Курсы оқу құралы
Деуіне ядро K ( x ,s ) e L2(Q
жүктеу/скачать 10,43 Mb. Pdf көрінісі
|
| Деуіне ядро K ( x ,s ) e L2(Q
x Q), бос мүше / ( x ) e L 2(Q), ал * = (x,,x2,.„,x n) e Я", s = (5 1,s2, . . , s j 6 f i e / ? " . 6 Фредгольмнің 2-текті сызықтық интегралдык тендеулер жүйесі < Р М ~ К lt(x ,s \ p j (.v )as = f ] ( x \ f = 1 , 2 ,..., n / I a түрінде өрнектеледі. Егер K(x,s) элементтері K f/(x,s) болатын матрица деп қарасақ, онда (1) жүйені теңдеуі түрінде жазуға болады. Дол осылай екі аргументті функция үшін Вольтерра тендеуі X у (р(х, у ) = Aj j К(х,у; s , t )(p(s, t )dsdt + f(x, у) a a түрінде, ал жүйесін п х Р,(х) = Л £ \ K fj(x,s)cpi(s)ds + f f(x\ f = 1 , 2 ,...,« j - 1 а түрінде өрнектеуге болады. Математикалық, физикалық кейбір қолданбалы есептерді шешу сызыктық емес интегралдық тендеулерді шешуге алып келеді. Сондыктан кейбір практика- лык жэне теориялық маңызы бар бірнеше сызықтық емес интегралдық тендеу- лерді зерттеусіз келтірейік. 1) Г аммерштейн тендеуі: (р(х) = I К (x,s)F(s, (p(s))ds + f ( x \ n мұндағы, K(x,s) - фредгольмдік ядро. 2) Урысон теңдеуі: (р(х) = J K(x,s,(p(s))ds + f(x), n мұндағы, K(x,s,(p(s))- үзіліссіз функция; x, s e Q, \(f\ < M , ал M - шенелген оң шама. 3) Вольтерраның сызықтық емес теңдеуі: х (р(х) = j ғ ( х , s , (p{s))ds + f(x), мұндағы, F ( x , s , t ) - үзіліссіз функция, D = [ a < x , s < b \ \t\ талған. 4) Ляпунов-Лихтенштейн тендеуі: ср(х) = f ( x ) + Aj К , {x,s)p{s)ds + Jf K u{x,s,t)(p{t)(p{s)dsdt, мұндағы, K x мен К } ] үзіліссіз функциялар. 7 Егер тендеулерде белгісіз функцияның интегралымен коса туындылары да бар болса, ондай тендеулерді интегро-дифференциалдық тендеулер дейміз. Мысал үшін мына ең қарапайым интегро-дифференциалдық тендеулерді келтірейік: — = а(х)(р{х) +] К (х, s}p(s)ds + f ( x } , (4) dx C ^ = b(x)//(x)+X \K(x-s)i//(s)ds + F(x), (5) dx мұнда белгісіз функциялардың бірінші ретті туындылары бар болғандықтан, бұл тендеулердің шешімі жалғыз болуы үшін қосымша (р{сс)= А, у /( а ) = В шарттары берілуі қажет. Қолданбалы математикада интегро-дифференциалдық сызықтық, сызыктық емес тендеулер немесе тендеулер жүйесі жэне жоғарғы ретті туындылы (кэдуілгі жэне дербес туындылы) интегро-дифференциялдық тендеулер көп кездеседі. Мысалы, L ^ - ^ +4 x ) ^ +a2{x M x )=\K (x ^ W { s )ds+f ( x ) тендеуінің (р{сс) = А0, (р{а) = А, бастапқы шарттарын немесе (р{а)= A, (p{j3)= В шекаралық шарттарын қанағаттандыратын шешімін табу есебін қарастыруға бола- ды. Егер белгісіз функция көп аргументті болса, онда интегро-дифференциалдық тендеулерде белгісіз функциялардың дербес туындылары мен интегралдары көп өлшемді болады. Интеграл астындагы өрнекте белгісіз функциялардың туынды лары болатын интегро-дифференциалдық тендеулер жиі кездеседі. Кейбір жағдай- ларда интеграл астындагы туындының реті жоғары болса, ондай теңдеулердің шешімдері барлық уақытта бола бермейді және шешімнің бар екенін дэлелдеген күнде оны табу оңай емес. Ал егер интеграл сыртындағы өрнекте белгісіз функ- циялардың туындылары жоғарғы ретті болса, көп жағдайда мүндай интегро-диф- ференциалдық теңдеулерді жүйелерге дифференциалдық жэне интегралдық тең- деулердің, жүйенің жалпы теориясын пайдаланып шешуге болады. 3-мысал. (4) пен (5) теңдеулерін сызықтық интегралдық тендеулерге кел- тірейік. Ол үшін: J A f a s M O * + f i x ) = Q(x) a деп белгілесек, онда (4) теңеуінен (р\х)-с^хУр(х) = Q(x) 1-ретті сызыктық диф- ференциалдық тендеуін аламыз. Оның шешімі: . і _ / \ жүктеу/скачать 10,43 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|