Дәріс № 14.1 Тақырып: Кездейсоқ шамалар функциясы

122 
 
Егер  ??????  дискретті  к.ш.  және  ?????? = ?????? (??????)  монотонды  болса,  онда  ??????-тің  әртүрлі 
мәніне  ??????-тің  әртүрлі  мәні  сәйкес  келеді  және  ??????,  ??????-тің  осы  мәндерді  қабылдау 
ықтималдықтары бірдей. Демек ??????-тің барлық мүмкін мәндерін 
???????????? = ??????  ???????????? 
 
теңдіктерінен  табуға  болады,  мұндағы  ???????????? −  ??????-тің  мүмкін  мәндері;  ??????-тің  мүмкін 
мәндерін қабылдау ықтималдықтарын 
Р (Y=Y??????) = P (??????=????????????) 
теңдігінен анықтайды. 
Егер ?????? = ?????? (??????) - монотонды болмаса, онда ??????-тің әртүрлі мәндеріне ??????-тің бірдей 
мәндері  сәйкес  келуі  мүмкін.  Бұл  жағдайда  ??????  кездейсоқ  шамасының  сол  мәндерінің 
ықтималдықтары  сәйкес  ??????  кездейсоқ  шамасының  қабылдайтын  мәндерінің 
ықтималдықтарының қосындысына тең болады.  
Енді  ??????,  үлестірім  тығыздығы??????(??????)-ке  тең,  үзіліссіз  кездейсоқ  шама  болсын. 
?????? = ?????? (??????) 
формуласымен 
анықталатын 
?????? 
кездейсоқ 
шамасының,  
g(y)деп белгіленетін, үлестірім тығыздығын табалық.  
Оны  табу  үшін  мына  теореманы  пайдаланамыз:  егер  ?????? = ?????? (??????)  қатаң  ӛспелі 
немесе  қатал  кемімелі  функция  болатын  болса  және  сол  функцияға  сәйкес  ?????? =
?????? (??????)болатын кері функция анықталса, тӛмендегі формула орынды: 
?????? (??????) = ?????? [?????? (??????)] ∙/??????′(??????)/ 
Мысалдар.1. ?????? кездейсоқ шамасының үлестірім заңы берілген  
?????? 
1 
3 
4 
Р 
0,5 
0,2 
0,3 
?????? =   Х
 3
кездейсоқ шамасының үлестірім заңын табу керек. 
 
2.
 
?????? кездейсоқ шамасының үлестірім заңы  
?????? 
-2 
-1 
0 
1 
2 
 
0,1 
0,3 
0,3 
0,2 
0,1 
?????? =   Х
 2
 кездейсоқ шамасының үлестірім заңын табыңыз. 
3.
 
?????? үзіліссіз кездейсоқ шамасының үлестірім тығыздығы –??????(??????) 
?????? =   3 х  кездейсоқ шамасының үлестірім тығыздығын табыңыз. 
 
Тақырып: Екі кездейсоқ шамадан тәуелді функция 
Егер  ??????  жәнеYкездейсоқ  шамалардың  бір  бірден  парластырылған  мәндеріне  Z 
кездейсоқ шамасының қабылдайтын мәндерінің бірі сәйкес келетін болса, Z кездейсоқ 
шамасынXжәне Y кездейсоқ шамалардың функциясы деп атайды да былай белгілейді: 
Z
 = ?????? (??????, ??????) 
Мысалы Z = X + Y, Z = X – Y,Z = X · Y 
1.
 
??????,  ??????  дискретті  кездейсоқ  шамалар  болсын.  Онда  Z = ?????? + ??????  барлық  ????????????+ ????????????(i=1, 
2,…, n; j=1, 2, …, m) түріндегі мәндерді қабылдайтын жаңа кездейсоқ шама. Ол 
шаманың осы мәндерді қабылдау ықтималдықтары 
Р
ij
 =P (X = x
i
, Y =y
j
) = Р (X = x
i
) · P
x=xi
(Y = y
j
)    (1) 

123 
 
Ал егер X және Y ӛзара тәуелсіз болса, онда  
Р
ij
 =P (X = x
i
, Y =y
j
) = Р (X = x
i
) · P (Y = y
j
) = P
i
 · P'
j
   (1
1
) 
Осы сияқты X - Y және X · Y кездейсоқ шамаларыда анықталады. 
Екі  кездейсоқ  шамалардың  айырмасы дегеніміз барлық  x
i
-y
j 
түріндегі  мәндерді 
қабылдайтын,    ал  кӛбейтіндісі  X
i
·Y
j
  түріндегі  мәндерді  қабылдайтын,  ол  мәндерді 
қабылдау  ықтималдықтары  (1)  формуламен,  ал  егер  X,  Y  ӛзара  тәуелсіз  болса  (1
1
) 
формуласымен анықталатын жаңа кездейсоқ шама.  
2.
 
X  және  Y  үзіліссіз  кездейсоқ  шамалар  болсын.  Олардың  үлестірім 
тығыздықтары  f
1
  (x)  және  f
2
  (y)  берілсін.  Z=X+Y  кездейсоқ  шамасының 
үлестірім тығыздығы  
?????? (z) =  
∞
∞
+
−
f
1
 (x) f
2
 (z-x)dx         (2) 
немесе 
?????? (z) =  
∞
∞
+
−
f
1
 (z-y) f
2
 (y)dy         (3) 
формулаларымен анықталады. 
Егер-де  аргументтердің  мүмкін  мәндері  теріс  болмаса,  ??????  (z)  тӛмендегі 
формулалармен анықталады. 
?????? (z) = ʃ
ƶ
0
f
1
 (x) f
2
 (z-x)dx         (2
1
) 
немесе  
?????? (z) = ʃ
ƶ
0
f
1
 (z-y)f
2
 (y)dy         (3
1
) 
 
Әдебиет: 4 нег. [139-142], [143-145]. 
Бақылау сурақтары:  
1.
 
?????? = ?????? (??????) кездейсоқ шама функциясы қалай анықталады? 
2.
 
Х–дискретті кездейсоқ шама болса  Y = φ (X) функциясының үлестірім заңы 
қалай анықталады? 
3.
 
Х–үзіліссіз  к.  ш.  болған  жағдайда  функцияның  үлестірім  заңы  қалай 
анықталады? 
4.
 
Екі кездейсоқ шамадан тәуелді функция қалай анықталады? 
5.
 
X, Y дискретті шамалар үшін Z = X + Y функциясының үлестірім заңы. 
6.
 
X, Y үзіліссіз шамалар үшін Z = X + Y функциясының үлестірім тығыздығы 
қалай анықталады? 
 
Дәріс № 14.2 Тақырып: Екі ӛлшемді кездейсоқ шамалардың сан сипаттамалары 
Екі ӛлшемді кездейсоқ шама дегеніміз (X, Y), мүмкін мәндері екі сан жұбымен 
(x, y) анықталатын кездейсоқ шама. Бір мезгілде қарастырылатын X және Yкездейсоқ 
шамалары екі кездейсоқ шамалар жүйесін құрайды. 
Екі  ӛлшемді  шаманы  XОY  жазықтығындағы  кездейсоқ  нүкте  М  (X,  Y)  немесе 
кездейсоқ вектор ОМ
      ретінде қарастыруға болады. 
Егер X және Y дискретті болса, онда(X, Y) – дискретті, ал X, Y үзіліссіз болса, 
онда (X, Y) екі ӛлшемді үзіліссіз кездейсоқ шама. 

124 
 
(X,  Y)  жүйесінің  үлестірім  заңы  олардың  қабылдайтын  мәндері  мен 
ықтималдықтарының арасындағы сәйкестік. 
Дискретті (X, Y) кездейсоқ шамасының үлестірім заңы кестемен, аналитикалық 
түрде (үлестірім функциясы) беріледі.  
Екі ӛлшемді кездейсоқ шаманың үлестірім функциясы  
F (x
1 
y) = P (X < x, Y < y) 
теңдігімен анықталады. 
 
Екі ӛлшемді ықтималдың тығыздығы.  
?????? (??????, ??????)
= 
??????
2
??????(??????
1
??????)
??????×????????????
 
үлестірім функциясынан алынған екінші ретті дербес аралас туындысына тең. 
Егер ықтималдық тығыздығы белгілі болса, онда үлестірім функциясын 
 
??????(??????, ??????) =     ??????(??????, ??????)????????????????????????
??????
−∞
??????
−∞
 
формуласымен анықтайды. 
Кездейсоқ (X, Y) нүктенің берілген D облысында жату ықтималдығы  
??????  ??????, ??????  ⊂ ??????  =     ?????? (??????, ??????)????????????????????????
??????
 
теңдігімен анықталады. 
                  1.f (x, y) 
≥ 0 
                             2.  
 
 
??????  ??????, ?????? ???????????????????????? = 1
∞
−∞
∞
−∞
 
Егер X, Y тәүелсіз кездейсоқ шамалар болса, онда  
F (x,y) = F
1
(x) · F
2
(y) және f (x,y) · f
1
(x)·f
2
(y) 
X және Y кездейсоқ шамаларының ықтималдық тығыздығы белгілі болса, онда 
екі ӛлшемді кездейсоқ шаманың (X, Y) математиқалық үмітін анықтауға болады: 
M (X) = 
∫
+∞
−∞
x ??????
1
(x)dx, M (Y) = 
∫
+∞
−∞
y??????
2
(y)dy 
немесе  
М Х  =     ????????????  ??????, ?????? ???????????????????????? ,
?????? ??????  =     ????????????  ??????, ?????? ????????????????????????
 
Дискреттікездейсоқ шамаларүшін 
M (X) =  
 
??????????????????????????????
??????
?????? =1
??????
??????=1
, M (Y) =  
 
??????????????????????????????
??????
?????? =1
??????
??????=1
. 
Дисперсиясы:  
?????? Х  =    [?????? − ?????? ?????? 
2
]??????(??????, ??????)????????????????????????,
?????? ??????  =    [?????? − ?????? ?????? 
2
]??????(??????, ??????)????????????????????????,
 
Дискреттікездейсоқ шамаларүшін 
D (X) =  
 
[???????????? − ?????? ?????? ]
2
??????????????????
??????
?????? =1
??????
??????=1
, D (Y) =  
 
[???????????? − ?????? ?????? ]
2
??????????????????
??????
?????? =1
??????
??????=1
 
Корреляциялық момент. Корреляция коэффициенті 
X  және  Y  кездейсоқ  шамаларының  корреляциялық  моменті  M
xy
  деп,  олардың 
математикалық  үміттерінен  ауытқуларының  кӛбейтіндісінің  математикалық  үмітін 
айтамыз 
M
xy
= M  
?????? − ??????(??????)] · [?????? − ??????(??????) ]   
Дискреттікездейсоқ шамаларүшін 

125 
 
M
xy
=  
 
[???????????? − ?????? ?????? ] · [???????????? − ?????? ?????? ] · ??????????????????
??????
?????? =1
??????
??????=1
, 
ал үзіліссіз кездейсоқ шамалар үшін 
1.
 
M
xy 
= 
∫
+∞
−∞
 
 ?????? − ??????  ??????   ·  ?????? − ?????? ??????  ?????? x
1
y dxdy
+∞
−∞
 
Корреляциялық  момент  X  және  Y  шамаларының  арасындағы  байланыстық 
кӛрсеткіші болып табылады. Егер корреляциялық момент нӛлден ерекше болса, онда 
X және Y ӛзара тәуелді кездейсоқ шамалар. 
Центрлік кездейсоқ шаманың анықтамасын ескерсек 
M
xy
 = 
Х  ∙ ?????? 
 
Математикалық үміттің анықтамасын ескерсек 
M
xy
=М [XY] –М (X) · M(Y). 
Теорема. Екі ӛзара тәуелсіз кездейсоқ шамалардың X, Y корреляциялық 
моменті нӛлге тең. 
Корреляциялық коэффициенті 
Егер де X және Y-тің ӛлшемдері әртүрлі болса корреляциялық коэффициентін 
қолданған жӛн. 
X және Y кездейсоқ шамаларының корреляциялық коэффициенті деп 
олардың корреляциялық моментінің орташа квадраттық ауытқуларының 
кӛбейтіндісіне қатынасын айтамыз: 
??????
????????????
=  
Mxy
??????
??????
· ??????
??????
 
Корреляциялық коэффициенті кездейсоқ шамалардың ӛлшемінен тәуелсіз. 
Ӛзара тәуелсіз кездейсоқ шамалардың корреляциялық коэффициенті нӛлге тең. 
 
Теорема. Екі кездейсоқ шамалардың X, Y корреляциялық моментінің абсолюттік 
шамасы олардың дисперсияларының геометриялық ортасынан аспайды: 
 M
????????????
  ≤  ???????????? · ???????????? 
Теорема. корреляциялық коэффициентінің абсолюттік шамасы бірден аспайды: 
 ??????
????????????
  ≤ 1 
Әдебиеттер: 4 нег. [155–168] 
Бақылау сұрақтары: 
1.
 
Дискретті екі ӛлшемді кездейсоқ шаманың үлестірім заңы. 
2.
 
Екі ӛлшемді кездейсоқ шаманың үлестірім функциясы. 
3.
 
Екі ӛлшемді кездейсоқ шаманың үлестірім функциясының қасиеттері. 
4.
 
Үзіліссіз екі ӛлшемді кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы. Қасиеттері. 
5.
 
Екі ӛлшемді кездейсоқ шамалардың сан сипаттамалары (математикалық үміт, 
дисперсия). 
6.
 
Корреляциялық моменті және корреляциялық коэффициенті. Қасиеттері.
 
 
№15 дәріс тақырыбы:Статистиқалық бағалау 
 ([4], 196-212 беттер, [1] қосымша әдебиет, 4 бӛлім) 

126 
 
Математикалық статистика пәні. Бас және іріктеулі жинақтылықтар. 
Полигон. Гистограмма 
 
Кӛптеген кездейсоқ жағдайлар бағынатын  белгілі бір заңдылықтарды  қорытып 
шығару  үшін  статистикалық  есептерді  пайдаланады.  Ол  үшін  бірталай  уақыт 
тәжірибелердің қортындысын жинақтайды. Математикалық статистиканың І-ші есебі 
–  статистикалық  мәліметтерді  жинақтаудың  әдістерін,  топтамаларын  кӛрсету. 
Математикалық статистиканың ІІ-ші  есебі – зерттеудің мақсатына сай статистикалық 
мәліметтерге  анализ  жасау,  әдістерін  кӛрсету.  Ғылым  мен  практиканың  кӛтерген 
мәселелеріне шешуде математикалық статистиканың әдістері негізгі болып табылады. 
(Технологиялық    процесстерді  дұрыс  ұйымдастыру,  жоспарлау,  болжам  жасау) 
Сонымен  математикалық  статистиканың  мақсаты  статистикалық  мәліметтерді 
жинақтау мен анализ жасау, зерттеп ғылыми және практикалық қорытынды жасау.  
Анықтама.  Таңдаулы  жинақтық  деп  немесе  выборка  деп  кездейсоқ  алынған 
объектілердің жиынтығын айтады. 
Бас  жинақтылық  деп  таңдама  жасалатын  объектілер  жиынтығын  айтады. 
Жиынтық кӛлемі деп жиынтықтағы  объектілер санын айтады.  
Мысалы:  1000  детальдан  зерттеуге  100  деталь  алынсын.  Сонда 
1000

N
  бас 
жиынтық,  ал   
100

n
таңдама  кӛлемі  болады.    Таңдаманың  белгілері  бойынша  бас 
жиынтық белгілері жайында толыққанды қорытынды жасау үшін таңдама объектілері 
толық кең кӛлемде айғақталуы қажет. Бұны таңдама репрезентивті  болуы керек деп 
айтады.  
Таңдама құрастырудың тәсілдерін қарастырайық  
1. Кездейсоқ таңдау. Бұл жерде жеке бірліктерді таңдау үшін не теңгені не ойын 
кубын лақтыру арқылы, жеребе тастаумен немесе кездейсоқ сандар таблицасы арқылы 
анықтайды.  Бұл  жағдайда  жинақтықтың  әрбір  бірлігінің  таңдамада  болу  мүмкіндігі 
бірдей болады. Таңдама бірліктерін мұндай тәсілмен алу кӛп жұмысты ұзақ орындауға  
әкелетіндіктен, оны практикада сирек қолданады.  
2. Механикалық таңдау. Таңдаманы мұндай тәсілмен ұйымдастырғанда  таңдама 
құрайтын  бірліктер  тағайындалғанда  таңдама  құрйтын  бірліктер  тағайындалған 
белгілі  бір  ретпен  формальды  анықталады.  Мысалы,  объект      бірліктерін  ойша 
нӛмірлеп әрбір  5 сондай-ақ 10,20 т.т нӛмірден соң алтыншысын 11-шісін, 21-шісін т.т. 
алу арқылы таңдаманы ұйымдастырады және т.с.с.  
3.  Сериялық  таңдау.  Бұл  жағдайда  таңдама  серия  бойынша  кездейсоқ  алынып 
жасалады. Ал кездейсоқ алынған серияның бірліктерін бақылау жаппай орындалады.  
4.  Тиіптік  таңдау.  Таңдаманы  мұндай  тәсілмен  ұйымдастыру  үшін  бақылаудан 
бұрын бас жиынды қандай да бір белгі бойынша біртектес жинақтарға бӛлінеді, сӛйтіп 
одан  бізге  қажетті  бірліктерді  кездейсоқ  тық  тәртіппен  алады.  Кейбір  есептерді 
шешкенде (мысалы лингвистикада т.т) типтік таңдама мен сериялық таңдама үлестіріп 
алынады.  

127 
 
Бақылау  нәтижесінде  қарастырып  отырған  белгінің  жинақтығы    әрбір  бірлікке 
қатысты  сандық  немесе  сапалық    ӛзгерісі  туралы  мәлімет  аламыз.  Статистикалық 
бақылау мақсаты сол жиынтықта белгінің ӛзгеруін (вариациясын) шешу. Ал белгінің 
мүмкін  мәндерін  статистикада  варианта  деп  айтады.  Варианталар  сандық  (дискретті 
немесе үздіксіз) болу да мүмкіндігін кӛрдік.  
Тәжірибе  жүргізілгенде  белгілі  мәндер  қалай  болса  солай  орналасуы  мүмкін. 
Мысалы, тексерілген 10 вал диаметрі  см-мен 15, 12, 16, 12, 13, 14, 16, 13, 14, 12 болып 
шықты. Мұны реттеп жазсақ 12, 12, 12, 13, 14, 14, 15, 16, 16 болар еді. Мұндай жазу 
ӛте созыңқы. Мұны ықшамдап таблица түрінде жазсақ мынадай болады.  
 
1 кесте 
x
 
12 
13 
14 
15 
16 

 
i
n
 
3 
2 
2 
1 
2 
10 
Бұл  таблицаның  жоғары  жолында  белгі  мәндері  (варианталары),  ал  тӛменгі 
жолыда  әрбір  мәннің  неше  рет  кездескені  келтірілген.  Осылай  реттелген  таблицаны 
вариациалық  қатар  деп  айтады.  Бұл  термин  орнына  үлестіру  қатары  немесе  белгінің 
эмпирикалық (тәжірибелік) үлестіруі деп те айтады.  
Әдетте  белгіні  кездейсоқ  шамалар  сияқты 

,
Z
,
Y
,
X
  әріптерімен  белгілеп,  оның 
қабылдайтын  мәндерін  (варианталарды) 
k
x
,...
x
,
x
2
1
; 
1
1
y
,...,
y
;   
...
z
,...,
z
m
2
  арқылы  
белгілейміз.  Варианта  қайталанып  отыруы  мүмкін.  Ол  қайталаулардың  абсолютті 
санын  (жиілігін)   
k
n
,...
n
,
n
2
1
  деп  белгілесек,  онда  вариациялық  қатардың  жалпы  түрін 
мына кестеде кӛресетеді.  
 
2 кесте 
х 
1
x
 
2
x
 
... 
k
x
 

 
i
n
 
1
n
 
2
n
 
... 
k
n
 
n
 
Практикада варианта абсолютті жиілікпен қатар салыстырмалы жиілік тҥрінде 
де береді. Бҧл жағдайда 2- кестеде былай жазылады.  
 
2
 
кесте  
Х 
1
x
 
2
x
 
... 
k
x
 

 
i
f
 
1
f
 
2
f
 
... 
k
f
 
1,00 
мұнда 
n
n
f
i
i

. 

128 
 
Егер  вариация  үздіксіз  ӛзгеретін  болса,  онда  вариациялық  қатарды  интервал 
бойынша құруға тура келеді. Жалпы түрде интервалдық қатар мынадай болады. 
4 кесте 
Х 
2
1
x
,
x
 
3
2
x
,
x
 
... 


1

m
m
x
,
x
 
i
n
 
1
n
 
2
n
 
... 
m
n
 
 
немесе  
 
 
 
 
 
 
 
5 кесте 
Х 


2
1
x
,
x
 


3
2
x
,
x
 
... 


1

m
m
x
,
x
 
i
f
 
1
f
 
2
f
 
... 
m
f
 
 
мұнда 


2
1
x
,
x
, 


3
2
x
,
x
,..., 


1

m
m
x
,
x
  аралықтары  –  белгінің  мүмкін  мәндері  жататын 
интервалдар. 
,
x
x
k
1
2
1


,
x
x
k
2
3
2


..., 
m
m
m
x
x
k



1
  айырымдары  интервал  кеңдігін 
сипаттайды.  Ал  мұндағы 
i
k
  мәндері  әр  түрлі  болуы  мүмкін.  Біз  келешекте  
интервалдар ұзындығын бірдей деп қарастырамыз, яғни 
. 
  Статистикалық  үлестірімді  интервалдар  тізбегі  және  оларға  сәйкес  жиіліктер 
түрінде де беруге болады.  
Мысалы: Кӛлемі 20 болатын таңдама жиілігінің үлестірімі берілген.   
i
x
 
2 
6 
12 
i
n
 
3 
10 
7 
Салыстырмалы жиіліктің үлестірімін жаз.  
Шешуі. Жиіліктерін таңдама кӛлеміне бӛліп, салыстырмалы жиіліктерін табамыз 
15
0
20
3
1
,
W


 
 
50
0
20
10
2
,
W


 
 
35
0
20
7
3
,
W


 
Тексеру: 
1
35
0
5
0
15
0



,
,
,
. 
X
 сандық белгісінің жиілігінің статистикалық жиілігі белгілі болсын. Мынадай 
белгілеулер енгіземіз. 
x
n
- 
x
-тен болғанда кездескен байқаулар саны ,  
n
- сандық белгінің жалпы байқау (іріктеу кӛлемі). 
 
Кӛрнекті болу ҥшін статистикалық таралудың әр тҥрлі графиктерін 
салады. Жеке жағдайда полигон және гистограмма 
m
k
...
k
k



2
1

129 
 
Анықтама.  Жиілік полигоны  деп 
)
n
,
x
(
1
1
, 
)
n
,
x
(
2
2
,..., 
)
n
,
x
(
k
k
  нүктелерін  қосатын 
сызықты айтамыз. Үлестіру полигоны деп 
)
W
,
x
(
1
1
, 
)
W
,
x
(
2
2
,...,
)
W
,
x
(
k
k
 мәндерін қосатын 
сынық сызықты  кӛпбұрышты айтады. Салыстырмалы жиіліктің полигонын салу үшін 
абсциссалар  ӛсіне 
i
x
  варианталарын,  ал  ординаталар  ӛсіне 
i
W
  жиіліктерін    саламыз. 


i
i
W
X
  нүктелерін  кесінділермен  жалғастырып  салыстырмалы  жиіліктің  полигонын 
аламыз.  
Үздіксіз белгілер жағадайында  гистограмма салынған дұрыс. Ол үшін белгінің 
барлық мәндері орналасқан интеравлды ұзындығы 
n
 болатын 
n
 бӛлікке бӛлеміз. 
Анықтама.  Биіктігі 
h
n
i
  ұзындығы 
h
  болатын    тік  бұрышты  баспалдақтардан 
тұратын фигураны гистограмма деп атаймыз.  1 суретте үлестірімі мынадай  
3
0
4
0
2
0
1
0
5
7
5
5
5
3
5
1
,
,
,
,
W
,
,
,
,
X
 
Салыстырмалы жиіліктің полигоны кескінделген. 
 
 
1 сурет 
Гистограмма салу үшін абсцисса ӛсіне бӛлік интервалдарды, үстіне кесінділерді 
h
n
i
 аралықпен абсцисса ӛсіне параллель жүргізеді.  
  2-ші  суретте    үлестірім  жиілігі 
100

n
    болатын,  1кестеде  келтірілген, 
гистограмма бейнеленген. 
 
2 сурет 

130 
 
 
ұзындығы
5

h
 
дрбес интервал 
Дербес 
интервалдар  
i
n
 
жиілігінің 
қосындысы 
Жиіліктің 
тығыздығы
h
n
i
 
5-10 
10-15 
15-20 
20-25 
25-30 
30-35 
35-40 
4 
6 
16 
36 
24 
10 
4 
0,8 
1,2 
3,2 
7,2 
4,8 
2,0 
0,8 
 

жүктеу/скачать 3,09 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: