СТУДЕНТТЕРДІҢ ӚЗІНДІК ЖҦМЫСЫН ОРЫНДАУҒА АРНАЛҒАН

158 
 
Сондықтан  бұл  жүйенің  нӛлдік 
0
,
0
,
0






  шешімінен  басқа  шешімі  жоқ.  Демек 
в
а,  
және  с  векторлары базистік жүйе болады. Ендеше 
c
b
a
d
3
2
1






 теңдігін қанағаттандыратын 
3
2
1
,
,.



 сандар бар. Сонда 
0
1
2
2
1
1
1
2
0
1
1
1
2
0
,
3
2
1
2
2
3
2
1
2
1
3
2




























 
Демек,  бұл  жүйенің  анықталған  бір  ғана  шешімі  бар,  олар 
4
,
3
,
2
3
2
1








.  Сонда 
с
в
а
d
4
3
2




. Яғни 


с
в
а ,
,
 базисіндегі 
d  векторының координаттары 


4
;
3
;
2


d
. 
1-мысал. 


1
1
1
1
;
;
z
у
х
М
 және 


2
2
2
2
;
;
z
у
х
М
 нүктелерінің арасындағы қашықтықты табу керек (4-
сызба). 
Шешуі:  


1
2
1
2
1
2
2
1
;
;
z
z
y
y
x
x
M
M



(2.5.8) формуладан, сонда (2.5.6) бойынша 

 
 

2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
z
z
у
у
х
х
М
М






 (2.5.9) 
2-мысал. 


1
1
1
1
;
;
z
у
х
М
 
және 


2
2
2
2
;
;
z
у
х
М
 
нүктелері  берілген. 
2
1
М
М
 
кесіндісін 


2
1
: ММ
М
М
 қатынаста бӛлетін 
2
1
М
М
 кесіндісінде жатқан 


z
у
х
М
;
;
 нүктесін табу керек. 
Шешуі:   
М
М
1
  және 
2
ММ
  -  коллинеар  және  бағыттас  векторлар  (4-сызба).  Сондықтан 
2
1
ММ
М
М


, 
немесе 

 
 


 



k
z
z
j
у
y
i
х
x
k
z
z
j
y
y
i
x
x











2
2
2
1
1
1



, 
яғни 






z
z
z
z
у
y
у
у
х
x
х
х









2
1
2
1
2
1
,
,



 болады.    
Сонда















1
,
1
,
1
2
1
2
1
2
1
z
z
z
y
y
y
x
x
x
(2.5.10) 
Егер 
1


 болса, онда М нүктесі М
1
М
2
 кесіндінің ортасында жатады. Сондықтан 
2
,
2
,
2
2
1
2
1
2
1
z
z
z
y
y
y
x
x
x






  (2.5.11) 
М  нүктесі  М
1
  және  М
2
  нүктелері  анықтайтын  түзудің  бойында,  М
1
М
2
  кесіндінің  сыртында 
жатуы мүмкін. Онда М нүктесі М
1
М
2
 кесіндісін сырттай қатынаста 


1
,
0





 бӛледі деп айтады 
(4-сызба). 
1-мысал. Берілген 


5
;
1
;
1

а
 векторға параллель және бағыттас  
0
a  бірлік векторды табу керек. 
Шешуі: 
 
 
k
j
i
k
j
i
а
а
а
а
а
а
27
5
27
1
27
1
5
1
1
5
2
2
2
0











 
2-мысал.  Вектор 


z
а
;
18
;
6

  және 
21

a
  берілген.  Осы  вектордың  үшінші  координатын  табу 
керек. 
Шешуі: 


2
2
2
2
2
360
441
360
18
6
21
z
немесе
z
z








                  Сонда 
9
81
360
441







z
. 
3-мысал. 


1
;
2
;
2
B
),
1
;
1
;
1
(
A
  және 


2
;
1
;
2
C
  нүктелері  берілген. 
АС
мен
AB
  векторларының 
арасындағы бұрышты табу керек. 
Шешуі:  
 
 
1
;
0
;
1
,
0
;
1
;
1
АС
АВ
. Сонда 
2
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
cos
2
2
2
2
2
2















AC
AB
AC
AB

, яғни 
0
60


. 
4-мысал. 


3
;
5
;
4
),
1
;
1
;
1
(

B
A
 нүктелері берілген.  AB  векторының координат осьтерімен бірдей 
бұрыш жасайтын  

 осіне түсірілген проекциясын табу керек. 

159 
 
Шешуі: 

 
осінің 
бағыттаушы 
косинустары 



cos
,
cos
,
cos
 
болсын. 
Сонда 
1
cos
cos
cos
2
2
2






. 
Есептің 
шарты 
бойынша 



cos
cos
cos


, 
ендеше 
3
1
cos
,
1
cos
3
2




. Сонымен қоса  
k
j
i
AB
4
4
3



. Сонда формула (2.6.10) бойынша 
   
3
3
1
4
3
1
4
3
1
3







АВ
пр

. 
5-мысал. 


1
;
0
;
2
F
  күштің  әсерімен  материялық  нүкте 


3
;
1
;
4

M
  нүктесінен  түзу  сызықтың 
бойымен 


5
;
3
;
0
B
 нүктесіне ауысқан. Күш векторы  
F   пен нүктенің орын ауыстыру  векторы  МВ -
ның арасындағы бұрыш 
0
60


-қа тең. 
F  күшінің жасаған жұмысын табу керек. 
Шешуі: Материялық нүктенің ауысуын кескіндейтін вектор 
k
j
i
МВ
2
4
4




,  
ал 
6
36
4
16
16
,
5
1
0
4









МВ
F
. Сонда жұмыс 


5
3
2
1
5
6
60
cos
6
5
cos
0











MB
F
MB
F
А
-ке тең. 
 
1-мысал. 

 
 

1
;
3
;
0
,
1
;
1
;
2
,
0
;
2
;
1
С
В
А


  нүктелері  берілген.  АВС  үшбұрышының  ауданын  табу 
керек. 
Шешуі: 













1
5
1
1
3
1
k
j
i
АС
АВ
,
1
;
5
;
1
АС
,
1
;
3
;
1
АВ
 
 


   


 


k
i
k
j
i
8
8
3
1
5
1
1
1
1
1
5
1
1
3


















Сонда 


2
4
64
64
2
1
2
1






AC
AB
S
ABC
 
2-мысал. 
Қабырғалары 
k
j
i
а
3
2



 
және 
k
j
i
в
3
2



 
векторлармен  анықталған 
параллелограмның ауданын табу керек. 
Шешуі: 
 
k
5
j
3
i
9
k
2
1
1
2
j
3
1
3
2
i
3
2
3
1
3
2
1
3
1
2
k
j
i
в
а











 
Сонда 
 
   
115
25
9
81
5
3
9
2
2
2










в
a
S
. 
3-мысал.  Қатты  дененің  А(4;-1;3)  нүктесі  берілген.  Дененің  В(0;3;5)  нүктесіне 


1
;
0
;
2
F
  күші 
түсірілген. А нүктеге қарағандағы  F  күшінің моментін табу керек. 
Шешуі: 
k
j
i
AB
2
4
4




.  
Сонда айналу моменті 


k
j
i
k
j
i
F
AB
M
8
8
4
1
0
2
2
4
4







. 
Ал айналу моментінің шамасы  
12
144
64
64
16
M





. 
1-мысал. 


  
 

2
;
2
;
3
,
1
;
0
;
3
,
1
;
1
;
2
,
2
;
0
;
1
D
С
В
А


   нүктелері  берілген.  Тӛбелері  осы  нүктелерде 
жатқан пирамиданың кӛлемін табу керек. 
Шешуі: 
j
i
АD
k
i
АC
k
j
i
АВ
2
4
,
3
4
,
3







 

160 
 
Сонда 


   


 
 




k
4
j
5
i
3
k
4
1
0
3
j
3
3
4
1
i
0
1
3
1
AC
AB























 
 
2
4
0
5
2
3
4












AC
AB
AD
 
   
3
1
6
1




AD
AC
AB
V
. 
2-мысал. 

 
 

5
;
2
;
3
,
1
;
2
;
2
,
3
;
1
;
1



c
в
a
  векторлары  берілген.  Осы  векторлардың  аралас 
кӛбейтіндісін табу керек. 
Шешуі: (2.8.1) формула бойынша 
 
   
   
 
137
2
10
18
12
3
10
2
1
1
5
1
2
3
2
3
2
2
3
3
1
1
5
2
1
5
2
3
1
2
2
3
1
1




































с
в
а
 
3-мысал. 

 
 
 

3
;
1
;
2
,
1
;
2
;
1
,
5
;
1
;
0
,
1
;
2
;
1
D
С
В
А


  нүктелері  бір  жазықтықта  жататынын  дәлелдеу 
керек. 
Шешуі: 






4
;
1
;
1
,
2
;
0
;
2
,
6
;
1
;
1




АD
АС
АВ
 болады. 
Сонда 
0
2
8
0
12
2
0
4
1
1
2
0
2
6
1
1














AD
АС
АВ
, 
бұдан, 3-ші қасиет бойынша, берілген нүктелер бір жазықта жатады деген қорытынды шығады. 
1-мысал. 
 
2
3
1
3
2
3






x
x
x
x
x
x
f
 функциясының 
1

x
 -дағы шегін табу керек. 
Шешуі: Бұл функцияның шегін табу үшін бӛлшектің шегі туралы теореманы бірден қолдануға 
болмайды,  ӛйткені  ол  теореманы  бірден  қолдансақ, 
0
0
  түріндегі  анықталмағандығы  шығады.  Ал 
1

x
  болғанда  берілген  бӛлшектің  алымы  мен  бӛлімі  нӛлге  айналатын  болғандықтан,  ол 


1

x
  -ге 
қысқарады. Сондықтан бӛлшектің алымы мен бӛлімін алдыменен 


1

x
- ге қысқартып алып, сонан 
соң шекке кӛшу керек. Демек,  








3
2
2
1
1
1
1
1
lim
0
0
2
3
1
lim
1
3
2
3
1
















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 шығады. 
 
2-мысал. Айнымалы 
3

x
 -дағы 
9
9
2
12
lim
2
2
1





x
x
x
x
x
 функциясының шегін есептеп шығарайық. 
 
Шешуі:  Мұнда  да 
0
0
  анықталмағандығы  шығады.  Ендеше  бӛлшектің  алымы  мен  бӛлімін 
кӛбейткіштерге 
жіктеп, 
3

x
- 
ке 
қысқартып 
алып 
шекке 
кӛшкен 
дұрыс. 
Яғни, 






3
7
3
2
4
lim
3
2
3
4
3
lim
0
0
9
9
2
12
lim
3
3
2
2
3

















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
. 
Бұл мысалдардан мынадай қорытындыға келеміз: егер екі кӛп мүшенің қатынасының 
0
x
x

  -
дағы  шегіне  кӛшкенде 
0
0
  түріндегі  анықталмағандық  шықса,  ол  функцияның  шегін  табу  үшін, 
бӛлшектің алымы мен бӛлімін кӛбейткіштерге жіктеп, онан кейін бӛлшекті қысқартып барып шекке 
кӛшу керек. 
3-мысал. Тӛменгі шекті есептеу керек. 

161 
 
1
3
4
5
7
5
lim
2
4
2
4








x
x
x
x
x
x
x
. 
Шешуі:  Бұл  функцияның  шегін  табу  жолында  бӛлшектің  шегі  туралы  теореманы  бірден 
қолдансақ, 


  анықталмағандығы  шығады.  Сондықтан  берілген  шекті  табу  үшін  бӛлшектің  алымы 
мен бӛлімін 
4
x - ке бӛлсек  
4
3
2
4
3
2
2
4
2
4
1
1
1
3
4
5
7
5
1
3
4
5
7
5
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x













. 
Енді осы ӛрнекке бӛлшектің шегі туралы теореманы қолдансақ мынау шығады: 
3
5
x
1
x
1
x
1
3
lim
x
4
x
5
x
7
5
lim
1
x
x
x
3
4
x
5
x
7
x
5
lim
4
3
2
x
4
3
2
x
2
3
2
4
x
































. 
4-мысал. Мына шекті табайық: 
   
1
3
7
2
lim
2
3
2






x
x
x
x
x
. 
Шешуі:  Бӛлшектің  алымының  да,  бӛлімінің  де  ақырлы  шегі  жоқ,  демек 


  түріндегі 
анықталмағандық.  Оны  ашу  үшін  3-  мысалдағыдай  оның  алымы  мен  бӛлімін  х  –тың  ең  үлкен 
дәрежесі 
3
x  -қа бӛліп алып, шекке кӛшуіміз керек. Сонда 




0
/
1
/
1
3
lim
/
7
/
1
/
2
lim
/
1
/
1
3
/
7
/
1
/
2
lim
1
3
7
2
lim
3
3
2
3
3
2
2
3
2



















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 болады. 
Сонымен,  бұл  мысалдардан 


  түріндегі  анықталмағандықты  ашу  үшін  оның  алымы  мен 
бӛлімін бӛлшек мүшелерінде кездесетін х- тың ең үлкен дәрежесіне бӛліп, сонан кейін шекке кӛшуге 
болатындығын кӛреміз. 
5-мысал. 


x
x
x




2
lim
 шегін табу керек болсын. 
Шешуі:  Егер  бірден  шекке  кӛшсек 



  түріндегі  анықталмағандығы  шығады.  Осы 
анықталмағандықты ашу үшін берілген функцияны 


x
x


2
 ӛрнегіне кӛбейтіп және бӛліп алып 
шекке кӛшеміз. Яғни 





0
х
2
x
2
lim
х
2
x
х
2
x
x
2
x
lim
x
2
x
lim
x
x
x



















шығады. 
6-мысал. Мына 
x
x
1
1
2


 функциясының 
0

x
 -дағы шегін табу керек. 
Шешуі: Егер берілген функцияға х -тың шектік мәні 0-ді бірден қойсақ, 
0
0
  анықталмағандығы 
шығады.  Яғни,  қатынастың  шегі  жӛніндегі  теореманы  бірден  қолдануға  болмайды.  Сондықтан 
алдыменен  алымындағы  иррационалдықты  бӛлшектің  бӛліміне  кӛшіріп  сонан  кейін  шекке  кӛшу 
керек, демек 






























1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
0
2
0
x
x
x
x
lim
x
x
lim
x
x
 

162 
 
0
1
1
1
1
2
0
2
2
0















x
x
lim
x
x
x
lim
x
x
. 
Яғни,  егер  берілген  иррационал  ӛрнектерге  х  –тың  шектік  мәні 
0
x   -ді  қойғанда 
0
0
 
анықталмағандық  шықса,  онда  алымындағы  иррационалдықты  бӛліміне,  немесе  бӛліміндегі 
иррационалдықты алымына шығарып алып, сонан кейін функцияның ізделіп отырған шектік мәнін 
табуға болады. 
Иррационал  ӛрнектері  бар  шектерді  есептеу  үшін,  оларды  жаңа  айнымалы  енгізу  арқылы 
рационал ӛрнекке кӛшіруге де болады.  
Мысалы   













0
0
1
1
1
1
1
1
2
1
6
3
1
t
t
lim
t
,
x
t
x
x
x
lim
t
x
  
 
2
1
lim
1
1
1
lim
1
1








t
t
t
t
t
t
. 

жүктеу/скачать 3,09 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: