Курсы оқу құралы

h  b
|||АГ(
х
,5)|2Л£/.У
<  +
00
,
яғни  / ( x ) ,  K ( x , s ) e L2(D)  деп үйғарамыз.  Осы  шартты  қанағаттандырушы  K ( x , s ) 
функциясын  Фредгольм  ядросы  деп  атайды.  Фредгольм  ядроларына  мысалдар 
келтірейік.
1-мысал.  K (x,s) = e  xs  ядросындағы  айнымалылар  1< х ,   s<  оо  болғанда  е 
фредгольмдік  ядро  болады,  ал  0 < х  ,  s < со  болса,  онда  ол  фредгольдік  ядро 
болмайды.
Расында
СО  ° 0  
'у
 
1  
с о  
с о   о о  
?  
I  
0 0   / 7
у
J J \e~xs  dsdx = -  f e~2xdx < oo,  J J\e~xs  dsdx = -  ] —   = 
2  I 
oo 
Z о  X
I  l
0 0
oo.
2-мысал.  Егер интегралдық тендеудің ядросы
K ( x , s ) = A(
JC —5
(3)
мүндағы  A ( x ,s ) —үзіліссіз  функция жэне  0 < а  < 
болса,  онда ядро  фредгольмдік 
болады, ал  а  > І   болса, ол ядро фредгольмдік болмайды.
Егер (3) ядросында  0 < а  < 
болса, онда ядро ерекшелігі элсіз немесе поляр-
лык ерекшелікті ядро деп,  ал теңдеу  ерекшелігі  элсіз  интегралдық теңдеу деп  ата- 
лады.  Егер  а - 1  болса,  онда  K (x,s) = y 4 (x ,.s )|x -.s jинтегралданбайтын  функция 
болады.  Бүл  функциядан  алынган  интеграл  тек  Кошидің  бас  мәні  мағынасында 
ғана бар  болуы  мүмкін.  Ядросы  K (x,s) = v4(x,s)|x-s|”'  түріндегі  интегралдық тең-
деуді  сингулярлық  интегралдық  тендеу,  ал  басқаларын  регулярлық  интегралдық 
тендеулер деп  атайды.  Бір  аргументті  сингулярлық интегралдық тендеудің жалпы 
түрі:
а{х)(р{х) -  
J 
ds + \ К  (х, s)cp{s)ds = / ( х ) ,
АТС  S  X
 
г
мүнда,  Г -   комплекс  жазықтықгағы  түйық немесе түйық емес  қарапайым доғалар 
жиыны:  х ,я е Г ,  а(х), b(x)  жоне  / ( х )   функциялар  Г  доғасында  аныкталған,  ал 
АГ(х,5) е ! 2(Г х Г ).
Біз  тек  сызыкдык  регулярлық  интегралдық  тендеулерді  ғана  қарастырамыз. 
Интегралдық теңдеулерді  бір  аргументті  функция  үшін  ғана  емес,  көп  аргументті 
функциялар үшін де қарастыруға болады.
Мәселен,  Фредгольмнің 2-текті  интегралдық  р(х)= Л \ K(x,s)(p(s)ds + f ( x )   тең-
п

жүктеу/скачать 10,43 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: