Научный журнал

ВОПРОСЫ МАТЕМАТИКИ, ТЕХНИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ 
 
 
Вестник
 
КАСУ
 
185 
УДК 519.2 
ВЫЯВЛЕНИЕ РОЛИ ПОНЯТИЯ ЗАБЛУЖДЕНИЯ В РАЗВИТИИ 
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПОЗНАНИЯ 
Белослюдова В.В. 
 
Истина и заблуждение являются диа-
лектическими  противоположностями,  вза-
имно исключающими и взаимно предпола-
гающими  сторонами  единого  и  развиваю-
щегося  целостного  познавательного  про-
цесса, при определенных условиях перехо-
дящими друг в друга.  
Творческая  активность  субъекта,  ос-
нованная  на  общественно-исторической 
практике, служит условием объективного и 
конкретного познания истины через заблу-
ждение.  Историческое  рассмотрение  науч-
ного познания позволяет исследовать логи-
ку  движения  мышления к  объективной  ис-
тине через заблуждение. 
Логическое 
есть 
исправленное, 
обобщенное,  свернутое  историческое,  в 
котором существует феномен заблуждения. 
Формы  и  типы  заблуждений  в  контексте 
познавательного  процесса  многообразны. 
Существуют  заблуждения:  в  виде  фиктив-
ных  идеальных  элементов,  входящих  в  со-
став  развивающихся  относительных  истин 
и  снимающих  из  их  состава  на  основе 
практики;  создающие  острую  проблемную 
ситуацию в той или иной науке (например, 
проблема  пятого  постулата  Евклида),  ре-
шая  которую,  субъект  движется  к  новым 
результатам  (к  новым  неевклидовым  гео-
метриям); и наконец, связанные с активно-
стью  субъекта  в  процессе  экстраполяции 
существующей  теории  ее  применимости, 
определяющие  границы  ее  применимости 
(например,  чрезмерная  экстраполяция  тео-
рии множеств Кантора в области так назы-
ваемых  сверхобширных  бесконечных  мно-
жеств  привела  к  парадоксальным  ситуаци-
ям и оказалась заблуждением). 
Велико  значение  концепции  истины 
как процесса для исследования диалектики 
истины  и  заблуждения  в  познавательном 
процессе.  Эта  концепция  основана  на 
принципах практики,  активности субъекта, 
отражения,  противоречия,  конкретности, 
развития,  единства  исторического  и  логи-
ческого.  С  этой  точки  зрения,  развиваю-
щаяся объективная истина,  предметное  со-
держание  которой  не  зависит  от  субъекта, 
существует 
в 
форме 
относительно-
абсолютной истины. Человеческое  мышле-
ние  по  природе  своей  способно  давать  и 
дает  нам  абсолютную  истину,  которая 
складывается из суммы относительных ис-
тин. Каждая ступень в развитии науки при-
бавляет новые зерна в эту сумму абсолют-
ной  истины,  но  пределы  истины  каждого 
научного положения относительны, будучи 
то раздвигаемы, то суживаемы дальнейшим 
ростом  знания.  Таково  диалектическое  по-
нимание  объективной  истины,  моментами 
постижения  которой  являются  относитель-
ная и абсолютная истины.  
Само абсолютное в развитии науки и 
математики  относительно,  проявляется  в 
относительном. 
Относительную  истину  необходимо 
представить  как  живое  противоречивое 
единство  объективного  предметного  со-
держания,  зерна  абсолютной  истины  и  за-
блуждения в составе научной теории. Речь 
идет  о  заблуждениях,  входящих  в  матема-
тические  теории,  представляющие  собой 
развивающиеся  относительные  истины  на 
основе  практики.  Об  этом  говорится  в  ин-
тересной  с  гносеологической  точки  зрения 
монографии  В.М.  Чудинова  «Природа  на-
учной истины» [5]. При переходе от старых 
относительных  истин  к  новым  происходит 
накопление  зерен  абсолютной  истины  за 
счет  уменьшения  доли  заблуждения,  тем 
самым,  математика  приближается  к  абсо-
лютной  истине,  она  глубже  воспроизводит 
качественно определенные количественные 
отношения  действительности,  диалектику 
качества и количества. 
Современная  математика,  изучая 
различные  абстрактные  структуры,  алгеб-
раические  категории,  становится  наукой  о 
мерах, о формах единства качества и коли-
чества.  При  таком  понимании  относитель-
ной истины может происходить переход от 
старой теории к новой, затем к новейшей и 
т.д.  научной  теории  путем  реализации 
принципов перманентности и соответствия, 

ВОПРОСЫ МАТЕМАТИКИ, ТЕХНИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ 
 
 
Вестник
 
КАСУ
 
186 
с помощью которых снимается и преодоле-
вается феномен заблуждения, содержащий-
ся  в  составе  старой  теории.  Здесь  можно 
отметить  своеобразную  гносеологическую 
роль принципов перманентности и соответ-
ствия в преодолении и снятии заблуждения 
в  процессе  движения  познания  к  принци-
пиально  новым  результатам,  от  относи-
тельной  истины  к  абсолютной  на  основе 
общественно-исторической практики. 
Никакая  математическая  теория  как 
относительная  истина  не  может  охватить 
исчерпывающим  образом  многообразные 
количественные  отношения  предметного 
мира; она может постоянно приближаться к 
ним,  создавая  все  более  и  более  общие  и 
конкретные  теоретические  системы  (на-
пример,  геометрические  системы  Лобачев-
ского и Римана), содержащие предыдущие, 
менее общие (например, геометрию Евкли-
да)  в  качестве  частного,  предельного  слу-
чая.  В  свете  принципов  перманентности 
оборачивания  метода  и  соответствия  мате-
матическое  познание  становится  бесконеч-
ным,  подвижным  и  закономерно  разви-
вающимся от одного уровня к другому, бо-
лее  высокому,  путем  последовательного 
снятия  заблуждения  (фиктивных  элемен-
тов) из состава старой теории и вхождения 
нового  заблуждения  в  состав  новой  мате-
матической теории. Так, второй кризис ос-
нований  математики  был  связан  с  трудно-
стями  обоснования  природы  бесконечно 
малого. В одних случаях бесконечно малое 
математиками  того  времени  отождествля-
лось с нулем, а в других оно - отличная от 
нуля  конечная  величина.  Такое  понимание 
бесконечно  малого  порождало  много  про-
тиворечий,  оно  было  заблуждением.  По-
строенная  известными  математиками  О. 
Коши  и  К.  Вейерштрассом  новая  теория 
пределов  позволила  объяснить  его  приро-
ду:  бесконечно  малое  - это переменная ве-
личина, стремящаяся к нулю. Таких приме-
ров много. 
Заблуждение - момент формирующе-
гося  и  развивающегося  математического 
знания, становящейся математической тео-
рии. В одних случаях оно в форме фиктив-
ных  идеальных  элементов  входит  в  ореол 
тематической  теории  как  относительной 
истины, снимая себя при переходе к новой 
обобщенной теории.  В других случаях оно 
сопровождается  и  способствует  историче-
скому движению познания к новым резуль-
татам. Например, при переходе от евклидо-
вой геометрии к непротиворечивой системе 
аксиом, являющейся истинным основанием 
теории, была получена геометрия Н.И. Ло-
бачевского. 
Лобачевский  вводит  новые  понятия 
функции  параллельности,  предельной  ли-
нии и предельной  сферы, орицикла. Среди 
них  фундаментальной  является  функция 
параллельности,  имеющая  свойство  моно-
тонности, пределы изменения и т.д.  
Она  в  теоретической  системе  Лоба-
чевского  играет  такую  же  логическую 
функцию,  как  новая  функция  в  квантовой 
механике.  Лобачевскому  удалось  дать  тео-
ретическое  объяснение  тайны  данной 
функции  (при  всей  разнородности,  гетеро-
генности углов и отрезков найдена их глу-
бокая  взаимосвязь)  после  открытия  обоб-
щенного  принципа  параллельности  как  ис-
торически  и  логически  исходной  абстрак-
ции новой теоретической системы. 
Функция  параллельности  показывает 
специфичность  прямых  в  этой  системе  и 
описывает  расположение  параллельных  и 
расходящихся прямых. Величайшая заслуга 
Лобачевского  заключается  в  открытии  за-
кона  взаимосвязи  углов  и  отрезков.  Этот 
закон  служит  ядром  неевклидовой  геомет-
рии Лобачевского и был открыт с помощью 
системы  мысленного  эксперимента  и  ак-
сиоматического  метода.  Таким  образом, 
для формирования математического знания 
необходимо  глубже  исследовать  роль  за-
блуждения  в  познании  природы  конечно-
сти. 
Рассмотрим диалектику истины и за-
блуждения  в  процессе  обоснования  мате-
матики.  Как  мы  уже  говорили,  заблужде-
ние  способствовало  нахождению  истинно-
го  способа  обоснования  математической 
теории  (например,  геометрии,  теории  мно-
жеств  и  т.д.).  Примером  этому  служит 
формалистическая  программа  Гильберта. 
«Труд гениев, - писал М. Шелли [7], - даже 
ложно  направленный,  почти  всегда  в  ко-
нечном  итоге  служит  на  благо  человечест-
ва».  Огромный  логико-математический 
труд  Гильберта,  ложно  направленный  на 
возможность  представить  классическую 
математику  в  форме  полной  формализо-

ВОПРОСЫ МАТЕМАТИКИ, ТЕХНИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ 
 
 
Вестник
 
КАСУ
 
187 
ванной  аксиоматической  системы  с  после-
дующим  непосредственным  доказательст-
вом ее противоречивости привел к важным 
теоретическим результатам. 
Возникает  закономерный  вопрос: 
возможна  ли  полная  формализация  всего 
математического знания,  возможно ли соз-
дание  единой  всеохватывающей  формали-
зованной аксиоматики для всей математики 
с  целью  доказательства  ее  непротиворечи-
вости?  
Положительное решение этих вопро-
сов  означало  бы  абсолютное,  метафизиче-
ское  обоснование  классической  математи-
ки. «С помощью этого нового обоснования 
математики,  -  указывал  Гильберт  [1],  -  я 
надеюсь с вопросами обоснования матема-
тики,  как  таковыми,  покончить...».  Впо-
следствии  оказалось,  что  оно  никак  невоз-
можно,  все  это  метафизическое  заблужде-
ние. Однако на этом ложном пути реализа-
ции  программы  Гильбертом  получены  ис-
тинные  метатеоретические  результаты. 
Так,  возникает метаматематика или теория 
доказательств,  в  котором  допустимы  толь-
ко  абстракция  потенциальной  бесконечно-
сти [5].  
Отсюда  видно,  что  для  получения 
математически  правильных  результатов 
Гильберту  нужно  было  исходить  из  мате-
матически  ложного  предположения.  Об 
этом  свидетельствуют  фундаментальные 
теоремы  Геделя,  полученные  на  пути  реа-
лизации  гильбертовской  программы  обос-
нования математики. 
Гедель  показал  принципиальную  не-
возможность  полной  формализации  не 
только  всей  математики,  но  и  даже  содер-
жательной арифметики. Он отверг попытку 
Гильберта  доказать  непротиворечивость 
классической  математики,  выраженной  в 
виде формальной системы, и пришел к вы-
воду  о  том,  что  невозможно  доказать  не-
противоречивость  формализованной  ак-
сиоматической системы с помощью ее соб-
ственных  логических  средств.  Для  этого 
надо  обратиться  к  методам,  формализуе-
мым в рамках другой, более мощной и бо-
гатой  формальной  системы.  Речь  идет  об 
относительности к средствам этого доказа-
тельства.  
К  этим  фундаментальным  и  истин-
ным  результатам  математики  пришли  пу-
тем  реализации  ложной  и  утопичной  в  не-
которых  своих  пунктах  гильбертовской 
формалистической  программы  обоснова-
ния математики. 
В  известной  степени  интуиционист-
ская  программа  обоснования  классической 
математики также содержала истинные на-
учные идеи ее построения на другой осно-
ве, чем канторовская теория множеств. На-
пример,  Брауэр считал допустимыми толь-
ко абстракцию потенциальной бесконечно-
сти  и  в  связи  с  нею  новую  интуиционист-
скую логику; Вейль же рассматривал толь-
ко  конструктивные  объекты  математиче-
ского  анализа.  Эти  истинные  логико-
математические  идеи,  выраженные  в  не-
адекватной  форме,  по  Н.А.  Шанину  [6], 
«предопределили  основные  черты  конст-
руктивного направления в математике».  
Однако  эти  истинные  математиче-
ские  идеи  интуиционистов  не выступали  в 
«чистом  виде»,  а  принимали  форму  заблу-
ждения  в  виде  возможности  непосредст-
венного  интуитивного  обоснования  мате-
матики, исходя из мистической идеи о пер-
воинтуиции.  
Такова  роль  так  называемых  фор-
мальных  заблуждений  Гильберта  и  интуи-
ционистских  фиктивных  элементов  Брау-
эра  и  Вейля  в  процессе  истинного  обосно-
вания  развивающейся  математики,  преодо-
ления  «сомнения  и  уныния  по  поводу  ма-
тематической науки». Гильбертовская идея 
полной  формализации  математики  была 
заблуждением,  которая  направляла  движе-
ние  познания  к  достижению  фундамен-
тальных истинных результатов. 
Математика является специфическим 
отражением объективной реальности, она с 
определенной  полнотой  отражает  ее  мно-
гообразные  количественные  отношения  и 
пространственные  формы,  данные  через 
общественно-историческую практику.  
Теоремы Геделя доказывают взаимо-
связь  формальной  и  содержательной  мате-
матики,  единство  формального  и  содержа-
тельного аспектов в процессе построения и 
обоснования  развивающейся  математиче-
ской теории. 
В  корне  ложна  и  никак  не  осущест-
вима  попытка  Гильберта  изгнать  предмет-
ное  содержание  из  состава математическо-
го  знания.  Но  к  этому  истинному  диалек-

ВОПРОСЫ МАТЕМАТИКИ, ТЕХНИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ 
 
 
Вестник
 
КАСУ
 
188 
тическому  результату  сами  математики 
пришли  через  преодоление  формалистиче-
ских  заблуждений  на  пути  реализации  це-
лостной  программы  Гильберта,  не  знавше-
го  открытого  Марксом  диалектического 
закона оборачивания метода, имевшего ме-
сто  при  переходе  от  содержательных  тео-
рий  классической  математики  (например, 
содержательной  арифметики)  к  ее  фор-
мальным системам, являющимся исходным 
пунктом  дальнейшего  развития  научно-
теоретической мысли. 
Аналогично  этому  создатели  нового 
дифференциального  исчисления  Ньютон  и 
Лейбниц «верили в таинственный характер 
новооткрытого исчисления, которое давало 
правильные  (и  притом  в  геометрическом 
применении  прямо  поразительные)  резуль-
таты  математически  положительно  непра-
вильным путем» [2].  
Ибо  они  не  знали  диалектического 
закона оборачивания метода, имевшего ме-
сто  при  переходе  от  алгебры  к  дифферен-
циальному  исчислению,  связанного  с  пре-
вращением  алгебраического  метода  в  дру-
гой,  противоположный  ему  дифференци-
альный  метод,  с  переходом  от  предметной 
(содержательной)  интерпретации  символов 
к  их  формально-оперативному  определе-
нию. 
Ньютон  и  Лейбниц  не  смогли  рас-
крыть  алгебраические  корни  нового  диф-
ференциального  исчисления,  объяснить 
оперативную 
роль 
дифференциальных 
символов, поэтому они, исходя из ложного 
предположения,  его  мистифицировали. 
Маркс  глубоко  «раскрыл  оперативную 
роль  символов  на  основе  диалектического 
закона  оборачивания  метода»  [4],  имевше-
го  место  при  переходе  от  предметного  к 
оперативному  рассмотрению  дифферен-
циала.  Включение  в  концептуальные  сис-
темы  фиктивных  идеальных  элементов, 
соотнесенных  с  изучаемой  предметной  об-
ластью,  позволяет  построить  общую  тео-
рию на основе старой теории.  
Примером  этому  могут  послужить 
фиктивные несобственные интегралы в ма-
тематическом анализе и т.д.  
При  помощи  включения  этих  фик-
тивных  элементов  в  понятийную  систему 
мы  обобщаем  старую  теорию  на  смежные 
предметные  области,  на  новые,  фиксиро-
ванные математической практикой количе-
ственные  отношения  и  пространственные 
формы  объективного  мира,  тем  самым 
глубже познавая изучаемый объект. 
Методу  «идеальных  элементов»  уде-
лял  большое  внимание  Д.  Гильберт.  Он 
широко  применяется  и  в  современной  ма-
тематике  и  получает  свое  объяснение  с 
точки  зрения  диалектического  закона  обо-
рачивания  метода,  связанного  с  принципа-
ми  перманентности,  соответствия  и  кон-
кретности. Истина есть процесс.  
При  этом  абсолютная  истина  пред-
ставляет  собой  сумму  относительных  ис-
тин,  содержащих  феномен  заблуждения  в 
виде  фиктивных  «идеальных  элементов», 
причем,  каждая  ступень  в  развитии  мате-
матики  «прибавляет»  новые  зерна  объек-
тивного  предметного  содержания  в  эту 
сложную  сумму  за  счет  уменьшения  доли 
заблуждения.  
Истина  есть  процесс  синтеза  субъек-
тивного  и  объективного,  относительного  и 
абсолютного,  абстрактного  и  конкретного 
на 
основе 
общественно-исторической 
практики. Обычно в начале познавательно-
го процесса выдвигается какая-то гипотеза, 
а  затем  субъект  стремится  ее  доказать.  На 
этом  пути  он  получает  новое  знание,  идет 
движение  познания  к  новым  результатам. 
Впоследствии  обнаруживается  ложность 
этой гипотезы, тем не менее, она способст-
вовала  росту  научного  знания.  Заблужде-
ние  –  это  необходимый  момент  формули-
рующегося  и  развивающегося  научного 
знания. 
Таким  образом,  заблуждение,  спо-
собствуя  движению  математического  по-
знания  к  новым  результатам,  снимается 
при переходе к непротиворечивым формам 
и методам математики. Об этом свидетель-
ствует богатый опыт творческой лаборато-
рии Н.И.  Лобачевского, Б.  Римана, Г.  Кан-
тора, Д. Гильберта, история того или иного 
крупного математического открытия.  
Изучение  исторического  опыта  ма-
тематического  творчества,  логики  движе-
ния  математики  к  новым  результатам  дает 
многое  для  более  глубокого  исследования 
сложной  проблемы  заблуждения  в  контек-
сте  познавательного  процесса.  Познава-
тельная  ценность  феномена  заблуждения 
проявляется  на  уровне  создания  и  обосно-

ВОПРОСЫ МАТЕМАТИКИ, ТЕХНИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ 
 
 
Вестник
 
КАСУ
 
189 
вания  нового  научного  знания,  движения 
науки  к  новым  строгим  и  непротиворечи-
вым результатам. 
 

жүктеу/скачать 2,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: