Методняескне осяовьт. Учебное пособие
жүктеу/скачать 0,96 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Обобщение и коякрети,зация.
Нисходящии aнanuз (анализ Евклида). При нисходя- щем анализе рассуждения также начинают с заключения теоремы, однако подбирают уже не достаточные, а необхо- димые условия. Выведение необходимых условий продол- жают до тех пор, пока не придут к очевидному следствию, представляющему собой или условие теоремы, или ранее изученное предложение. Если окажется возможным прове- сти рассуждения в обратном порядке, при котором условие теоремы или очевидное предложение выступают отправной посылкой, то получим искомое доказательство.
Рассмотрим пример. Доказать, uтo при п 1 верно неравенство: (4) Докозптельство: Допустим, что верно неравенство (4). Умножим обе части неравенства на множитель: Преобразуя выражения, получим: 2п+ 2 tn' —1 < 4 п , (5)
(6)
іі 2 — 1 ii . (8) (8) — известное неравенство. Таким образом, закончен процесс анализа. Между данным неравенством и извест- ным неравенством существует определенная связь. Полу- ченная последовательность(4)—+(8) не является доказатель- Тб ством. Для полного доказательства необходимо показать, ЧТО: (8) —› (7) (6) —› (5) —+ (4). Действительно, из (8) можно получить (7), а из (7) — (6) и т. д. О методе доказательства от противного более подробно будет сказано далее в разделе “Математические утвержде- ния, теоремы и их доказательства”. Обобщение и коякрети,зация. Одним из простых и часто применяемых методов при структуры рование теоретиче— ских вопросов и формулировок заключений является метод обобщения. Под обобщением понимают мысленное выделе- ние, фиксирование каких-либо свойств, принадлежащи х только данному множеству объектов и объединяющи х эти объекты воедино. Методическую основу обобщение составе яют диалек- тические принципы о взаимной условности предметов и явлений окружающей действительности. Даже простое обобщение составляет основу глубокого осознали я взаи— мосвязей мира. Коикреіпизация односторонне фиксирует одну сторону объекта изучения вне связи с другими его сторонами. Из истории наукгі известно, что два противоположных процесса находятся в диалектическом единстве: материалы, накопленные империческим путем, обоб— щаются и устанавливаются в общие закономерности; установленные общие закономерности находят свое применение в конкретных объектах и явлениях реальной действительности. Эти процессы проявл яются в школьном курсе мате— матики в виде обобщение теоретически х материалов и закономерностей, задач конкрети зации, расширени я и сужения и т. д. В математике оdобще ние. поне мается как пepex од от рассмотрения элементов множества М к множеств у N, рассмотрение множества N", являющееся подмножеством множества JY, и изоморdзным множеству М. Конкретиза- qией является, наоборот, переход из рассмотрения элемен— тов второго множества к рассмотрению элементов первого множества. Для того итобы объяснить учащимся суть обобщения и конкретизации, необходимо пepex одить к рассмотрению ее с точки зрения частного случая теории множеств. Пусть множество М является подмножеством множества N, тогда переход от множества М к мщoжecтвy N будет о5общением, а от множества N н множеству М — кон кретинацией. Если в процессе конкретизации осуществляется пере- ход от рассмотрени я элементов рассмат риваемого мно- жества к элементам его подмножества, то утвержденные для элементов данного множества свойства являются и свойствами элементов его подмножества. Например, для изучения понятия ромб сначала пока- зывают, что своиствами параллелограмма обладает и ромб (так как ромб есть параллелограмм), а затем доказывают характерные только для ромба свойства. При обобщении осуществляется переход из рассмотре- ния какого-либо множества к рассмотрению множества, включающего рассматриваемое множество. Поэтому сна- чала доказываются все свойства элементов первого множе- ства, а затем все свойства, присущие элементам вне этого множества. При переходе сохраняются некоторые свойства, но одни из них теряют силу, а другие — объяс няются в обобщенном виде. Например, множество прямоугольных треугольников является подмножеством любого множе- ства треугольников. При переходе из первого множества ко второму сохраняются следующие свойства: “Прямоуголь- ному треугольнику можно вписать треугольник”, “сумма внутренних углов треугольника равна 180”’. А свойство “Если в прямоугольном треугольнике один угол равен 30‘, то противолежащий к этому углу катет будет равен по- ловине гипотенузы” справедливо только для прямоуголь- ных треугольников и этим свойством не обладают другие виды треугольников. Теорему Пифагора, справедливую для прямоугольны х треугольник ов, можно заменить его обобщением теоремой косинусов, которая справедливо для любого треугольника. Для обучения учащихся умению обобщать и конк ре- тизировать, необходимо рассматривать все возможные случаи. Это выполнимо при формировапии математических понятий, при решении математических задач, повторений материалов тем и глав. Такая работа должна осуществлять- ся целенаправленно и последовательно. Источником результативного усвоени я методов обоб- щения и конкретизации является знание об их структур- ных составляющих. жүктеу/скачать 0,96 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|