Курсы оқу құралы
жүктеу/скачать 10,43 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- §1.2. Интегралдық теқдеуге келтірілген есептер 1. Абель есебі. вертикаль жазыктығында материалдық нүкте өзінің
| ~\а{т)<іт
A + \ Q ( s ) e " ds 8 Бұл өрнекке £)(s) -тің монін қойсақ, Ф ) = і х joHcJr \ K{ s , t } e а ds j" 1 )d\ J" n( г ) + \ f ( s ) e a ds. Мұнда, _ , j “(T)dr K( x, t ) = \ K( s , t ) e a ds, / x X —J«(rVr f ( x ) = Aea + ] f ( s ) e « ds a белгілеулер енгізсек, онда біз Вольтерраның 2-текті сызықгық ф ) = \ К(х, t)cp{t)dt + f ( x ) теңдеуін аламыз. Осы эдіспен (5) теңдеуін Фредгольмнің 2-текті сызықтық интегралдық теңдеуіне келтіруге болады. §1.2. Интегралдық теқдеуге келтірілген есептер 1. Абель есебі. вертикаль жазыктығында материалдық нүкте өзінің ауырлық күші әсерінен қисық сызық бойымен қозғалады. Берілген f { y ) - t уақыт- та дене алғашқы жылдамдықсыз ординатасы у болтан нүктеден £ осіне жететін қисық сызықты табу керек. Қозғалатын нүктенің жылдамдығының абсолютгі шамасы: v = yj2g(y - rj). Егер a = a(rj) арқылы белгісіз қисықтың ( £ ,//) нүктесіне жүргізілген жана- маның £ осімен жасайтын бұрышын белгілесек, онда drj _ ~di ~ J 2 g ( y - r j ) s m a шамасы жылдамдықгың ij oci бойынша құраушысы болады. Соңғы тең діктен drj dt = J 2 g ( y - r j ) s i n a Мұны 0-ден у -ке дейін интегралдап, эрі = біз Абель теңцеуін аламыз: деп белплесек, онда 9 i p ^ L drj - -< Д ~gf{y\ Ч У - Ч Егер бұл өрнектен (f{y) функциясын анықтасақ, онда іздеген қисық сызықты 1 табу қиын емес. (р{ц\ sin a{rj) теңдігінен 77 = ij/{a) екенін анықтаймыз. Содан кейін n'(^) = ^ l = tga болғандықтан, cU; = ^ Бұл өрнекті инте- d% 6 t g a t g a гралдап, 8 - f ^ ^ d a = ц/ ,(#) екенін анықтаймыз. Сонымен, анықтайтын сызық tga 8, = \j/x{a),rj = у/2{а) параметрлік тендеулерімен беріледі екен. 2. Шектің тербелуі. Ұзындығы і серпімді (2-сурет) шек тыныштық кезінде Ох осіндегі ОА кесіндісімен дэл келсін. Шектің шекаралары О мен А нүкте- лерінде бекітілген. Т шектің керілу күші. Шекке х - 8, болатындай В нүктесінде вертикаль Р күші эсер етсін. Бұл күштің әсерінен ОА шегі ОВхА сынық сызығы түрін қабылдайды. Сонда ВВ] = S шамасын ОВ -мен жэне В А -мен салыстырғанда өте аз шама деп қарастырамыз. Тепе-теңцік заңының шарты бойынша шығатыны: Т sin a + Т sin р - р . 8 -ның өте аз шама екенін ескерсек, олай болса, алдыңғы шарт 8 ■ а 8 s i n s i n / ? « - --- j 8 _|_ j 8 S t - z түрінде жазылады. Бұл соңғы өрнектен 8(<%)= р ^ • V Абсциссасы х-ке тең С нүктесіндегі шектің иілуін у(х) арқылы белгілейік. х < £ болсын. AОСС, жэне AОВВ, үқсастығынан У(х) У y ( x ) = ^ ) = (L ^ P y o < x < i Tl 10 Дол осылай х > £ болса, онда У(х) = — Т* ^ р, £ < х < / . Сонымен у(х) = pG(x,d;), мұнда, G(x,%) = * ( / - £ ) 77 TI 0 < x < £, £ < x < / Грин функциясы деп аталады. Бұл өрнектен G(x,^) = G(^,x) екенін оңай көруге болады. Егер шектің барлық нүктелеріне сызықтық тығыздығы p(d) үзі- ліссіз таралған күш осер етсе, онда шектің иілуі y ( x ) = \ p ( £ ) G ( x tg)dg (6) 0 өрнекпен анықталды. Мына есептерді қарастыралық. а) Шектің иілуі у = / ( х ) болғанда оған осер етуші күштің /?(£) тығыздығын табу керек болсын. Сонда Фредгольмнің 1-текті I G ( x ,g )p (£ ) d £ = f ( x ) 0 тендеуін шешуге келеміз, яғни бұл тендеуден белгісіз /?(£)-ді тапсақ, есеп ше- шілген болады. о) Шекке уақыт өткен сайын өзгеріп түратын абсциссасы d; болатын нүктеде тығыздығы p(d;)smcot болатын күш осер етсін. Бүл күштің осерінен шек қозға- лысқа түседі. Ол y ( x ) = cp{x)s\r\cot периодты тербеліспен қозғалсын. Ол кезде уа- қыттың t мезетте шектің Д£ бөлігіне жоғарыдағы күштен басқа - / ?( £) — = d v = р(%)(р(%)со2 sin cod, инерция күші осер етеді. Сондықтан (6) тендік ср(х) sin cot = J G(x, Z)\p{£) sin cot + ®2/KfM £)sin түрінде жазылады. Міне, бүл өрнектен 11 (p{x) = со2 \K{x,Z)(p{Z)d% + f { x ) , о яғни (p{x) -ке қатысты, Фредгольмнің 2-текті интегралдық тендеуі алынды, мұнда, К ( х , ^ ) = p(x)G(x,J;), f ( x ) = \Gix,%)pi%)d%. о жүктеу/скачать 10,43 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|