«методика обучения решению иррациональных неравенств в курсе алгебры основной школы»

17 
Начнем с первой системы. Первое неравенство показывает результат 
возведения начального неравенства в квадрат, а второе задает условие, кото-
рое позволяет это сделать. 
Вторая система подходит для случая, когда правая часть отрицательна, 
и возведение в квадрат невозможно. Но левая часть начального неравенства 
является арифметическим корнем, значит неотрицательна при всех значениях 
x
, на которых она определена. Таким образом, исходное неравенство может 
выполняться при всех 
x
, при которых существует левая часть.
Пример. Решить неравенство 
. 
Решение. 
Данное неравенство равносильно совокупности двух систем
Ответ: 
 
Иррациональное неравенство вида 
равносильно системе неравенств
Обе 
части начального неравенства являются неотрицательными при любых 
x
, на 
которых они определены, значит его можно возвести в квадрат. Первое нера-
венство – это результат возведения в степень начального неравенства, в вто-
рое неравенство – это условие существования корня, при котором видно, что 
неравенство 
автоматические выполняется.
Приведем пример неравенства данного вида и его решение.
Решить неравенство 
Решение. 
Данное неравенство равносильно системе 
Ответ:
. 
4.
Введение новой переменной.

18 
Этот метод применяется как при решении иррациональных уравнений, 
так и при решении иррациональных неравенств. В ряде случаев метод приво-
дит к упрощению неравенств. Обычно новая переменная – это радикал, кото-
рый входит в неравенство. При этом получается рациональное неравенство 
[25]. Приведем пример решения иррационального неравенства с помощью 
метода введения переменной.
Решить неравенство 
. 
Решение. 
Введем новую переменную 
Тогда 
и для переменной 
t
получаем рациональное неравен-
ство
Нужно сделать обратную замену и найти 
x
:
 
Ответ:
Рассмотрев основные методы решения иррациональных неравенств, 
используемые в методической литературе приведем анализ учебников раз-
ных авторов для классов с углубленным изучением математики в 9 классе. 
Результаты анализа представлены ниже в Таблице 1, в которой рассматрива-
ются основные понятия и определения по теме, методы решения иррацио-
нальных неравенств. 
В учебнике Н.Я. Виленкина изучение темы «Иррациональные неравен-
ства» начинается с основных правил решения иррациональных неравенств.
Далее вводится 
понятие иррациональных неравенств
, 
виды простейших ир-
рациональных неравенств 
и
теоремы
, применяемые для их решения:
«1. Если обе части неравенства возвести в степень с нечетным показателем, 
оставив знак неравенства без изменения, то полученное неравенство равно-
сильно исходному. 2. Если обе части неравенства возвести в четную степень, 
оставив знак неравенства без изменения, то полученное неравенство равно-

19 
сильно исходному лишь в том случае, когда каждая часть этих неравенств 
неотрицательна» [4, с. 202].
Теория по данной теме изложена подробно, автор приводит пять при-
меров решения иррациональных неравенств, которые решает с помощью воз-
ведения обеих частей неравенства в одну и ту же степень, сведения к равно-
сильной системе. 
Таблица 1 
Изучение темы «Иррациональные неравенства» в учебниках 9 классов 
Алгебра, углуб-
ленное изучение, 
Н.Я. Виленкин
Алгебра, углуб-
ленное изучение, 
Ю.Н. Макарычев
Алгебра, углубленное 
изучение,
А.Г. Мордкович 
Алгебра; 
Н.В. Богомолов
Количество часов на изучение темы 
3 
4 
3 
3 
Последовательность рассматриваемого материала 
- «дробно рацио-
нальные уравне-
ния; 
- системы уравне-
ний с двумя пере-
менными; 
- уравнения и си-
стемы уравнений с 
параметрами; 
- рациональные 
неравенства;
-иррациональные 
уравнения; 
-иррациональные 
неравенства» [4,
с. 382].
- «решение ирра-
циональных урав-
нений; 
- решение ирраци-
ональных нера-
венств» [14, с. 
446].
- «рациональные нера-
венства; 
- множества и опера-
ции над ними; 
- системы неравенств; 
- совокупности нера-
венств; 
- неравенства с моду-
лями; 
- иррациональные не-
равенства» [15, с. 
254].
- «линейные нера-
венства; 
- системы линейных 
неравенств; 
- квадратные урав-
нения; 
- квадратные нера-
венства. 
- иррациональные 
уравнения и ирра-
циональные нера-
венства» [3, с. 397]. 
Введение понятия иррационального неравенства 
«Иррациональные 
неравенства – это 
неравенства, в ко-
торых неизвестное 
содержится под 
знаком радикала» 
[4, с. 201]. 
«Иррациональные
неравенства – это 
неравенства, кото-
рые содержат пе-
ременную под зна-
ком корня или в 
которых перемен-
ная входит в осно-
вание степени с 
дробным показате-
лем» [14, с. 271].
«Неравенство вида 
Решения 
такого неравенства 
должны удовлетворять 
условию 
»
[15, с. 47]. 
«Неравенство, со-
держащее перемен-
ную под знаком 
корня, называют 
иррациональным»
[3, с. 96]. 

20 
В учебнике Ю.Н. Макаровича «Алгебра-9» тема « Иррациональные не-
равенства» начинается с понятия иррациональных неравенств. «Основная 
цель при решении иррациональных неравенств состоит в том, чтобы ирраци-
ональное неравенство свести к равносильному ему рациональному неравен-
ству или равносильной системе, содержащей рациональные неравенства» [14, 
с. 271]. Далее приведены теоремы для обоснования равносильности прово-
димых преобразований и их доказательства. Автор подробно рассматривает 
множество различных примеров решения иррациональных неравенств с по-
мощью таких методов, как метод возведения обеих частей неравенства в од-
ну и ту же степень, метод сведения
к равносильной системе.
В учебнике А.Г. Мордковича тема «Иррациональные неравенства» от-
носится к первой главе. Автор рассматривает данную тему через решение 
иррациональных неравенств, не давая теоретического основания. В учебнике 
приводится пять примеров, решаемые с помощью метода интервалов и мето-
да сведения к равносильной системе. Упражнения для самостоятельного ре-
шения отсутствуют. Тема не раскрыта подробно, дана для ознакомления 
учащимся. 
У Н.В. Богомолова тема «Иррациональные неравенства» рассмотрена 
кратко, наибольшее внимание автор уделяет теме «Иррациональные уравне-
ния». Приведен вид простейших иррациональных неравенств с одной пере-
менной и два случая их решения. «Решение иррационального неравенства с 
одной переменной сводится к решению равносильной ему системы рацио-
нальных неравенств или совокупности систем иррациональных неравенств»
[3, с. 96]. Рассмотрено два примера на метод введения новой переменной. 
Таким образом, в учебниках алгебры разных авторов место изучения 
темы «Иррациональные неравенства» различно. Анализ содержания теорети-
ческого материала показал, что на обучение решению иррациональных нера-
венств отводится мало времени. Данные неравенства в большинстве случаев 
решаются с помощью методов, таких как метод возведения обеих частей не-
равенства в одну и ту же степень, метод интервалов, метод сведения к равно-

21 
сильной системе и метод введения новой переменной. Чаще всего авторы 
применяют метод сведения к равносильной системе. 

жүктеу/скачать 1,89 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: