§ 4. Типы задач по теме « Иррациональные неравенства»
в учебниках алгебры 9 классов
Изучив тему «Иррациональные неравенства» из учебников 9 класса с
углубленным изучением математики можно выделить типы иррациональных
неравенств на основе методов их решения. Проанализировав задачный мате-
риал, нами составлена типология задач по каждому методу решения ирраци-
ональных неравенств. Рассмотрим их.
Метод возведения обеих частей неравенства в одну и ту же степень
Данный метод рассматривают в своих учебниках Н.Я. Виленкина и
Ю.Н. Макарычева.
На основе примеров из учебников приведены следующие упражнения:
а)
в)
б)
г)
Приведем решение некоторых их них.
1.
Решить неравенство
.
Решение.
Возведем обе части в квадрат. Получим:
Ответ:
2.
Решите неравенство:
.
Решение.
Возведем обе части в квадрат. Получим:
Ответ:
3.
Решить неравенство
.
Решение.
Возведем обе части в четвертую степень. Получим:
Ответ:
Метод интервалов
22
Метод интервалов представляется в учебнике А.Г. Мордковича. Изучив
теоретический материал и примеры данного учебника, были рассмотрены за-
дания, решаемые с помощью этого метода. Выделены типы задач:
а)
в)
б)
г)
4.
Решить неравенство
Решение.
Данное неравенство равносильно совокупности системе нера-
венств:
-3
х
-
-3 -
х
или
х
-3 -3
х
х
1 2
x
Рис.2. Решение неравенства методом интервалов.
Ответ
:
Метод сведения к равносильной системе
Данный метод рассматривают в своих учебниках Н.Я. Виленкина, Ю.Н.
Макарычева и А.Г. Мордковича.
На основе примеров из учебников приведены следующие упражнения:
а)
в)
23
б)
г)
5.
Решите неравенство:
Решение.
При условии, что обе части неравенства существуют и неот-
рицательны. Однако, после возведения в квадрат получим неравенство
которое не обеспечивает отрицательность выражения
, т.е.
существования
. Поэтому исходное неравенство равносильно системе
неравенств:
Ответ:
.
6.
Решите неравенство:
Решение.
При условии, что обе части неравенства существуют и неот-
рицательны. Однако, после возведения в квадрат получим неравенство
которое не обеспечивает отрицательность выражения
,
т.е. существования
. Поэтому исходное неравенство равносильно
системе неравенств:
Ответ:
7.
Решите неравенство:
Решение.
Имеем:
«1-й случай. Пусть
. При условии существования квадратного
корня:
– обе части исходного неравенства неотрицательны.
Возведем в квадрат. Получим систему неравенств:
решая эту систему находим
т.е решением этой системы
является множество:
.
24
2-й случай. Пусть теперь
Так как квадратный корень прини-
мает только неотрицательные значения, то ни при каких значениях
x
он не
может быть меньше нуля. Следовательно, решением исходного неравенства
будем множество, полученное в первом случае» [4].
Ответ:
8.
Решить неравенство
.
Решение.
Неравенство равносильно системе
Ответ:
9.
Решить неравенство
Решение.
Данное неравенство равносильно системе:
Из полученной системы легко находим
Ответ:
10.
Решить неравенство
25
Решение.
Ответ:
.
Метод введения новой переменной
Метод интервалов представляется в учебнике Н.В. Богомолова. Изучив
теоретический материал и примеры данного учебника, были рассмотрены за-
дания, решаемые с помощью этого метода. Выделены их типы:
а)
в)
11.
Решить неравенство
Решение.
Введем новую переменную. Пусть
Тогда
Это неравенство равносильно системе:
Отсюда достаточно решить систему, сделав замену:
Ответ:
12.
Решить неравенство
Решение.
26
Перепишем исходное неравенство
Сделаем
замену
Тогда получим
Таким образом, для определения
x
получаем совокуаность нера-
венств
Ответ:
13.
Решить неравенство
Решение.
Введем новую переменную
Тогда
и для переменной
t
получаем рациональное нера-
венство
Оста-
лось сделать обратную замену и найти
x
:
Ответ:
14.
Решить неравенство
Решение.
Пусть
тогда для решения исходного неравенства доста-
точно решить систему неравенств:
Следовательно,
Полученное двойное неравенство равносильно системе:
Ответ:
27
Таким образом, в данном параграфе были выделены типы иррацио-
нальных неравенств на основе методов их решения.
первой главе
1.
Приведены исторические аспекты возникновения понятия
иррацио-
нального числа
и
иррациональных неравенств
в алгебре, показано значение
открытия
иррациональности
.
2.
Из федерального государственного образовательного стандарта ос-
новного общего образования приведены предметные результаты в области
«Математика» по теме «Иррациональные неравенства».
3.
Выявлены основные требования к знаниям и умениям учащийся 9
классов по теме исследования. Рассмотрены результаты обучения учащихся
на базовом, базовом и углубленном, углубленном уровнях по темам «Нера-
венства» и «Иррациональные неравенства».
4.
Проведен анализ содержания учебников алгебры для 9 класса с
углубленным изучением математике по теме «Иррациональные неравен-
ства».
5.
Выделены типы иррациональных неравенств на основе методов их
решения. Анализ учебников алгебры разных авторов для классов с углублен-
ным изучением математики позволил составить типологию заданий для каж-
дого из методов, а также рассмотреть примеры решения иррациональных не-
равенств.
|