенство (если нужно) к виду
( знак
неравенства может быть разным:
; значение имеет то, что в левой
части неравенства стоит некоторая непрерывная в своей области определения
функция, а в правой –ноль).
2.
Найти область определения функции
3.
Найти нули функции
в области ее непрерывности (т.е. кор-
ни уравнения
) и точки разрыва (если они существуют).
4.
Нанести с учетом области определения, на числовую ось полученные
точки. Полезно нули функции в случае нестрого неравенства отмечать за-
штрихованным кругом, в случае строго неравенства – окружностью, точки
разрыва – окружностью; граничные точки области определения в случае воз-
можности нахождения в них значения функции
- отмечать в соот-
ветствии с выполнением истинности неравенства в каждой такой точке.
5.
На каждом из интервалов, полученных на числовой оси, определить
знак функции
и поставить его над этим интервалом (знак опреде-
ляется подстановкой произвольно выбранных наиболее удобных значений
x
из каждого интервала или используя свойство непрерывной функции о пере-
мене знака).
6.
Выбрать нужные по условию интервалы (и/или точки) и записать от-
вет.
33
Выделенные этапы совпадают с этапами решения иррациональных
неравенств, поэтому целесообразно применять этот метод при их решении»
[11, с.3-4].
Автор А.Г. Мордкович рассматривает метод интервалов. Он объясняет
его на примере:
Решить неравенство
Решение.
Данное неравенство равносильно совокупности систем неравенств:
-3
0 4
Х
Рис. 3. Решение неравенства методом интервалов
Получаем:
Из первой системы находим:
вторая
система не имеет решений.
Ответ:
.
Р.Ю. Костюченко приводит методические особенности обучения реше-
нию иррациональных неравенств учащихся основной школы:
1. Прежде чем приступить к изучению темы необходимо повторить,
что такое иррациональное число, ОДЗ неравенства, способы решения ирра-
циональных уравнений.
2. Чтобы решить иррациональное неравенство его преобразовывают к
рациональному. Следует учесть, что возведение в нечетную степень обеих
частей неравенства приводит к равносильному данному неравенств. При воз-
ведении в чётную степень равносильное неравенство получается при усло-
вии, если изначально обе части неравенства являются неотрицательными.
34
Другой способ решения – метод интервалов. Суть данного метода – нахож-
дение нулей неравенства и его ОДЗ.
Также он выделяет основные ошибки учащихся при решении ирраци-
ональных неравенств:
- забывают находить ОДЗ неравенства или находят её неправильно;
- возникают ошибки при переходе к равносильному неравенству;
- не владеют соответствующим материалом;
- допускают ошибки при вычислении;
- у учеников возникают сложности при решении, так как само неравен-
ство на первый взгляд выглядит очень сложно.
Таким образом, разобрав методические рекомендации по обучению те-
ме «Иррациональные неравенства» в курсе алгебры основной школы можно
сделать вывод, что решение всех иррациональных неравенств нельзя свести к
одному общему алгоритму. Необходимо выбрать рациональный способ и ме-
тод их решения, а также учесть все методические особенности при обучении
данной теме.
Достарыңызбен бөлісу: |