Шартты ықтималдық. Толық ықтималдық формуласы. Байес формуласы

107 
 
24
1
8
3
9
2
10
5
)
/
(
)
/
(
)
(
)
(
2
1
3
1
2
1
3
2
1





A
A
A
P
A
A
P
A
P
A
A
A
P
. 
Анықтама: Егер А жне В тәуелсіз екі оқиға болса, онда   
 
B
P
A
P
AB
P


)
(
)
(
 
Тәуелсіз оқиғалар үшін ықтималдықты кӛбейту теоремасы 
Анықтама: 
n
A
,...,
A
,
A
2
1
  оқиғалары  тәуелсіз  болсын,  онда  оның  кӛбейтіндісінің 
ықтималдығы ықтималдықтарының кӛбейтіндісіне тең, яғни  
P(A
1
A
2
…A
n
)=P(A
1
)P(A
2
)…P(A
n
). 
 
Мысал.  Үшмергеннысанағаоқатқан.  Нысанағатигізуықтималдығысәйкесінше 
0,7, 0,8, 0,9 тең. Нысанағабіроқтыңтиюықтималдығынтап. 
Үшмергенніңнысанағатигізуықтималдығынсәйкесінше
3
2
1
A
A
A


арқылыбелгілейік.  В – ізделінетін оқиға болсын. Онда былай жазуға болады.  
.
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
3
2
1
3
2
1
3
2
1



 
Бұл теңдеуде кӛбейткіштер тәуелсіз, сондықтан  




)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3
2
1
3
2
1
3
2
1
A
P
A
P
A
P
A
P
A
P
A
P
A
P
A
P
A
P
B
P
 











9
,
0
)
8
,
0
1
)(
7
,
0
1
(
)
9
,
0
1
(
8
.
0
)
7
,
0
1
(
)
9
,
0
1
)(
8
,
0
1
(
7
,
0
 
092
,
0
054
,
0
024
,
0
014
,
0




. 
Теорема.А
1
,А
2
,…,А
n
  оқиғалары  жұппен  үйлесімсіз  және  В  оқиғасы 
i
A
 
оқиғасының біреуімен пайда болуы мүмкін 
n
i
,
,
2
,
1


. Онда 
P(B)=P(A
1
)P(B/A
1
)+P(A
2
)P(B/A
2
)+…+P(A
n
)P(B/A
n
). 
Бұл формуланы толық ықтималдық формуласы деп атайды.. 
Мысал.Бірнеше  бұйымдар  үш  заводтан  әкелінсін.  Біріншісі  заводтан  50%, 
екіншісі заводтан 30%, үшіншісі заводтан 20% бұйым болсын. Үш заводтан әкелінген 
бұйымның ішінен жарамсыз болу ықтималдығы сәйкесінше 0,1; 0,2; 0,3 тең. Әкелінген 
бұймның жарамсызболу ықтималдығын табайық. 
3
2
1
A
,
A
,
A
  оқиғалары  сәйкесінше  әкелінген  бұйымның  үш  заводтан  жасалынғаны 
болсын осы оқиғалардың ықтималдығы тең: 
.
2
,
0
)
(
;
3
,
0
)
(
;
5
,
0
100
50
)
(
3
2
1




A
P
  
A
P
  
A
P
 
В  -оқиғасы  «жарамсыз  бұйым  түсуі»  болсын.  ЕсептіңшартыбойыншаP(B/A
1
)  = 
0,1;   P(B/A
2
) = 0,2;  P(B/A
3
) = 0,3. 
Бұдан, 
толықықтималдықформуласыбойыншаСонымен, 
толықықтималдықформуласыбойынша,  
    
   
   

17
,
0
3
,
0
2
,
0
2
,
0
3
,
0
1
,
0
5
,
0
/
/
/
3
3
2
2
1
1










A
B
P
A
P
A
B
P
A
P
A
B
P
A
P
B
P
 

108 
 
Байесатеоремасы.  А
1
,А
2
,…,А
n
  оқиғалары  жұппен  үйлесімсіз  болсын  және  В 
оқиғасы 
i
A
 оқиғасының біреуімен пайда болуы мүмкін,
n
,
,
,
i

2
1

. Онда  
,
n
,...,
i
,
)
B
(
P
)
A
/
B
(
P
)
A
(
P
)
B
/
A
(
P
i
i
i
1


бұл  жердегіР(В)толық  ықтималдық  формуласы 
бойынша табылады.  
Мысал.Алдынғы  мысалды  алып,  бірақ  әкелінген  бұйымның  бәрі  жарамсыз 
болсын. Ол бірінші заводтан жасалынған болу ықтималдығын табайық. 
i  =  1  деп  алып,  алдыңғы  есептің  шешуін  қолдана  отырып,  мынадай  жауап 
аламыз  
17
5
17
0
1
0
5
0
1
1
1




,
,
,
)
B
(
P
)
A
/
B
(
P
)
A
(
P
)
B
/
A
(
P
. 
 
 
Бақылау сұрақтары 
1. Шартты ықтималдықтар анықтамасы. 
2. Тәуелсіз оқиғаның анықтамасы. 
3. Ықтималдықты кӛбейту теоремасын айт. 
4. Толық ықтималдық формуласы. 
5. Байес формуласы. 
 
№ 12-13 дәріс тақырыбы:Дискретті кездейсоқ шамалар. Дискретті 
кездейсоқ шамалардың ҥлестірім заңдары. Ықтималдықтың ҥлестірім 
функциясы 
 


P
,
L
,

 - ықтималдық кеңістігі берілсін.  
Анықтама:  Х  кездейсоқ  шамасы 
 





,
X
X
  нақты  функция  деп  аталады, 
егер 
x
 кез келген  үшін орындалса 
 


L
x
X
:




 
 
 
 
 
 
(1) 
(1) анықтамасын қысқаша былай жазған ыңғайлы 
x
X

. 
Анықтама:  Егер  кездейсоқ  шаманың  қабылдайтын  мәндерінің  жиыны  ақырлы 
немесе саналымды жиын болса, онда мұндай кездейсоқ шаманы дискретті кездейсоқ 
шама деп атаймыз (ДҚШ). 
Мысал. 
1)  Үш  сатып  алынған  билеттің  ішінен  ұтысы  бар  билеттің  саны  –  дискретті 
кездейсоқ шама. 

109 
 
2)  Ұжымдағы    п      бұйымның  ішінен  жарамсыз  бұйым    саны  –  дискретті 
кездейсоқ шама. 
Анықтама:  Дискретті  кездейсоқ  шаманың  үлестірім  заңы  деп  кестені  айтады. 
Кестенің  бір  жолында  барлық  мүмкін  болатын  мәндер,  ал  келесі  жолында  олардың 
пайда болу ықтималдығы. 
Х    дискретті  кездейсоқ  шаманың  мәндерін 


,
,
,
,
2
1
n
x
x
x
  деп  белгілейміз. 


i
i
x
X
P
p


, 

,
2
,
1

i
 . Онда ДҚШ үлестірім заңы мына түрде болады 
??????
??????
 
??????
1
 
??????
2
 
… 
??????
??????
 
??????
1
 
??????
2
 
… 
 
ДҚШ үлестрім заңында барлық ықтималдықтың қосындысы бірге тең:


i
i
p
1
. 
Мысал.Х  ойын  сүйегін  лақтырғандағы  түсу  саны,  онда  Х  үлестірім  заңы  мына 
түрде болады  
i
x
 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
i
p
 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
Берілген мысалда 




i
i
p
1
6
1
6
. 
Енді бірнеше ДҚШ мысалдарын қарастырайық.  
Х дискретті кездейсоқ шаманың биноминалды үлестірім заңы деп 
i
p
  Бернулли 
формуласы бойынша анықталады.  
ДҚШ-ң биноминалды үлестірім заңы мына түрде болады.  
i
x
 
0 
1 
… 
k 
… 
n-1 
n 
i
p
 
n
q
  npq
n-1
 
… 
k
n
k
k
n
q
p
C

 
… 
np
n-1
q
 
p
n
 
Мысал.Жанұяда 5 ер жігіт бар деп үлестірім заңын жазайық. 
   
p
n
.
5
,
0
,
5


Мұнда  
 
32
)!
5
(
!
!
5
)
2
1
1
(
)
2
1
(
5
5






k
k
C
k
P
k
k
k
n
. 
i
x
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
i
p
 
32
1
 
32
5
 
32
10
 
32
10
 
32
5
 
32
1
 
Егер   
i
p
  ықтималдығы  Пуассон  формуласымен  анықталса,  онда  ДҚШ  үлестірім 
заңын пуассондық деп атайды.   

110 
 
Мысал.Әкелінген  5000  бұйымның  Х  жарамсыз  бұйым  саны.  Әкелінген  әрбір 
бұйымның    жарамсыз  болу  ықтималдығы  0,0002  тең.  Пуассондық  үлестірім  заңы 
берілген, 
.
,
1
0002
0
5000




Бұл үлестрім заңының келесі мынандай түрі болады 
i
x
 
0 
1 
2 
… 
k
 
… 
i
p
 
e
-1
 
e
-1
 
!
2
1

e
 
… 
!
1
k
e

 
… 
Х- кездейсоқ шама, алx– кез келген нақты сан болсын.  
Анықтама:  Кездейсоқ  шама  Х-тен  кіші  болатын  барлық  мүмкін  мәндерді 
қабылдайтын ықтималдығын үлестірім функциясы деп атайды.Яғни 
).
(
)
(
x
X
P
x
F


 
Бұл  ықтималдықтың  геометриялық  мағынасы  Х  мәнінен  түсетін  ықтималдығы
)
,
(
x

 аралығына тиісті болады.  
Мысал.Хдискретті кездейсоқ шаманың келесі үлестірім заңымен қарастырайық 
i
x
 
1 
4 
8 
i
p
 
0,3 
0,1 
0,6 
Оның үлестірім функциясының ықтималдығын табайық: 
а) егер
,
x 1

онда 
F
(
x
)=0, 
в) егер
,
x
4
1


онда
F
(
x
)=
P
(
X
=1)=0,3; 
c) егер
,
x
8
4


онда
F
(
x
)=
P
((
X
=1)+(
X
=4))=0,3 +0,1=0,4; 
d) егер
x
>8,  онда
F
(
x
)=
P
((
X
=1)+(
X
=4)+(
X
=8))=0,3+0,1+0,6=1. 
Олай болса,  














    
x
          
x
       
x
       
x
         
x
F
).
,
8
(
;
1
],
8
,
4
(
;
4
,
0
],
4
,
1
(
;
3
,
0
],
1
,
(
;
0
)
(
 
Үлестірім функция ықтималдығының қасиеттерін қарастырайық. 
1  қасиет.
1
)
(
0


x
F
.  Бұл  қасиет  F(x)  функциясының  анықтамасынан  және 
ықтималдық қасиеттерінен шығады.  
2 қасиет.Егер 



 болса, онда 


 








F
F
X
P
)
(
.  
3 қасиет.
)
(x
F
y

барлық  х үшін кемімейтін функция.Бұл қасиет бірден алдыңғы 
қасиеттен шығып тұр. 
0
)
(
)
(




F
F
. 
4 қасиет. Кез келген  Хкездейсоқ шамасы үшін мына теңдік тура: 

111 
 
.
)
x
(
F
;
)
x
(
F
0
lim
1
lim
x
x






 
Дербес  жағдайда,  егер  Х-тің  барлық  мүмкін  болатын  мәндері 
 
b
a,
  аралығына 
тиісті болса, онда 
x
>b үшін 
1
)
x
F(

және 
a
x

0

)
x
F(
.  
 
 
Бақылау сұрақтары: 
1.Кездейсоқ шаманың анықтамасы. 
2. Дискретті кездейсоқ шаманың анықтамасы. 
3. ДҚШ-ң үлестірім түрлері. 
4. Үлестірім функция ықтималдығы. 
 
Математикалық ҥміт. Дисперсия 
 
Анықтама:   
i
x
 
х
1
 
х
2
 
… 
i
p
 
р
1
 
р
2
 
… 
 
Дискретті  кездейсоқ  шаманың  математикалық  үміті  деп 


k
k
k
p
x
x
M
)
(
санын 
айтады. 
Басқаша  айтқанда,  шексіз  үлестірім  заңында  жазылған  қатарды  жинақты  деп 
қарастырамыз.  
Мысал.  Ойын  сүйегін  лақтырғанда  Х  ұпай  саны  түсуінің  математикалық  үміті 
мынаған тең  
5
,
3
6
1
6
6
1
5
6
1
4
6
1
3
6
1
2
6
1
1
)
(













x
M
 , 
яғни, ойын сүйегін лақтырғанда орташа 3,5 ұпай түсетінін кӛрдік.  
1 
қасиет.ДҚШ-ң  барлық  мүмкін  болатын  мәндері
,
b
x
a
i


теңсіздігін 
қанағаттандырса, онда 
.
)
(
b
x
M
a


 
2  қасиет.  Тұрақты  санның  математикалық  үміті  тұрақты  санға  тең,  яғни 
М(С)=С. 
Мысал.Егер ойын сүйегінің барлық қырына 6 саны жазылса, онда сондай ойын 
сүйегін лақтырғанда математикалық үміттің саны ұпай 6 санына тең.  

112 
 
3  қасиет.  Х    кездейсоқ  шама  және  С  саны  үшін  мына  теңдік  орындалады. 
М(СХ)=СМ(Х). 
Мысал.Егер ойын сүйегінің қырларына  10, 20, 30, 40, 50, 60 сандары жазылса, 
онда  
35
5
,
3
10
)
(
10
)
10
(




X
M
X
M
. 
Бұл жерде кәдімгі ойын сүйегі лақтырғанда Х – ұпай санының түсуі және  М(
X
)=3,5. 
Анықтама:  
i
x
 
х
1
 
х
2
 
… 
және  
i
y
 
y
1 
y
2
 
… 
i
p
 
р
1
 
р
2 
… 
 
i
g
 
1
g
 
2
g
 
… 
Үлестірім  заңының  ықтималдығы  Х  және  Y  кездейсоқ  шаманың  кӛбейтіндісі 
(қосындысы) деп 
j
i
y
x ;
(немесе 
)
1
j
y
x

 барлық мүмкін болатын мәндерін қабылдайтын 
ықтималдықтармен 
i
x
 және 
j
y
 мәндері мен бірге пайда болатын ықтималдықтарға тең 
кездейсоқ шаманы айтады.  
Анықтама: Егер  Х  және Y кездейсоқ шаманың әрбіреуі бір-бірінің қандай  мән 
қабылдайтынына  тәуелсіз  болса,  онда  Х  және  У  кездейсоқ  шамалары  тәуелсіз  деп 
аталады.  
4 қасиет.Егер Х және У тәуелсіз шамалар болса, онда M(XY) = M(X)M(Y). 
Мысал.Екі  ойын  сүйегін  лақтырғанда  ұпай  саны  кӛбейтіндісінің  математикалық 
үмітін табайық. 
  Бұл кездейсоқ шамалар тәуелсіз, онда  
25
,
12
5
.
3
5
,
3
)
(
)
(
)
(





Y
M
X
M
Y
Х
М
. 
Бұл жердегі, Х және Y бірінші және екінші ойын сүйегінің ұпай түсу саны. 
Бұдан,
,
6
1
15
6
1
36
6
1
25
6
1
16
6
1
9
6
2
4
6
1
1
)
(















X
X
M
онда 
)
(
)
(
)
(
2
X
M
X
M
X
Ì


 екенін кӛреміз. 
Осы  мысалдан  тәуелсіз  кездейсоқ  шаманың  шарты  қасиеттен  табылатынын 
кӛреміз. Х және У кездейсоқ шамалары үшін мына теңдік тура.  
5 
қасиет.Х 
және 
У 
кездейсоқ 
шамалары 
үшін 
мына 
теңдік 
тура.M(X+Y)=M(X)+M(Y). 
Мысал.Екіойынсүйегілақтырылған. 
Ұпайтүсусанықосындысыныңматематикалықүмітінтабайық, яғниM(X+Y)=3,5+3,5=7. 
Салдар.Хбиноминальдыкездейсоқшаманыңматематикалықүміті M(X)=n p тең.  
Мысал.100 баланыңішіндеербаласаныныңматематикалықүміті 

113 
 
 
50
5
0
100




,
X
 тең. 
Бұл жерде  Х- биноминальды шаманың  ер бала болу саны, n=100, р=0,5. 
Анықтама:      Х  кездейсоқ  шаманың  дисперсиясы  деп    кездейсоқ  шама 
квадратының  математикалық  үміті  математикалық  үміттің  квадратының  айырымын 
айтады. 
Дисперсияны D(X) арқылы белгілейді: D(X) = M (( X- M (X))
2
). 
Дисперсияны табу үшін басқа да  ыңғайлы формула бар.  
Теорема.Х  кездейсоқ  шаманың  дисперсиясы  мына  теңдікке  тең.  D(X)=M(X
2
)-
M(X)
2
.  
Анықтама: 
 
X
D
-ты  орта  квадратты    ауытқу  деп  атайды.   
 
X

-  арқылы 
белгілейді. Яғни, 
 
 
X
D
X


. 
Мысал.Ойын сүйегінлақтырылғанда ұпай санытүсуінің дисперсиясын және орта 
квадратты ауытқуын табайық.  
Алдыңғы есепте тексерілген. 
M(X)=3,5,  а 
,
6
1
15
)
(
2

X
M
 
сондықтан,  
,
917
,
2
12
35
4
1
12
6
1
15
5
,
3
6
1
15
)
(
2






X
D
 
.
,
,
)
X
(
708
1
917
2



 
Соңғы сан 
 
5
3,
X
M

 байланысты ұпай саны түсуінің орта ауытқуын сипаттайды.  
Дисперсияның негізгі қасиеттерін кӛрсетейік. 
1 қасиет.
0

)
X
(
D
. 
2 қасиет.
0
)
(

C
D
, С-тұрақты  
3 қасиет.D(CX )= C
2
D(X). 
4 
қасиет. 
Тәуелсіз 
шама 
қосындысының 
дисперсиясы 
олардың 
дисперсияларының қосындысына тең 


 
 
Y
D
X
D
Y
X
D



. 
5 қасиет. Х және У тәуелсіз шамалар үшін:D(X-Y)=D(X)-D(Y). 
Салдар. Биноминалды үлестірім дисперсиясы: 
npq
)
X
(
D

. 
Мысал.100 баланың ішінде ер бала санының дисперсиясы мына теңдікке тең.  
,
25
5
,
0
5
,
0
100
)
(




X
D
 
Мұндағы, 
X
- биномиалды шама, 
n
=100, 
p
=0,5; 
q
=1-0,5=0,5.  

114 
 
5
25
)
(



X
. 
 
Бақылау сұрақтары: 
1.Математикалық үміттің анықтамасы. 
2. Математикалық үміттің қасиеттері. 
3. Дисперсия анықтамасы. 
4. Дисперсия қасиеттері. 
 

жүктеу/скачать 3,09 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: