Вариация  коэффициенті  вариациялық  қатарларды  салыстыру  ҥшін  қажет

138 
 
Бақылау сұрақтары 
1. Бас орта . 
2. Таңдаулы орта. 
3. Бас дисперсия. 
4. Таңдаулы дисперсия. 
 
 
Сенімділік интервалы. Сенімділік ықтималдығы 
 
Анықтама. Бір санмен анықталған бағалауды нүктелік бағалау деп атайды.  
Таңдама  аз  кӛлемде  болғанда  нүктелік  бағалау  белгісіз  параметрлердің  шын 
мәнінен  алшақ  болуы  мүмкін.  Ондай  жағдайда  аралық  (интервальный)  бағалауға 
кӛшеді. 
  Анықтама.  Интервалдың  екі  шекті  сандармен  анықталған  бағалауды 
интервалдық баға деп атайды.  
  Айталық таңдама мәліметтері бойынша 

~

 белгісіз параметрінің бағасы болсын.  



~
 айырымының модулі мейілінше аз болған сайын баға нақты болады. Егер 
0


 және  





~
  болса,  онда 

  қаншалықты  аз  болса,  соншалықты 

~
  бағасы  нақты, 

  саны  
бағалаудың нақты лығын  сипаттайды. 
Анықтама. 

~
  параметрінің   

  бағасының  сенімділік  ықтималдығы,  сенімділігі  деп 





~
  теңсіздігі орындалатындай  

 ықтималдығын айтады. Яғни  









~
P
 
 
 
 
 
 
(1) 

 сенімділігі алдын-ала беріледі, оның мәні 1-ге жуық болады. 





~
 кеңсіздігін 








 немесе 









 деп те жазуға болады, олай болса (1) форумуланы   













~
~
P
 
 
 
            (2) 
деп  те  жазуға  болады.    Бұл 








~
,
~
  интервалы  белгісіз  параметр 

-ны 
қамтуының  ықтималдығы  

-ға тең дегенді білдіреді. 
Анықтама.  Сенімділігі

 
болатын  белгісіз  параметрді  жабатын








~
,
~
 
интервалын сенімділік интервалы деп атайды.  
Сенімділік интервалының шекті нүктелерін сенімділік шекаралары деп атайды.  
Сенімділік  шекараларды  кездейсоқ  шамалар,  олар  таңдама  ӛзгерген  сайын  ӛзгеріп 
отырады. 
  Орта  квадраттық  ауытқуы 

,  математикалық  күтімі    а    қалыпты  таралаудың 
сенімділік  интервалын  қарастырайық.  Айталық  Х  бас  жиынтықтың  сандық  белгісі 

-нің  таралуы    қалыпты  белгісізі 
a
  болсын.  Таңдаулы  орта   
B
X
-  ның  белгісіз 

139 
 
параметрі 
a
-ны  бағалайық;  а  параметрін 

    сенімділікпен  жабатын  сенімділік 
интервалын  табайық.  Таңдамадан  таңдамаға  дейін 
B
X
  таңдаулы  орта  ӛзгеріп 
отырғандықтан,  оны  кездейсоқ  шама  деп  қарастыруға  болады.    Таңдаулы  мәндер 
2
1
x
,
x
 ... 
n
x
- де солай ӛзгеріп отырғандықтан олар  да кездейсоқ шамалар. Математикалық 
ауытқуы 

 үлестірімді бірдей 
n
x
x
x

2
1
 кездейсоқ шамалары деп қарастырайық  
Сонда  
 
   
 
 
a
X
M
B

, 
 
n
X
B



 
 
 
(3) 
Мына теңсіздік орындалсын  







a
X
P
B
 
 
 
 
 
     (4) 
 
Х
В
. кездейсоқ шамасының үлестірімі  қалыпты болғандықтан  















2
a
X
P
 
Х
В
.және 
 
B
X

 шамаларына қолдансақ, 
 
n
X
B



 


 
t
n
a
X
P
B

















2
2
   (5),    мұнда  



n
t
  (6) 
Соңғы теңдіктен 
n
t



  және оны (5) –ке қойсақ : 
 
t
n
t
a
X
P
B











2
(7) ,  немесе
 
t
n
t
X
a
n
t
X
P
B
B














2
, 
мұндағы 
B
X
- таңдаулы орта. 
Р  ықтималдығы берілген және 

-ға тең болғандықтан  
 
 














n
t
X
a
n
t
X
P
B
B
 
 
 
 
(8), 
бұл  деген сенім интервалы  а белгісіз параметрін 

 сеніммен жабады. (6)-шы  
формуладан 










n
t
X
n
t
X
B
B
,
 
 
Бағалық нақтылығын табамыз. 
 
 



n
t
 
 
 
 
 
 
 

140 
 
Бұндағы 
t
 



t
2
 теңдігінен анықталады, ол үшін Лаплас функциясының 
таблицасынан табамыз. 
Бақылау сұрақтары 
1.
 
Сенім интервалының анықтамасы. 
2.
 
Сенім ықтималдығының анықтамасы. 
3.
 
 Белгісіз  математикалық  күтімнің  сенім  интервалын 
жазыңыз.    
 
 
 
Жаттығу сабақтарын жҥргізуге арналған әдістемелік нҧсқаулар 
 
 
Векторлар және анықтауыштар. Сызықты теңдеулер жҥйесі.(3 сағат) 
 
1. Үш ӛлшемді векторлар және оларға амалдар қолдану. 
2.Вектордың координат ӛстеріне проекциялары. Бағыттаушы косинустары. 
3.Кесіндіні берілген қатынаста болу. 
4.Есептер. 225,226,227(а,в),229,231,232,233,234 ([1] есептер жинағы, 30-31 беттер) 
5.Матрицалар және анықтауыштар. Кері матрицалар. 
6.Сызықтық теңдеулер жүйесі. 
3.
 
Крамер, кері матрица тәсілі. 
4.
 
Есептер. 202-224 ([1], 28-30 бет). 
 
Жазықтықтағы тҥзу сызық.(1 сағат) 
1.
 
Түзудің әртүрлі теңдеулері. 
2.
 
Нормал теңдеуі, нүктеден арақашықтығы. 
Функцияның шегі және ҥзіліссіздігі(1 сағат) 
 
1.Басты  элементар  функцияларының  анықталу  облысы  мен  графиктері 
(плакаттар, реферат). 
2.Қарапайым функциялардың аңықталу облыстарын табуға мысалдар. 
3.Функцияның  шегі.  0/0,  ∞/∞,  ∞  -  ∞  түріндегі  аңыкталмаған  шамалдарды 
аңықтау. 
4.1-ші және 2-ші тамаша шектер. 
5.
 
Функцияның үзіліссіздігі. Үзіліс нүктелердің түрлері. 
6.
 
Есептер. 44,45,46,47,48,48,53,55 ([1] есептер жинағы, 9-11б) 
 
 

141 
 
Туынды және дифференциал(2 сағат) 
 
 
1.Дифференциалдау ережелері және туындылар кестесінен сұрақтар. 
2.62,63,64,65 ([1] есептер жинағы 12 бет) 
3.Күрделі функцияларды дифференциалдау формулары. 
4.66,67,68,69,70,71. 
5.Кері  функцияның  туындысы.  Кері  тригонометриялық  функциялар  туындылары. 
71 есеп. 
5.
 
Функция дифференциалы. 81,82,83,84 есептер. 
6.
 
Жоғарғы ретті туындылар. 
7.
 
85 есеп. 
8.
 
3-ші тақырыптан бақылау жұмысы. 
Кӛп айнымалылы функциялар (1 сағат) 
 
1.Екі айнымалыдан тәуелді функцияның анықталу облысы. 
2.Эллипсоид, параболоид және сфераға жүргізілген деңгей сызықтарды табу. 
3.325,326,329 есептерді шығару ([1] есептер жинағы 52,53 беттер) 
4.Дербес  туындылар  мен  толық  дифференциалдарды  табу.  338,340  есептерді 
шығару ([1] есептер жинағы 55 бет) немесе ([3] қосымша әдебиет) 
5.Бағыт бойынша туынды табу. Градиент. 344,345,346 есептер. 
6.Жоғары ретті дербес туындылар (348,349) немесе [3] қосымша әдебиет. 
4.
 
Бетке жүргізілген жанама жазықтық пен нормальдің теңдеулері (352а). 
 
  Анықталмаған интеграл  (1 сағат) 
 
1.Анықталмаған интегралдар кестесі. 
2.Есептер. ([1] есеп жинағы, 133-143, 20,21 беттер) 
3.Айнымалыларды  ауыстыру  арқылы  интегралдар  кестесіне  келтіру. 
Айнымалыларды ауыстыру формуласы. 
4.144-152
 
ептер, 21 бет. 
5.Бӛліктеп интегралдау формуласы (3 жағдай) 
6.153-160 есептер, 22 бет. 
Анықталған интеграл  (1 сағат) 
1.Ньютон-Лейбниц формуласы. 
2.175 есеп. 
3.Анықталған интегралда айнымалыны ауылтыру (карточкалар) 
4.Анықталған интегралды бәлімшелеп интегралдау формуласы. 
5.175з,176,177,178 есептер. 
5.
 
Декарт координат жүйесінде жазық фигураның ауданын есептеу. 
6.
 
184, 185 есептер. 

142 
 
7.
 
6,7 тақырыптардан бақылау жұмысы. 
Кездейсоқ оқиғалар(2 сағат) 
 
1.Комбинаторика элементтері. 
2.№ 1,2,3 есертер (УМК) 
3.Ықтималдық анықтамалары. 
4.№ 1-25 есептер ([5] 8-12 беттер) 
5.Ықтималдықтарды қосу және кӛбейту теоремалары. 
6.
 
46-71, 80-88 есептер. 
7.
 
Толық ықтималдық формуласы. 
8.
 
89-96 есептер. 
9.
 
Байес формуласы. 
10.
 
 97-104 есептер. 
 
Кездейсоқ шамалар (1 сағат) 
 
1.Кездейсоқ шаманың биномдық үлестірім заңы. 
2.167,171,175 ([5] 53,54,57 беттер) 
3.Пуассон үлестірім заңы. 
4.180 есеп, 58 бет. 
5.Дискретті кездейсоқ шаманың сан сипаттамалары. 
6.188,214,217 есептер. 
7.Кездейсоқ шаманың үлестірім функциясы. 
8.Үзіліссіз кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы. 
7.
 
Үзіліссіз кездейсоқ шаманың сан сипаттамалары. 
8.
 
 Қосымша әдістеме құрал (19,20 беттегі есеп) 
9.
 
 10,11 тақырыптардан бақылау жұмысы. 
 
 
Статистиқалық бағалау(2 сағат) 
 
1.Математикалық статистиканың есептері. 
2.Таңдама әдісі. 
3.885,886 есептер, [2], 2 бӛлім, 210-211 беттер. 
4.Статистиқалық үлестірім функциясы. 
15.
 
441, 152 бет, [5], 887, [2], 212 бет. 
16.
 
Статистиқалық қатармен берілген кездейсоқ шаманың орташа мәні мен таңдама 
дисперсиясын табу. 
17.
 
888, [2] бӛлім, 213 бет, 895, 218 бет. 
 
Ӛзіндік жҧмыстарды жҥргізуге әдістемелік нҧсқаулар 

143 
 
 
Векторлық  және  сызықты  алгебра  элементтері.  Жазықтықтағы  аналитикалық 
геометрия.(9+9) 
1.
 
Вектор түріндегі амалдар. 
2.
 
Векторды базис арқылы жіктеу. 
3.
 
R², R³ кеңістіктеріндегі базистерге мысалдар. 
4.
 
Анықтауыштардың қасиеттері және оларды есептеу. 
5.
 
Сызықты теңдеулер жүйесін Крамер ережесімен шешу. 
6.
 
Жазықтықтағы түзу сызық. Нүтенін түзуден аракашықтығы. 
7.
 
1-ші типтік тапсырманың 1,2,4,5(а),8,9 есептерін шығару. 
 
Математикалық анализ элементтері. (3+3) 
1.
 
Басты элементар функциялар (реферат). 
2.
 
1-ші және 2-ші тамаша шектердің салдарлары. 
3.
 
Үзіліс  нүктелердің  түрлерін  анықтау  және  сол  нүктенің  маңайындағы 
сызбасын тұрғызу. 
4.
 
2-ші  типтік  тапсырманың  1,2,3,4,5,6,7,8,9  есептерін  шығару  ([1],  2-ші 
бӛлім, [2]1-ші бӛлім,[3], [6]). 
 
Туынды және дифференциал (6+6) 
1.
 
Функция  дифференциалы.  Тәуелсіз  айнымалының  дифференциалы.  Бірінші 
ретті дифференциалдың инварианттылығы. 
2.
 
Дифференциалдың жуықтап есептеуге қолданылуы. 
3.
 
Күрделі элементар функциялардың туындылар кестесін құру. 
4.
 
Маклорен  формуласы.  Басты  элементар  функциялар  үшін  Маклорен 
формуласы. 
5.
 
Берілген  нүктеде  функция  графигіне  жүргізілгенжанама  мен  нормаль 
теңдеулері. 
6.
 
II-ші  типтік  тапсырманың  теоретиқалық  сұрақтарын  қайталап  (туынды және 
дифференциал) 10,11,15,16 есептерді шығару. 
([1] 2 бӛлім, [2]1бӛлім,[3],[6]) 
 
Кӛп айнымалылар функциялары.(3+3) 
 
1.
 
Екінші  ретті  беттердің  канондық  теңдеулері  (эллипсоид,  параболоид, 
гиперболоид, цилиндрлік және конустық беттер) 
2.
 
Екі айнымалыдан тәуелді функцияның дифференциялы және оның жуықтап 
есептеуге қолданылуы. 
3.
 
№ 3 типтік тапсырмалардың 1,3,4,5,6,7,8 теоретикалық сұрактарын қайталап 
1,2,3,4 есептерін шығарыныз. 
 
Анықталмаған интеграл  (3+3) 
 
1.
 
Тригонометриялық функцияларды интегралдау. 

144 
 
2.
 
Элементар функциялар арқылы ӛрнектелмейтін интегралдар (алынбайтын 
интегралдар) 
3.
 
№  4  типтік  тапсырманың  2,3  теориялық  сұрақтарын  қайталап  2-13 
есептерін шығарыныз.  
([2] 1 бӛлім, [3],[6],[1] қосымша әдебиет 3 бӛлім) 
 
Анықталған интеграл  (3+3) 
 
1.
 
Меншіксіз интегралдар. 
2.
 
4  типтік  тапсырманың  4,5,6,7  теориялық  сұрақтарын  қайталап  14,15,16,17 
есептерін шығарыныз. 
([3], 295-298, 307-312 беттер, [6] 270-273) 
 
Кездейсоқ оқиғалар (6+6) 
 
1.
 
Ықтималдықтың геометриялық анықтамасы. 26,28,33 есептер. 
2.
 
Тәжрибелерлің қайталануы. Бернулли формуласы. 
3.
 
Лапластың локальды және интегралды теоремалары. 
4.
 
Салыстырмалы жиіліктің тұрақты ықтималдықтан ауытқуы. 
5.
 
110,113,115,121,122,126,130,132,146 есептер ([5] 37-47 беттер) 
6.
 
6-типтік тапсырмадағы 1,2,3 есептерін шығарыныз. 
([4], 27-31, 55-61 беттер, [1] қосымша әдебиет, 4 бӛлім) 
 
Кездейсоқ шамалар (6+6) 
 
1.
 
Бірқалыпты және кӛрсеткіштік үлестірім заңдары. Сан сипаттамалары. 
2.
 
Екі  кездейсоқ  шаманың  қосындысының  (айырмасының),  кӛбейтіндісінің  
үлестірім заңдары. 
3.
 
6-типтік тапсырманың 4,5,6 есептерін шығарыныз. 
([4], [5], [1] қосымша әдебиет, 4 бӛлім) 
 
Статистиқалық бағалау (6+6) 
 
1.
 
Орташа мәнді және таңдама дисперсиясын есептеу формулары. 
2.
 
Бағаның дұрыстығы. Сенімділік ықтималдығы, сенімділік аралығы. 
3.
 
[5], 458,459 есептер немесе 896 [2], 2 бӛлім. 
4.
 
503 [5]. 
([4], 199-213, 213-216 беттер, [1] қосымша әдебиет) 
 
Ӛзіндік жҧмыстарға арналған тапсырмалар 
 
1.
 
1. 
??????  = −??????
    − 2??????  + 2?????? , ??????  = ??????  + 2??????  − 3??????  ??????  + ??????   =? 
2.
 
??????  = 2??????  − ??????  − 2?????? модулін тап 

145 
 
3.
 
 а   = 3;  ??????   = 5;   а  ^ ??????   =
??????
3
 скаляр кӛбейтіндісін тап 
4.
 
а  =  9; 5; 3 ,   ??????  =  −3; 2; −1 .  а  − ??????   =? 
5.
 
 а   =  4; −2; 4 ;  ??????   =  6; −3; 2 ; ?????????????????? а  ^ ??????   =? 
6.
 
а  =  6; 0; 12 ,   ??????  =  −8; 13; 4 . Перпендикуляр бола ма? 
7.
 
а  =  2; −1; 3 ,   ??????  =  4; 1; −1 .  а  + 2??????   =? 
8.
 
 а   = 2 2;  ??????   = 4;  а  ^ ??????   = 60
0
 
  (
а  + ?????? )
2
=? 
«Сызықтық алгебра элементтері» 
 
2. СОӚЖ  тапсырма мазмҧны.   
Квадраттық  матрицалардың анықтауышы. Анықтауыштың қасиеттері.Крамер формулалары.  
Матрицаларға қолданылатын амалдар.  Матрица рангісі. Кері матрица.  
Сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің матрицалық әдісі.   Жордан-Гаусс әдісі.  
 
СОӚЖ № 1 ҥшін есептер. 
 
1.  Анықтауышты есептеңіз: а)  үшбұрыш ережесімен; ә)  ретін тӛмендету әдісімен  .   
а) 
в
с
в
а
с
в
с
а




7
2
2
5
;    ә )  
1
2
5
4
в
с
а
а
с
а
в





. 
2. A=













в
с
а
с
в
а
2
2
5
, B=










4
5
2
3
а
в
в
с
матрицалары берілген.  AB  және  BA матрицаларын табу 
керек.  
3.Теңдеулер жүйесін шешіңіз:  а)  Крамер формулаларымен; ә)  матрицалық әдіспен           
а) 









.
15
2
5
,
3
2
2
1
2
1
в
х
вх
с
а
сх
ах
;           ә) 









.
9
4
3
,
3
4
2
1
2
1
с
сх
х
с
в
вх
сх
 
4. Теңдеулер жүйесін Жордан-Гаусс әдісімен шешіңіз  






















.
1
2
2
)
3
(
,
3
2
3
,
1
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
с
а
ах
х
с
х
с
а
х
ах
сх
в
а
х
в
х
ах
 
 
 
Ӛздік 
жҧмыстың 
мақсаты:
Студенттің 
сызықтық 
алгебра 
элементтерін 
анықтауыштарды  есептеуде,  матрицаларға  амалдар  қолданғанда,  сызықтық  теңдеулер  жүйесін 
шешуде қолдана білуін, меңгеруін тексеру, алған білімін бекіту. 
 
 
 
Тапсырманы орындау бойынша әдістемелік нҧсқау 
 
     СӚЖ  негізгі 4 тапсырмадан тұрады. Әрбір студент ӛзінің сынақ кітапшасының нӛмірінің 
соңғы үш цифры  бойынша 
с
в
а ,
,
параметрлерінің орнына қойып, есептерді шешеді. Мысалы соңғы 
үш цифры 576 болса, онда  
6
,
7
,
5



с
в
а
  немесе оқытушы әрбір студентке үш таңбалы сан 
береді.  

146 
 
Типтік нҧсқа 
1.   Анықтауышты  а)  үшбұрыш ережесімен; ә)  ретін тӛмендету әдісімен есептеңіз : 
а) 
1
1
1
3
5
1
1
4
2



,     б)  
1
5
2
5
2
1
1
4
1




. 
2.  













1
2
3
1
2
1
А
,   







2
1
3
1
1
2
В
 матрицалары берілген. ABжәнеBA матрицаларын табу керек.  
3.  Теңдеулер жүйесін шешіңіз:  а)  Крамер формулаларымен; ә)  матрицалық әдіспен 
а)














.
2
2
,
3
4
2
,
3
3
2
1
3
2
1
3
2
1
х
х
х
х
х
х
х
х
х
     б)   














.
3
5
2
,
2
4
3
2
,
1
3
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
х
х
х
х
х
х
х
х
х
 
4.  Теңдеулер жүйесін Жордан-Гаусс әдісімен шешіңіз 
а)  














.
7
15
5
2
,
4
5
2
,
3
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
х
х
х
х
х
х
х
х
х
 

жүктеу/скачать 3,09 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: