Ҥзіліссіз кездейсоқ шамалар. Ықтималдық тығыздығы. Ҥзіліссіз кездейсоқ

115 
 
Анықтама.  Х  үзіліссіз  кездейсоқ  шама 
)
x
(
f
y

  тығыздығының  математикалық 
үміті деп 





dx
x
xf
X
M
)
(
)
(
 айтады. 
Дербе  жағдайда,  Егер 
X
-тің  барлық  мәндері 
 
b
a,
  жатса,  онда  математикалық 
үміт 
 
 
dx
x
xf
X
M
b
a


 
болады. 
Меншіксіз  интеграл  абсолютті  жинақты,  яғни 




dx
)
x
(
f
x
  интегралы  табылады. 
Егер  осы  талаптар  орындалса,  онда  интегралдың  мәні    тӛменгісі 


  шегіне,  ал 
жоғарғысы 


 жылдамдықпен ұмтылуына тәуелді болатын еді.  
Анықтама. Егер х-тің мүмкін болатын мәндері 
]
,
[ b
a
 тиісті болса, онда  



b
a
dx
x
f
X
M
x
X
D
)
(
)]
(
[
)
(
2
. 
Егер 
X
-тің мүмкін болатын мәндері барлық 
x
 ӛсіне тиісті болса, онда  






dx
x
f
X
M
x
X
D
)
(
)]
(
[
)
(
2
. 
Бұл теңдікті үзіліссіз кездейсоқ шаманың дисперсиясы деп атайды.  
Үзіліссіз  кездейсоқ  шаманың  орта  квадратты  ауытқуы  мына  формуламен 
анықталады 
)
X
(
D
)
X
(


. 
Мысал.Интегралдық 
функциямен 
берілген 
X
 
кездейсоқ 
шаменың 
математикалық үмітін және дисперсиясын тап.  










.
,
,
,
,
,
)
(
1
1
1
0
0
0
x
x
x
x
x
f
 
Шешуі.Дифференциалдық функцияны табайық  












.
,
,
,
,
,
)
(
)
(
1
0
1
0
1
0
0
x
x
x
x
F
x
f
 
Математикалық үмітті табайық  
2
1
2
)
(
1
0
2
1
0




x
xdx
X
M
. 
Дисперсияны табайық 

116 
 
12
1
4
1
2
2
1
)
(
1
0
3
1
0
2
2










x
dx
x
X
D
. 
Бақылау сұрақтары: 
1. Үзіліссіз кездейсоқ шаманың анықтамасы. 
2. Ықтималдық тығыздығының анықтамасы. 
3. Үзіліссіз кездейсоқ шаманың математикалық үміті және оның қасиеттері. 
4. Үзіліссіз кездейсоқ шаманың дисперсиясы және оның қасиеттері 
 
Қалыпты ҥлестірім заңы және оның параметрлері 
 
Анықтама.  Үзіліссіз  кездейсоқ  шаманың  қалыпты  үлестірімі  деп,  егер 
дифференциалдық функция мына теңдікпен анықталса  
2
2
2
2
1






)
a
x
(
e
)
x
(
f
. 
 
Қалыпты үлестірім екі 
a
 және 

 параметрлерімен анықталған. Осы параметрлер 
қалыпты үлестірімнің берілуіне  жеткілікті. Бұл  параметрлердің мағынасы мынадай: 
a
 математикалық  үміт, 

 - қалыпты үлестірімнің орта квадратты ауытқуы. 
а) Анықтама бойынша үзіліссіз кездейсоқ шаманың математикалық үміті 
 

 













dx
e
x
dx
)
x
(
xf
)
X
(
M
)
a
x
(
2
2
2
2
1
. 
 
Соымен, 
a
)
X
(
M

,    яғни  қалыпты  үлестірімнің  математикалық  үміті 
a
 
параметрлеріне тең.  
б) 
a
)
X
(
M

 ескере отырып, үзіліссіз кездейсоқ шаманың дисперсиясы  











dx
e
)
a
x
(
)
X
(
D
)
a
x
(
2
2
2
2
2
1
. 



a
x
z
  жаңа  алмастыру  орындайық.  Бұдан 
z
a
x



, 
dz
dx


.    Жаңа  шектің 
интегралы ескісіне тең  болатынын ескере отырып, мынадай теңдік аламыз 
 
 







dz
ze
z
)
X
(
D
z
2
2
2
2
. 

117 
 
z
u

, 
dz
ze
dv
z
2
2


 бӛліктеп интегралдап, 
2


)
X
(
D
 табамыз. 
Бұдан, 






2
)
X
(
D
)
X
(
. 
 
Сонымен, қалыпты үлестірімнің орта квадратты ауытқуы 

 параметріне тең. 
Қалыпты  үлестірімнің  дифференциалдық  функция  графигін  қалыпты  қисық 
(Гаусс қисығы) деп атайды. Егер функцияға толық зерттеу жүргізсек 
 
2
2
2
2
1






)
a
x
(
e
y
, 
 
онда келесі функциясының графигін аламыз  ( суретте үш қалыпты қисық 
кӛрсетілген бірдей 
a
  мәнді және 

 әртүрлі мәнді) 
 
 
1 сурет 
 
қалыпты қисықпен және 
a x
 ӛсімен шектелген, 
  Кез  келген 
a
және 

  параметрлерінің  мәндерінің  ауданы  бірге  тең  болып 
қалады.  
0

a
және
1


үшін
2
2
2
1
)
(
x
e
x




қалыпты 
қисығы 
қалыптандырылған 
деп 
аталады. 
Егер  Х  кездейсоқ  шаманың 
)
(x
f
  дифференциалданған  функциясы  берілсе,  онда 
 аралығында жататын Х қабылдайтын мәндерінің ықтималдығы  








dx
x
f
X
P
)
(
)
(
. 
)
,
(



118 
 
тең екені белгілі.  
Х  кездейсоқ  шамасы  қалыпты  заңмен  үлестірілген  болсын.  Онда   
 
аралығында жататын  Х қабылдайтын мәндерінің ықтималдығы  












dx
e
X
P
a
a
x
2
2
2
)
(
2
1
)
(
 
   
Бұл  формуланы  дайын  кестеге  қолдану  үшін  ӛзгертейік.  Жаңа  аламастыру 
орындайық 
.  Бұдан 
a
z
x



, 
dz
dx


. Интегралданатын жаңа шек табайық 


x
, онда 




a
z
;  егер


x
, онда 




a
z
. 
Олай болса,  
.
2
1
2
1
2
1
2
1
)
(
2
1
)
(
0
2
0
2
0
2
0
2
2
2
2
2
2
2













































a
z
a
z
a
z
a
z
a
a
z
dz
e
dz
e
dz
e
dz
e
dz
e
X
P
 
Лаплас функциясын қолдана отырып, мынадай теңдік аламыз 




x
z
dz
e
x
0
2
2
2
1
)
(

, 
онда 





 







 










a
a
X
P
)
(
.                                         (*) 
Мысал.Х кездейсоқ шамасы қалыпты заң бойынша үлестірілген. Математикалық 
үміті  және  орта  квадратты  ауытқуы  сәйкесінше  30  және  10-ға  тең.  Х  кездейсоқ 
шаманың (10, 50) аралығында жату ықтималдығын табу керек. 
Шешуі  (*) формуласын қолданайық.  Шарт бойынша 
10


, 
50


, 
30

a
, 
10


, 
бұдан, 
)
2
(
2
10
30
10
10
30
50
)
50
10
(






















X
P
. 
Кестеден 
4772
.
0
)
2
(


. 
Олай болса, іздеп отырған ықтималдық мына теңдікке тең  
9544
.
0
4772
.
0
2
)
50
10
(





X
P
. 
)
,
(





a
x
z

119 
 
Х  кездейсоқ  шаманың  қалыпты  үлестірімнің  айырымы  берілген   
a
  санынан 
абсолют  шамасы  кіші  болса,  яғни, 



a
X
  теңсіздігінің  ықтималдығын  табу  керек. 
Осы  теңсіздікті  келесі  екі  теңсіздікпен  алмастырайық






a
X
, 
немесе






a
X
a
. 
 (*) формуласын қолданып,  






















































a
a
a
a
a
X
a
P
a
X
P
)
(
)
(
)
(
)
|
(|
. 
аламыз  
Лаплас функциясы - тақ 




















 
онда  













2
)
|
(|
a
X
P
. 
Дербес жағдайда, 
0

a
 үшін 












2
)
|
(| X
P
. 
Мысал. Xкездейсоқ шаманың қалыпты үлестірімі берілген. Математикалық 
үміт  және  орта  квадратты  ауытқу  сәйкесінше  20  және  10  тең.  Ауытқудың 
абсолют шамасы бойынша үштен кіші болу ықтималдығын табамыз. 













2
)
|
(|
a
X
P
. 
Шарт бойынша 
3


, 
20

a
, 
10


. Олай болса, 
)
3
.
0
(
2
10
3
2
)
3
|
20
(|












X
P
. 
Кесте бойынша Лаплас функциясының мәні  
1179
,
0
)
3
,
0
(


 тең. 













2
)
|
(|
a
X
P
 формуласын түрлендіріп, 
t



 деп алайық. Онда  
)
(
2
)
|
(|
t
t
a
X
P





. 
Егер 
3

t
және бұдан 



3
t
 болса, онда  
9973
.
0
49865
.
0
2
)
3
(
2
)
3
|
(|








a
X
P
, 
Басқа  сӛзбен  айтқанда,  айырымының  абсолют  шамасы  орта  квадратты 
ауытқудан  ӛте  аз  ықтималдыққа  тең  болады,  яғни  0,0027  тең.  Бұл  оқиға  0,27% 
пайда болатынын білдіреді. 
Бұл тұжырымды үш сигма ережесі деп атайды, оны қалыпты заңға бағынатын 
кездейсоқ  шаманың 








3
3
,
  аралығынан  шықпауы  мейлінше  бірге  (0,9973) 

120 
 
жуық  ықтималдық-пен  айтамыз.  Қалыпты  заң  тәжірибеде  ӛте  жиі  кездеседі. 
Мәселен,  егер  кездейсоқ  шаманың  қабылдайтын  мәндері  әрқайсысы  ӛте  аз  әсер 
ететін кӛптеген кездейсоқ факторлардың әрбіріне байланысты болмастан, олардың 
жиынына  байланысты  болса,  ол  кезде  ондай  кездейсоқ  шама  үлестіруі  қалыпты 
заңға бағынады. Бұл құбылыс үлкен сандар заңының негізін қалайды. 
 
Бақылау сұрақтары: 
1. Кездейсоқ шаманың қалыпты үлестірімінің анықтамасы. 
2. Қалыпты үлестірімнің математикалық үміті және дисперсиясы. 
3. Үш сигма ережесі. 
Бірқалыпты ықтималдық ҥлестірім заңы. Кӛрсеткіштік ҥлестірім 
 
Анықтама. 
)
,
(
b
a
  аралығындағы  Х  кездейсоқ  шаманың  бірқалыпты  үлестірімі  бар 
дегеніміз, үлестірім 
)
,
(
b
a
  аралығында  тұрақты  мәнін  сақтайды,  ал  оның  сыртындағы  мәні 
нӛлге тең. Үздіксіз кездейсоқ шаманың бірқалыпты үлестіріміне мысал келтірейік.  
Мысал..Приборды  ӛлшейтін  шкала  бірнеше  бірлікте  сызылған.  Х  кездейсоқ 
шамасын  есеп  беру  кезіндегі  бүтін  бӛлгішке  дейін  жуықтау  қатесі  деп  қарастыруға 
болады. Сондай-ақ кӛршілес екі бүтін бӛлгіштің арасындағы кез келген мәндері тұрақты 
ықтималдық  тығыздығы    болып  қабылдануы  мүмкін.  Олай  болса,  Х  бірқалыпты 
үлестірім болады. Бір қалыпты үлестірімнің дифференциалдық функциясын табайық. Х 
кездейсоқ  шаманың  барлық  мүмкін  болатын  мәндері 
)
,
(
b
a
  аралығына  тиісті  болсын. 
Сондай-ақ,  дифференциалдың функция тұрақты мән  сақтайды 
C
x
f

)
(
. Шарт бойынша, Х 
кездейсоқ  шамасы 
)
,
(
b
a
  аралығынан  тыс  мәндерді  қабылдайды..  Сондықтан, 
a
x

  және 
b
x

  үшін 
0
)
(

x
f
  С  тұрақтысының  мәнін  табайық.  Х  кездейсоқ  шамасының  барлық 
мүмкін болатын мәндері 
)
,
(
b
a
 аралығына тиісті болса, онда келесі теңдік орындалады. 
,
1
)
(


b
a
dx
x
f
  или   
.
1


b
a
Cdx
 
Бұдан 
.
1
1
a
b
dx
C
b
a




 
Сонымен, бірқалыпты үлестірімзаңын мына түрде жазуға болады: 












 
       
 ,
0
     
      
,
;
       
 ,
     
.
b
x
;
b
x
a
a
b
a
x
)
x
(
f
1
0
 
 Анықтама. 

  параметрімен 
)
 (λ
0

  тығыздық  ықтималдығы  түрінде  берілген 
кездейсоқ шаманы кӛрсеткіштік кездейсоқ шама деп атайды 

121 
 










.
x
,
;
x
,
e
)
x
(
f
x
0
0
0
 





0
1
dx
x
-
e
  екенін тексеру қиын емес, яғни  берілген тығыздық анықтамсы тура.  
Осы шаманың математикалық үміті бӛліктеп интегралдау арқылы табылады.  
























0
0
0
0
)
(
)
x
x
x
xe
xde
dx
e
x
dx
x
xf
X
M(
















0
0
1
0
x
x
x
e
e
x
lim
dx
x
-
e
(Лапиталь ережесі бойынша)
.
1
1
1
lim
1
1
lim
-
x














x
x
x
e
e
 
2
2
2


)
X
M(
 табылатын айқын 
Бұдан, 
2
2
2
2
2
1
1
2
D(








)
X
(
M
)
X
(
M
)
X
   и  




1
)
x
(
D
)
x
(
. 
Кӛрсеткіштік  кездейсоқ  шама  массалық  қызмет  теориясында  қолданылады. 
Кезекті  ӛтініш  уақытын  күтуде,  қызмет  пунктіне  тапсырыс  бергенде  (телефон 
қоңырауы және т.б.) 

 параметрімен кӛрсеткіштік шама беріледі. Бұл жердегі, 



1
– 
екі ӛтініштердің арасындағы  –орта  уақыт.  Теория жүзінде бұйымның істен шығуға 
дейінгі жұмыс уақыты.  
Теория  жүзінде  бұйымның  істен  шығуға  дейінгі  жұмыс  уақыты  кӛбінесе 
кӛрсеткіштік  шама  болып  табылады,  бұл  жердегі 



1
–  сондай  бұйымның  істен 
шығуға дейінгі орта жұмыс уақыт.  
Мысал.Телевизордың бұзылмай істейтін орта уақыты 4 жыл  болсын. Ал жӛндеу 
мерзімі  тек  1  жылға  берілген.  Сатып  алынған  телевизордың  жӛндеуді  талап  ететін 
ықтималдығын тап. 
Х  телевизордың  бұзылмай  жұмыс  істеу  уақытысының  кӛрсеткіштік  шамасы  
4
1


 параметрімен берілсін.  
Тығыздықтың екіншісі қасиетін пайдаланып, ықтималдықты табайық.  
.
221
,
0
1
1
4
1
)
(
4
0
4
1
1
0
4
1
0
4

















e
e
e
e
dx
e
dx
x
f
1)
X
P(0
x
1
0
x
 
Бақылау сұрақтары: 
1. Бірқалыпты үлестірім ықтималдығының анықтамасы. 
2. Кӛрсеткіштік үлестірім ықтималдығының анықтамасы. 

жүктеу/скачать 3,09 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: