В повседневной жизни и при изучении других предметов

89 

 

•  сравнивать  основные  статистические  характеристики,  полученные  в 

процессе решения прикладной задачи, изучения реального явления;  

•  оценивать  вероятность  реальных  событий  и  явлений  в  несложных 

ситуациях. 

Текстовые задачи 

•  Решать  несложные  сюжетные  задачи  разных  типов  на  все 

арифметические действия; 

•  строить модель условия задачи (в виде таблицы, схемы, рисунка или 

уравнения), в которой даны значения двух из трех взаимосвязанных величин, с 

целью поиска решения задачи; 

•  осуществлять способ поиска решения задачи, в котором рассуждение 

строится от условия к требованию или от требования к условию; 

•  составлять план решения задачи;  

•  выделять этапы решения задачи; 

•  интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать 

полученное решение задачи; 

•  знать  различие  скоростей  объекта  в  стоячей  воде,  против  течения  и 

по течению реки; 

•  решать задачи на нахождение части числа и числа по его части; 

•  решать  задачи  разных  типов  (на  работу,  на  покупки,  на  движение), 

связывающих  три  величины,  выделять  эти  величины  и  отношения  между 

ними; 

•  находить  процент  от  числа,  число  по  проценту  от  него,  находить 

процентное снижение или процентное повышение величины; 

•  решать несложные логические задачи методом рассуждений. 

В повседневной жизни и при изучении других предметов: 

•  выдвигать  гипотезы  о  возможных  предельных  значениях  искомых  в 

задаче величин (делать прикидку). 

Геометрические фигуры 

90 

 

•  Оперировать на базовом уровне понятиями геометрических фигур; 

•  извлекать  информацию  о  геометрических  фигурах,  представленную 

на чертежах в явном виде; 

•  применять  для  решения  задач  геометрические  факты,  если  условия 

их применения заданы в явной форме; 

•  решать  задачи  на  нахождение  геометрических  величин  по  образцам 

или алгоритмам.  

В повседневной жизни и при изучении других предметов: 

•  использовать  свойства  геометрических  фигур  для  решения  типовых 

задач,  возникающих  в  ситуациях  повседневной  жизни,  задач  практического 

содержания. 

Отношения 

•  Оперировать на базовом уровне понятиями: равенство фигур, равные 

фигуры, 

равенство 

треугольников, 

параллельность 

прямых, 

перпендикулярность  прямых,  углы  между  прямыми,  перпендикуляр, 

наклонная, проекция. 

В повседневной жизни и при изучении других предметов:  

•  использовать 

отношения  для  решения  простейших  задач, 

возникающих в реальной жизни. 

Измерения и вычисления 

•  Выполнять  измерение  длин,  расстояний,  величин  углов,  с  помощью 

инструментов для измерений длин и углов; 

•  применять  формулы  периметра,  площади  и  объема,  площади 

поверхности  отдельных  многогранников  при  вычислениях,  когда  все  данные 

имеются в условии; 

•  применять 

теорему  Пифагора,  базовые  тригонометрические 

соотношения  для  вычисления  длин,  расстояний,  площадей  в  простейших 

случаях. 

В повседневной жизни и при изучении других предметов: 

91 

 

•  вычислять  расстояния  на  местности  в  стандартных  ситуациях, 

площади в простейших случаях, применять формулы в простейших ситуациях 

в повседневной жизни. 

Геометрические построения 

•  Изображать  типовые  плоские  фигуры  и  фигуры  в  пространстве  от 

руки и с помощью инструментов. 

В повседневной жизни и при изучении других предметов: 

•  выполнять  простейшие  построения  на  местности,  необходимые  в 

реальной жизни. 

Геометрические преобразования 

•  Строить  фигуру,  симметричную  данной  фигуре  относительно  оси  и 

точки. 

В повседневной жизни и при изучении других предметов: 

•  распознавать движение объектов в окружающем мире; 

•  распознавать симметричные фигуры в окружающем мире. 

Векторы и координаты на плоскости 

•  Оперировать  на  базовом  уровне  понятиями  вектор,  сумма  векторов, 

произведение вектора на число, координаты на плоскости; 

•  определять  приближенно  координаты  точки  по  ее  изображению  на 

координатной плоскости. 

В повседневной жизни и при изучении других предметов:  

•  использовать  векторы  для  решения  простейших  задач  на 

определение скорости относительного движения. 

История математики 

•  Описывать  отдельные  выдающиеся  результаты,  полученные  в  ходе 

развития математики как науки; 

•  знать  примеры  математических  открытий  и  их  авторов,  в  связи  с 

отечественной и всемирной историей; 

•  понимать роль математики в развитии России. 

92 

 

Методы математики  

•  Выбирать  подходящий  изученный  метод  для  решения  изученных 

типов математических задач; 

•  Приводить 

примеры 

математических 

закономерностей 

в 

окружающей действительности и произведениях искусства. 

 

Выпускник получит возможность научиться в 7-9 классах для 

обеспечения возможности успешного продолжения образования на 

базовом и углубленном уровнях 

Элементы теории множеств и математической логики 

•  Оперировать

7

  понятиями:  определение,  теорема,  аксиома, 

множество,  характеристики  множества,  элемент  множества,  пустое, 

конечное  и  бесконечное  множество,  подмножество,  принадлежность, 

включение, равенство множеств; 

•  изображать множества и отношение множеств с помощью кругов 

Эйлера; 

•  определять  принадлежность  элемента  множеству,  объединению  и 

пересечению множеств;  

•  задавать  множество  с  помощью  перечисления  элементов, 

словесного описания; 

•  оперировать  понятиями:  высказывание,  истинность  и  ложность 

высказывания,  отрицание  высказываний,  операции  над  высказываниями:  и, 

или, не, условные высказывания (импликации); 

•  строить высказывания, отрицания высказываний. 

В повседневной жизни и при изучении других предметов: 

•  строить  цепочки  умозаключений  на  основе  использования  правил 

логики; 

7

 Здесь и далее – знать определение понятия, уметь пояснять его смысл, уметь использовать понятие и его 

свойства при проведении рассуждений, доказательств, решении задач. 

93 

 

•  использовать 

множества, 

операции 

с 

множествами, 

их 

графическое представление для описания реальных процессов и явлений. 

Числа 

•  Оперировать 

понятиями: 

множество 

натуральных 

чисел, 

множество  целых  чисел,  множество  рациональных  чисел,  иррациональное 

число, 

квадратный 

корень, 

множество 

действительных 

чисел, 

геометрическая  интерпретация  натуральных,  целых,  рациональных, 

действительных чисел; 

•  понимать  и  объяснять  смысл  позиционной  записи  натурального 

числа; 

•  выполнять  вычисления,  в  том  числе  с  использованием  приемов 

рациональных вычислений; 

•  выполнять округление рациональных чисел с заданной точностью; 

•  сравнивать рациональные и иррациональные числа; 

•  представлять рациональное число в виде десятичной дроби 

•  упорядочивать числа, записанные в виде обыкновенной и десятичной 

дроби; 

•  находить НОД и НОК чисел и использовать их при решении задач. 

В повседневной жизни и при изучении других предметов: 

•  применять  правила  приближенных  вычислений  при  решении 

практических задач и решении задач других учебных предметов; 

•  выполнять  сравнение  результатов  вычислений  при  решении 

практических задач, в том числе приближенных вычислений; 

•  составлять  и  оценивать  числовые  выражения  при  решении 

практических задач и задач из других учебных предметов; 

•  записывать  и  округлять  числовые  значения  реальных  величин  с 

использованием разных систем измерения. 

Тождественные преобразования 

94 

 

•  Оперировать  понятиями  степени  с  натуральным  показателем, 

степени с целым отрицательным показателем; 

•  выполнять  преобразования  целых  выражений:  действия  с 

одночленами  (сложение,  вычитание,  умножение),  действия  с  многочленами 

(сложение, вычитание, умножение); 

•  выполнять  разложение  многочленов  на  множители  одним  из 

способов:  вынесение  за  скобку,  группировка,  использование  формул 

сокращенного умножения; 

•  выделять квадрат суммы и разности одночленов; 

•  раскладывать на множители квадратный   трехчлен; 

•  выполнять  преобразования  выражений,  содержащих  степени  с 

целыми  отрицательными  показателями,  переходить  от  записи  в  виде 

степени с целым отрицательным показателем к записи в виде дроби; 

•  выполнять 

преобразования  дробно-рациональных  выражений: 

сокращение  дробей,  приведение  алгебраических  дробей  к  общему 

знаменателю,  сложение,  умножение,  деление  алгебраических  дробей, 

возведение  алгебраической  дроби  в  натуральную  и  целую  отрицательную 

степень; 

•  выполнять  преобразования  выражений,  содержащих  квадратные 

корни; 

•  выделять  квадрат  суммы  или  разности  двучлена  в  выражениях, 

содержащих квадратные корни; 

•  выполнять преобразования выражений, содержащих модуль. 

В повседневной жизни и при изучении других предметов: 

•  выполнять  преобразования  и  действия  с  числами,  записанными  в 

стандартном виде; 

•  выполнять  преобразования  алгебраических  выражений  при  решении 

задач других учебных предметов. 

Уравнения и неравенства 

95 

 

•  Оперировать понятиями: уравнение, неравенство, корень уравнения, 

решение  неравенства,  равносильные  уравнения,  область  определения 

уравнения (неравенства, системы уравнений или неравенств); 

•  решать  линейные  уравнения  и  уравнения,  сводимые  к  линейным  с 

помощью тождественных преобразований; 

•  решать квадратные уравнения и уравнения, сводимые к квадратным 

с помощью тождественных преобразований; 

•  решать дробно-линейные уравнения; 

•  решать  простейшие  иррациональные  уравнения  вида 

( )

f x

a

=

, 

( )

( )

f x

g x

=

; 

•  решать уравнения вида 

n

x

a

=

; 

•  решать  уравнения  способом  разложения  на  множители  и  замены 

переменной; 

•  использовать  метод  интервалов  для  решения  целых  и  дробно-

рациональных неравенств; 

•  решать линейные уравнения и неравенства с параметрами; 

•  решать несложные квадратные уравнения с параметром; 

•  решать несложные системы линейных уравнений с параметрами; 

•  решать несложные уравнения в целых числах. 

В повседневной жизни и при изучении других предметов: 

•  составлять и решать линейные и квадратные уравнения, уравнения, 

к  ним  сводящиеся,  системы  линейных  уравнений,  неравенств  при  решении 

задач других учебных предметов; 

•  выполнять  оценку  правдоподобия  результатов,  получаемых  при 

решении  линейных  и  квадратных  уравнений  и  систем  линейных  уравнений  и 

неравенств при решении задач других учебных предметов; 

•  выбирать  соответствующие  уравнения,  неравенства  или  их 

системы  для  составления  математической  модели  заданной  реальной 

ситуации или прикладной задачи; 

96 

 

•  уметь  интерпретировать  полученный  при  решении  уравнения, 

неравенства  или  системы  результат  в  контексте  заданной  реальной 

ситуации или прикладной задачи. 

Функции 

•  Оперировать  понятиями:  функциональная  зависимость,  функция, 

график  функции,  способы  задания  функции,  аргумент  и  значение  функции, 

область  определения  и  множество  значений  функции,  нули  функции, 

промежутки 

знакопостоянства, 

монотонность 

функции, 

четность/нечетность функции;  

•  строить  графики  линейной,  квадратичной  функций,  обратной 

пропорциональности, функции вида: 

k

y a

x b

= +

+

, 

y

x

=

,

3

y

x

=

, 

y

x

=

; 

•  на  примере  квадратичной  функции,  использовать  преобразования 

графика функции y=f(x) для построения графиков функций 

(

)

y

af kx

b

c

=

+

+

;  

•  составлять  уравнения  прямой  по  заданным  условиям:  проходящей 

через две точки с заданными координатами, проходящей через данную точку 

и параллельной данной прямой; 

•  исследовать функцию по ее графику; 

•  находить 

множество 

значений, 

нули, 

промежутки 

знакопостоянства, монотонности квадратичной функции; 

•  оперировать  понятиями:  последовательность,  арифметическая 

прогрессия, геометрическая прогрессия; 

•  решать задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию. 

В повседневной жизни и при изучении других предметов: 

•  иллюстрировать  с  помощью  графика  реальную  зависимость  или 

процесс по их характеристикам; 

•  использовать  свойства  и  график  квадратичной  функции  при 

решении задач из других учебных предметов. 

Текстовые задачи 

97 

 

•  Решать простые и сложные задачи разных типов, а также задачи 

повышенной трудности; 

•  использовать  разные  краткие  записи  как  модели  текстов  сложных 

задач для построения поисковой схемы и решения задач; 

•  различать 

модель 

текста 

и 

модель 

решения 

задачи, 

конструировать  к  одной  модели  решения  несложной  задачи  разные  модели 

текста задачи; 

•  знать  и  применять  оба  способа  поиска  решения  задач  (от 

требования к условию и от условия к требованию); 

•  моделировать  рассуждения  при  поиске  решения  задач  с  помощью 

граф-схемы; 

•  выделять этапы решения задачи и содержание каждого этапа; 

•  уметь выбирать оптимальный метод решения задачи и осознавать 

выбор метода, рассматривать различные методы, находить разные решения 

задачи, если возможно; 

•  анализировать затруднения при решении задач; 

•  выполнять  различные  преобразования  предложенной  задачи, 

конструировать новые задачи из данной, в том числе обратные; 

•  интерпретировать 

вычислительные 

результаты 

в 

задаче, 

исследовать полученное решение задачи; 

•  анализировать  всевозможные  ситуации  взаимного  расположения 

двух  объектов  и  изменение  их  характеристик  при  совместном  движении 

(скорость, время, расстояние) при решении задач на движение двух объектов 

как в одном, так и в противоположных направлениях; 

•  исследовать  всевозможные  ситуации  при  решении  задач  на 

движение по реке, рассматривать разные системы отсчета; 

•  решать разнообразные задачи «на части»,  

98 

 

•  решать 

и  обосновывать  свое  решение  задач  (выделять 

математическую основу) на нахождение части числа и числа по его части на 

основе конкретного смысла дроби; 

•  осознавать  и  объяснять  идентичность  задач  разных  типов, 

связывающих три величины (на работу, на покупки, на движение), выделять 

эти  величины  и  отношения  между  ними,  применять  их  при  решении  задач, 

конструировать собственные задач указанных типов; 

•  владеть  основными  методами  решения  задач  на  смеси,  сплавы, 

концентрации; 

•  решать  задачи  на  проценты,  в  том  числе,  сложные  проценты  с 

обоснованием, используя разные способы; 

•  решать логические задачи разными способами, в том числе, с двумя 

блоками и с тремя блоками данных с помощью таблиц; 

•  решать задачи по комбинаторике и теории вероятностей на основе 

использования изученных методов и обосновывать решение; 

•  решать несложные задачи по математической статистике; 

•  овладеть  основными  методами  решения  сюжетных  задач: 

арифметический,  алгебраический,  перебор  вариантов,  геометрический, 

графический, применять их в новых по сравнению с изученными ситуациях. 

В повседневной жизни и при изучении других предметов: 

•  выделять  при  решении  задач  характеристики  рассматриваемой  в 

задаче ситуации, отличные от реальных (те, от которых абстрагировались), 

конструировать  новые  ситуации  с  учетом  этих  характеристик,  в 

частности,  при  решении  задач  на  концентрации,  учитывать  плотность 

вещества; 

•  решать и конструировать задачи на основе рассмотрения реальных 

ситуаций, в которых не требуется точный вычислительный результат; 

•  решать задачи на движение по реке, рассматривая разные системы 

отсчета. 

99 

 

Статистика и теория вероятностей  

•  Оперировать  понятиями:  столбчатые  и  круговые  диаграммы, 

таблицы  данных,  среднее  арифметическое,  медиана,  наибольшее  и 

наименьшее  значения  выборки,  размах  выборки,  дисперсия  и  стандартное 

отклонение, случайная изменчивость; 

•  извлекать 

информацию, 

представленную 

в 

таблицах, 

на 

диаграммах, графиках; 

•  составлять  таблицы,  строить  диаграммы  и  графики  на  основе 

данных; 

•  оперировать  понятиями:  факториал  числа,  перестановки  и 

сочетания, треугольник Паскаля; 

•  применять  правило  произведения  при  решении  комбинаторных 

задач; 

•  оперировать  понятиями:  случайный  опыт,  случайный  выбор, 

испытание,  элементарное  случайное  событие  (исход),  классическое 

определение  вероятности  случайного  события,  операции  над  случайными 

событиями; 

•  представлять информацию с помощью кругов Эйлера; 

•  решать задачи на вычисление вероятности с подсчетом количества 

вариантов с помощью комбинаторики. 

жүктеу/скачать 2,2 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: