5-мысал.
ан
болєандыќт
1
x
cos
1
x
tg
xdx
tg
2
2
2
.
C
x
tgx
dx
x
cos
dx
dx
1
x
cos
1
2
2
Біз бұл жерде 7-ші және 1-ші формулалармен 4-ші қасиетті пайдаландық.
6-мысал.
dx
x
x
x
x
x
x
dx
2
2
2
2
2
2
3
3
3
1
3
.
Соңғы интегралды екі интегралдың айырымы түрінде жазып алып формулалар мен
қасиеттердің кӛмегімен интегралдасақ,
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
3
dx
3
1
x
dx
3
1
x
3
dx
3
1
x
dx
3
1
dx
x
3
x
x
x
3
3
1
x
3
x
dx
3
3
1
166
C
3
x
arctg
3
3
1
x
3
1
C
3
x
arctg
3
3
1
x
3
1
болады.
7-мысал.
dx
x
8
3
2
.
Шешуі:
dx
x
d
3
2
немесе
3
2
2
1
x
d
dx
екенін ескерсек, берілген интегралды былайша
жазуға болады:
3
2
3
2
2
1
3
2
8
8
x
d
x
dx
x
.
Енді бұған 2-ші формуланы немесе 5-қасиетті қолдансақ
C
x
x
d
х
dx
x
9
8
8
3
2
18
1
3
2
3
2
2
1
3
2
болып шығады.
8-мысал.
ескерсек
екенін
dx
x
x
d
dx
e
x
x
2
1
2
1
1
1
=
C
e
бойынша
формула
ші
x
d
e
x
x
1
1
3
1
.
9-мысал.
ескерсек
екенін
xdx
x
d
xdx
x
2
1
1
2
3
2
бойынша
формула
ші
2
1
x
d
x
1
2
1
2
3
1
2
C
x
1
8
3
C
x
1
8
3
3
4
2
3
4
2
10-мысал.
C
arctgx
x
x
d
x
dx
x
3
2
3
3
6
2
3
1
1
3
1
1
.
11-мысал.
3
3
3
2
3
3
2
3
x
3
d
x
sin
x
dx
x
sin
dx
x
x
sin
C
x
x
d
x
3
3
3
cos
3
sin
3
.
12-мысал.
3
2
3
2
1
3
3
1
1
x
dx
x
x
dx
x
интеграл астындағы бӛлшектің алымында бӛлімінің туындысы
тұр
C
x
3
1
ln
3
1
.
мысал.
tdt
dx
x
dx
dt
онда
десек
x
t
x
dx
2
,
2
,
1
C
1
t
ln
2
t
2
t
1
dt
2
dt
2
dt
1
t
1
1
t
2
dt
t
1
t
2
.
C
1
x
ln
2
x
2
Интегралдауды бітіргеннен кейін біз алғашқы айнымалыға кӛштік.
16-мысал.
tdt
dx
х
t
онда
десек
x
t
x
х
dx
2
,
1
,
1
1
2
2
C
x
arctg
C
arctgt
t
dt
t
t
tdt
1
2
2
1
2
1
2
2
2
.
18-мысал.
dx
а
х
2
интегралын есептеу керек.
167
Шешуі: Бұл интегралдың астындағы ӛрнек кӛбейткіштерге жіктеулі тұр, сондықтан
a
x
U
2
,
dx
d
деп аламыз. Бұдан
x
,
а
x
xdx
dU
2
. Сонда бӛліктеп интегралдау
формуласын қолдансақ мынау шығады:
dx
a
x
a
a
x
a
x
x
a
x
dx
x
a
x
x
dx
a
x
2
2
2
2
2
2
2
a
x
dx
a
dx
a
x
a
x
a
x
x
2
2
2
2
С
a
x
x
ln
a
dx
a
x
a
x
x
2
2
2
Соныменен біз алғашқы берілген интегралға келдік, яғни бұл теңдік берілген интеграл
тұрғысынан қарағанда теңдеу болып шықты. Теңдеудің оң жағындағы интегралды сол жағына
шығарсақ,
C
a
x
x
a
a
x
x
dx
а
х
2
2
2
ln
2
,
немесе
C
a
x
x
a
a
x
x
dx
а
х
2
2
2
ln
2
2
.
19-мысал.
xdx
d
x
u
xdx
x
cos
,
cos
десек,
бұдан
dx
du
,
C
x
cos
x
sin
x
xdx
sin
x
sin
x
x
sin
.
20-мысал.
dx
x
d
x
u
xdx
x
1
,
ln
ln
1
2
2
десек,
бұдан
x
dx
x
x
3
1
x
ln
x
x
3
1
x
x
3
1
,
dx
x
1
du
3
3
3
dx
dx
x
3
1
x
ln
x
3
x
3
1
dx
1
3
x
x
ln
x
x
3
1
2
3
2
3
C
x
x
9
1
x
ln
x
3
x
3
1
3
3
21-мысал.
2
2
2
1
,
,
1
,
x
xdx
d
x
dx
du
arctgх
u
xarctgxdx
dx
1
x
1
1
x
2
1
arctgx
2
x
dx
x
1
x
2
1
arctgx
2
x
2
2
2
2
2
2
dx
1
x
1
1
2
1
arctgx
2
x
2
2
C
2
x
arctgx
1
x
2
1
C
arctgx
2
1
2
x
arctgx
2
x
2
2
.
1-мысал.
dx
x
x
x
x
x
2
3
2
2
3
2
.
Рационал бӛлшектің бӛлімінің үш нақты түбірі бар, ендеше
2
1
2
2
3
x
x
x
x
x
x
деп
жазуға болады. Сонда, берілген бӛлшектің жәй бӛлшектерге жіктелуі мына түрде болады:
2
1
2
1
3
2
2
х
С
х
В
х
А
х
х
х
х
х
.
Мұндағы коэффициенттер А,В,С әзірше белгісіз және оларды анықтау қажет. Ол үшін теңдіктің
екі жағын да ортақ бӛлімге келтіріп алымдарын теңестіреміз. Сонда
1
2
2
1
3
2
2
х
Сх
х
Вх
х
х
А
х
х
,
немесе
А
х
С
В
А
х
С
В
А
х
х
2
2
3
2
2
2
168
теңбе-теңдігі шығады.
Бұл теңбе-теңдіктің сол жағы мен оң жағындағы х-тің бірдей дәрежесінің алдындағы
коэффициенттерді теңестірсек, мынадай теңдеулер жүйесі шығады:
.
2
3
,
2
1
,
2
0
1
2
А
С
В
А
С
В
А
х
х
х
Енді осы теңдеулер жүйесін шешсек
6
13
,
3
4
,
2
3
С
В
А
болып шығады. Осы мәндерді
орнына қойсақ
2
6
13
1
3
4
2
3
2
1
3
2
2
х
х
х
х
х
х
х
х
теңдігі шығады.
Сонда
dx
2
x
6
13
1
x
3
4
x
2
3
dx
2
х
1
х
х
3
х
х
2
2
2
x
dx
6
13
1
x
dx
3
4
x
dx
2
3
C
2
x
ln
6
13
1
x
ln
3
4
x
ln
2
3
болып шығады.
1-мысал.
4
7
2
1
1
1
4
1
4
1
2
3
2
4
1
2
x
x
dx
x
x
dx
х
х
.
2-мысал.
.
6
2
1
arcsin
2
arcsin
4
1
0
1
0
2
x
x
dx
Мысал.
2
0
2
0
x
cos
x
x
cos
,
dx
du
xdx
sin
d
,
x
u
xdx
sin
x
2
x
sin
x
cos
x
xdx
cos
2
0
2
0
2
0
.
Мысал.
2
t
,
3
1
t
,
3
x
1
t
,
0
1
t
,
0
x
tdt
2
dx
,
1
t
x
,
x
1
t
dx
x
1
x
2
3
0
2
1
2
1
2
4
2
dt
t
t
2
tdt
2
t
1
t
15
11
7
3
7
5
31
2
3
1
5
1
2
3
8
5
32
2
3
1
5
2
2
1
3
5
t
t
.
Мысал.
OX
осімен және
t
y
t
t
x
cos
1
2
,
sin
2
циклоиданың бір аркасымен шенелген
фигураның ауданын табу керек.
Шешуі:
169
2
0
2
2
0
2
0
2
cos
cos
2
1
4
cos
1
4
cos
1
2
cos
1
2
dt
t
t
dt
t
dt
t
t
S
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
cos
1
2
sin
8
4
cos
4
cos
8
4
dt
t
t
t
tdt
tdt
dt
12
4
8
2
sin
2
2
4
2
0
2
0
t
t
.
Кездейсоқ оқиғалар. Кездейсоқ шамалар.
Статистиқалық бағалау
1.Жәшіктегі 15 шардың 5-уі кӛк, 10-ы қызыл. Кенеттен алынған 6 шардың 2-уі кӛк
болу ықтималдығын табыңыз.
Шешуі: Барлық жағдайлар саны 15-тен 6-дан жасалған теруден тұрады
6
15
C
= 5005.
А-екі шар кӛк болуын кӛрсететін оқиға. Осы оқиғаның орындалуына қолайлы
жағдайлар саны m=
4
10
2
5
C
C
=10*210=2100. Олай болса, P(A)=2100/5005=0,4196.
2.Жәшіктегі 8 шардың 5-уі ақ, қалғаны қара. 3 шар алынды. Алынған шарлардың
арасындағы ақ шарлар санының үлестірім заңын табыңыз.
Шешуі: Х- алынған шарлар арасындағы ақ шарлар санын кӛрсететін кездейсоқ шама,
оның қабылдайтын мүмкін мәндері x
1
=0,x
2
=1, x
3
=2, x
4
=3. Бұл мәндерді қабылдау
ықтималдықтары:
p
1
=P{X=0}=
56
1
3
8
3
3
0
5
C
C
C
,
56
15
}
0
{
3
8
2
3
1
5
2
C
C
C
X
P
p
,
56
30
}
2
{
3
x
P
p
,
56
10
4
p
X
0
1
2
3
P
1/56
15/56
30/56
10/56
(Тексеру:
1
56
10
56
30
56
15
56
1
4
1
i
p
).
1.
Жәшіктегі 8 шардың 5-уі ақ, қалғаны қара. Кенеттен 3 шар алынды. Таңдаманың
арасындағы ақ шарлар санын кӛрсететін кездейсоқ шама Х-тің үлестірім
функциясы F(x)-ті тауып, сызбасын сызыңыз.
Шешуі: Айнымалы х-ке мән беріп, сәйкес F(x)= P{X үлестірім функциясының
мәндерін анықтаймыз:
1.
Егер х≤0 болса, онда F(x)=P{X<0}=0;
2.
Егер 0
;
56
1
170
3.
Егер 1, онда F(x)=P{X=0}+P{X=1}=
;
56
16
56
15
56
1
4.
Егер 2онда F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=
;
56
46
56
30
56
15
56
1
5.
Егер 3онда F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=
.
1
56
10
56
46
Сонымен,
.
3
,
1
;
3
2
,
56
46
;
2
1
,
56
16
;
1
0
,
56
1
;
0
,
0
)
(
x
x
x
x
х
x
F
F(x) функциясының графигін тұрғызамыз (1-сурет)
5.Лотереяда 1000 билет бар. Оның арасында 10-ны 500 теңге, 50-уі 50 теңгеден,
100-і 10 теңгеден, 150-уі 1 теңгеден ұтыс түсетін билеттер бар. Бір билет сатып
алған студенттің ұтыс мӛлшерін кӛрсететін кездейсоқ шаманың математикалық
үмітін анықтаңыз.
Шешуі: Бір билетке түскен ұтыстың мӛлшерін кӛрсететін Х кездейсоқ шамасының
үлестірім заңы:
Х
500
50
10
1
0
р
0,01
0,05
0,1
0,15
0,69
(Тексеру:
5
1
1
i
i
p
) МХ: МХ=500∙0,01+50∙0,05+10∙0,1+1∙0,15+0∙0,69= 8,65 т.
6.Дискретті кездейсоқ шама Х үлестірім кестесімен берілген:
4
p
3
p
2
p
р
1
F(x)
1
46/56
16/56
1/56
0
1
2
3
x
1 –сурет.
171
Х
-1
0
1
2
р
0,2
0,1
0,3
0,4
DХ, MХ, σ
X
– терді табыныз.
Шешуі: MX =-1∙0,2+0∙0,1+1∙0,3+2∙0,4=0,9;
DX = (-1- -0,9)
2
∙0,2+(0-0,9)
2
∙0,1+(1-0,9)
2
∙0,3+(2-0,9)
2
∙0,4=1,29 немесе,
DX = (-1)
2
∙0,2+0
2
∙0,1+1
2
∙0,3+2
2
∙0,4-(0,9)
2
=1,29); σ
Х
=
.
14
,
1
29
,
1
7.Екі ӛлшемді кездейсоқ шама (X,Y) үлестірім тығыздығымен берілген
f(x,y) =
)
1
(
1
2
2
y
x
A
.
Табу керек: 1) А; 2) F(x,y); 3) P{X<1, Y,1}; 4) f
1
(x) , f
2
(y).
Шешуі: 1) А тұрақтысын үлестірім тығыздығының қасиеті бойынша табамыз:
,
1
1
1
2
2
dxdy
y
x
A
,
1
1
1
2
2
y
dy
x
dx
A
,
1
|
|
arctgy
arctgx
A
,
1
2
A
2
1
A
.
2)
).
2
1
1
)(
2
1
2
1
1
(
|
)
2
(
1
1
)
1
1
(
)
,
(
2
2
2
2
arctgy
arctgx
arctgv
arctgx
v
dv
u
du
y
x
F
y
y
x
3)
P{X<1, Y<1}=F(1,1)=
16
9
2
1
4
1
2
1
4
1
.
4)
,
)
1
(
1
)
2
2
(
)
1
(
1
|
)
1
(
1
)
1
)(
1
(
1
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
1
x
x
arctgy
x
y
x
dy
x
f
8.Дискретті екі ӛлшемді кездейсоқ шама үлестірім кестесімен берілген
X\Y
-1
0
1
0
0,15
0,40
0,05
1
0,20
0,10
0,10
Корреляция коэффициентін
r
XY
.
табыңыз.
Шешуі. X және Y-тің үлестірім заңдарын табамыз:
Y
-1
0
1
p
0,35
0,50
0,15
X
0
1
p
0,6
0,4
172
Олардың математикалық үміті: m
x
=0·0,6 + 1·0,4=0,4,m
y
= -1·0,35+ 0·0,50 +
1·0,15=-0,20
(Оларды
басқа
формуламен
де
табуға
болады:
).
4
,
0
10
,
0
1
10
,
0
1
20
,
0
1
05
,
0
0
40
,
0
0
15
,
0
0
2
1
3
1
i
j
ij
i
x
p
x
m
Дисперсиялары:
.
46
,
0
20
,
0
15
,
0
1
50
,
0
0
35
,
0
1
,
24
,
0
4
,
0
4
,
0
1
6
,
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
DY
MX
MX
DX
Сонымен
,
49
,
0
24
,
0
z
.
68
,
0
46
,
0
y
MXY-ті табамыз:
MXY= 0·(-1)·0,15+0·0·0,40+0·1·0,05+1·(-1)·0,20+1·0·0,10+1·1·0,10=-0,10 (немесе
Z=XY кездейсоқ шамасының үлестірім заңын тауып, сонан соң MZ=MXY:
Z=XY
-1
0
1
p
0,20
0,70
0,10
MZ= MXY=-1·0,20+0·0,70+1·0,10=-0,10
Корреляциялық моментін табамыз:
K
xy
=[MXY-MX·MY]= -0,10-0,4·(-0,20)=-0,10+0,08=-0,02≠0
R
xy
=MXY/σ
x
·σ
y
=-0,10/0,49·0,68=-0,10/0,3≈-0,3
9. 10 абитуриент математика пәнінен тестіден ӛтуі керек. Олардың әрқайсысы 0
балдан 5 балға дейін алуы мүмкін (0,5 сандарын қоса алғанда). Х
к
– «k»-шы
абитуриенттің алатын баллдарының саны болсын (k = 1, 2,..., 10).
Бұл жағдайда 0, 1, 2, 3, 4, 5 – бір абитуриенттің алатын мүмкін балдарының саны
– негізгі жиын болады. Таңдамалар Х
1
, Х
2
,…, Х
10
- 10 абитуриенттің тестілерінің
нәтижелері. Таңдамалардың нәтижелері тӛмендегі сандар жиыны бола алады: {5, 3, 0,
1, 4, 2, 5, 4, 1, 5} немесе
{4, 4, 5, 3, 3, 1, 5, 5, 2, 5} немесе (3, 4, 5, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 4} т.с.с.
10. 30 кенеттен таңдалған студенттердің бойлары ӛлшенді (дәлдігі см.):178, 160,
154, 183, 155, 152, 167, 186, 163, 155, 157, 175, 170, 166, 159, 173, 182, 167, 171, 169,
179, 165, 156, 179, 158, 171, 175, 173, 164, 172.
173
Интервалдық статистикалық қатарды құру керек.
Шешуі. Алынған сандарды реттеп жазсақ: 153, 154, 155, 155, 156, 157, 158, 159,
160, 163, 164, 165. 166, 167. 167, 169, 170, 171, 171, 172, 173, 173, 175, 175, 178, 179,
179, 182. 183, 186.
X – үзіліссіз кездейсоқ шама – студент бойы.
Х
min
– 153, Х
max
– 186; Стерджеса формуласы бойынша, n=30 болғандағы жеке
аралықтың ұзындығын табамыз:
.
59
,
5
907
,
5
33
30
lg
322
,
3
1
33
30
log
1
153
186
2
h
h= 6. Бұл жағдайда х
бастапқы
=153-
2
6
=150. Берілген сандарды 6 аралыққа бӛлеміз
( m=1+log
2
30=5,907≈6): [150,156), [156,162), [162,168), [168,174), [174,180), [180,186).
Әрбір аралыққа түсетін студенттер санын тауып ( n
i
) аралықты статистикалық
қатар құрамыз:
Бойы
[150-156)
[156-162)
[162-168)
[168-174)
[174-180)
[180-186)
Жиілігі
4
5
6
7
5
3
Салыстырмал
ы жиілігі
ь
0,13
0,17
0,20
0,23
0,17
0,10
Вариациялық қатарды зерттеудің бір әдісі эмпирикалық үлестірім функциясын
құру.
1.
Ер жұмысшылардың жастары мен білімдерінің арасындағы корреляция
коэффициентін, орташа квадраттық және орташа абсолютті ауытқуларын
таңдама бойынша есептеңіз.
Шешуі: Барлық керек есептеулерді тӛмендегі кесте арқылы жүргіземіз:
337
,
0
5
,
323
109
104652
109
162
646
109
2
2
r
Корреляция коэффициентін есептеу
Номер
рабочего
Возраст
лет, х
Образование,
классы, у
x
x
y
y
2
2
1
2
30
25
10
10
+2
-3
0
0
4
9
0
0
0
0
174
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
40
28
23
25
24
30
30
22
34
25
27
23
27
24
23
27
25
27
38
33
39
23
2
11
11
10
8
11
9
7
6
7
10
10
11
10
11
11
11
15
6
15
10
15
+12
0
-5
-3
-4
+2
+2
-6
+6
-3
-1
-5
-1
-4
-5
-1
-3
-1
+10
+5
+11
-5
-5
+1
+1
0
-2
+1
-1
-3
-4
-3
0
0
+1
0
+1
+1
+1
+5
-4
+5
0
+5
144
0
25
9
16
4
4
36
36
9
1
25
1
16
25
1
9
1
100
25
121
25
25
1
1
0
4
1
1
9
16
9
0
0
1
0
1
1
1
25
16
25
0
25
-60
0
-5
0
+8
+2
-2
+18
-24
+9
0
0
-1
0
-5
-1
-3
-5
-40
+25
0
-25
n=24
672
x
28
24
672
x
240
y
10
24
240
y
0
100
0
44
646
2
162
2
109
Орташа квадраттық ауытқулары
21
,
5
23
646
1
)
(
2
n
x
x
x
жасы;
65
,
2
23
162
1
)
(
2
n
y
y
y
сыныбы.
Орташа абсолютті ауытқулары
175
17
,
4
24
100
n
x
x
d
x
жасы;
83
,
1
24
44
n
y
y
d
y
сыныбы.
Негізгі әдебиеттер
1.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Ч.1,2,3 - Наука,
1984.
2.
Данько П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах, ч. 1,2 - М. 1980
3.
Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов . М., ВШ -
1987.
4.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика
5.
Гмурман В.Е., Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике, М. 1979
6.
Дүйсек АҚ., Қасымбеков С.Қ. Жоғары математика, Алматы 2004
7.
Алшынбаева Е.Қ., Қасымбеков С.Қ.
Математика пәні бойынша дәріс курсы. – Алматы, 2008
8. Математика пәні бойынша дәріс курсы. – Алматы, 2008
9. Казешев А. Қ. Нурпеисов С.А. Экономистерге арналған математика. Оқулық.
Алматы, 2011
10. Казешев А. Қ. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика.
Оқулық. Алматы: Экономика, 2011
11. Қабдықайырұлы Қ. Жоғары математика. Оқулық. Алматы, 2005.-524 бет.
12.
Математика. СӚЖ орындауға арналған. Алматы. Экономика. 2012.-226 бет.
Қосымша әдебиеттер
1.
Қасымов Е.Ә., Баймолдина С., Алшынбаева Е.Қ., Отарбаев Ж.О.
Жоғары математикадан дәріс курсы 1,2,3,4 бӛлім, Алматы 1996, 1998
2.
Алшынбаева Е.Қ. сызықты алгебра негіздері, Алматы 1998
3.
Алшынбаева Е.Қ. Инженерлік экономикалық есептерді шығарудың
кейбір математикалық әдістері, Алматы 2002
4.
Казешев А. Қ. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика
бойынша есептер жинағы. Алматы: РБК, 2007.-310 бет.
5.
Қазышев А. Қ., Нурпеисов С.А., Экономикалық мамандақтарға арналған жоғары
176
математика: Есептер жинағы. Издательство “Эверо”, 2007.-310 бет.
6.
Түнғатаров Ә.Б. Экономикалық мамандықтарға арналған жоғары математика курсы.-
Алматы: “Эверо”,2004.-423 бет.
ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК ҚАМТАМАСЫЗ ЕТІЛУ КАРТАСЫ
«_____________Экономикадағы математика_______» пәні бойынша
(пәннің атауы)*
5В050800 «Есеп және аудит», 5В050900 «Қаржы», 5В050700 «Менеджмент»,
5В090800 «Бағалау»мамандығы
(«шифр-атауы»)
Негізгі оқу-әдістемелік әдебиеттердің болуы
(дана)
Студенттер
контингенті
Ескерту
Оқулықтар мен
оқу құралдары
Электронды
оқулықтар мен
оқу құралдары
ПОӘК
қ/б
о/б
қ/б
о/б
қ/б
о/б
қ/б
о/б
107
-
70
-
-
Экономикадағы математика
1. Дүйсек А. Қ., Қасымбек С. Қ. Жоғары математика Алматы 2004№, 42 экз
2. Алшынбаева С. Қ., Қасымбек С. Қ. Математика пәні бойынша дәріс курсы. Алматы 2009, 10 экз.
3. Қазешов А. Қ., Нурпейісов С. А. Экомистерге арналған математика жинағы. Алматы Эверо 2007
10 экз.
4. Малыхин В. И. Математика в экономике. М 1999, 2000, 29 экз.
5. Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов. М 2006, 1 экз.
6. Данько П. Е., Попов А. Г. И др. Высшая математика в упражнениях и задачах часть- 1 М 1980 8
экз.
7. Рахметова Р.Ӛ. Математика практикумы. Алматы 2007
Достарыңызбен бөлісу: |