Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл


§ 2. Функция. Отображение



Pdf көрінісі
бет10/135
Дата31.10.2022
өлшемі16,21 Mb.
#46579
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   ...   135
Байланысты:
Anti-Demidovich Lyashko I I i dr Tom 1 Vvedenie v matematicheskij analiz proizvodnaja integral 2001 ru T 358s

§ 2. Функция. Отображение
13
а) А = {х : —4 < ж_< 
1
}, В  =
0
< * < 4};
б) А  = {х : х
2
 — х — 2 > 0}, В  = {х : 
6
х — х
2
^ 0};
в) А = {х : sin 
1
гх = 0}, В  = { х : cos ££ = о }. 
.
10
. Определить множества  

В, АГ\ В, А \ В , В \А , А А В , если:
а) А  = {(х, у) : х
2
 + у2 < 1}, В  = {(х, у) : |х| + |у |< 1}; 

,
б) А  = {(х, у) : max(|x|, |у|) ^ 1}, В -  {(х, у) : |х| + |у| < 1};
в) А = {(я, у) : \х\ + |у| < 2}, В = {(я, у) : у/(х -  2
)2
+  - 2
)2
< 2};
г) А = {(х, у) : т/х^+у* < 2}, В  = {(х, у) : т а х (|х + 1|,  + 1|) ^ 2}.
11. Определить множество А х В, если:
а) А = {х : 
- 2
< х
1
}, В = {у : - 3 ^ у < 
1
};
б) А = {х
0
^ х ^
1
}, В = D х Е, где D =
0
^ у ^ 2}, Е  = {z : 
0
^ z ^ 3};
в) А = {х : —оо < х < +оо}, В = {у : sin эту = 0};
г) А = : sin irx = 0}, В = {у : —оо < у < +оо}.
12
. Пусть множество состоит из четырех элементов a, /9, 
7
и 6, a Р ( 3 )  — семейство
всех подмножеств множества , включая и пустое множество. 
'
а) Построить примеры алгебр, единицами которых являются соответственно множества:
{о}, {а, /9}, {
су
, /9, г}, {<у, /9, 
у, 8].
б
) Построить пример кольца, которое содержит в качестве своих элементов множества
{ а , /9, 
7

6
}, {
су
}, {/9}, {
7
}, {
6
}. Будет лн это кольцо алгеброй? 
*•
в) Построить пример полукольца (но не кольца), содержащего множество {
су
, /9,
7
, £}V
13. Показать, что множество всех сегментов, полусегментов и интервалов на числовой 
прямой является полукольцом, но не кольцом.
14. Показать, что семейство всех прямоугольников вида
П = {(х, у) : а < х < Ь, с < у ^ с9}, 
V,
где а, Ь, с и d — действительные числа, причем а < 
6
, с < d, является полукольцом, но не 
кольцом.
15. Какими множествами следует дополнить семейство, рассмотренное в задаче14, чтобы 
оно превратилось в кольцо?
16. Доказать, что:
a) ( A l l В) х D = (А х D) U (В х D); б) А х (В 

D) = (А х В) 

(А х D).
17. Доказать, что:
а) (А \В ) х D = (А х D )\{B х D); 
6
) А х  (B \ D ) = {А х В )\(А х D).
18. Доказать, что
(A 

В) х (D 

Е) 

(А х D) 

(В х D) 

(А х Е) 

(В  
х
Е).
§2. Функция. О тображение
2.1. Ф ункция.
О п ред елен и е. Отображением множества Е в множество F , или функцией, опре­
деленной на Е со значениями в F, называется правило, или закон / , который каждому 
элементу хЕ ставит в соответствие определенный элемент f{ x ) € F .
Элемент хЕ  называют независимым переменным, или аргументом функции / , элемент 
/(х ) € F называют значением функции / , или образом; при этом элемент хЕ  называется 
прообразом элемента f ( x ) F.
Отображение (функцию) обычно обозначают буквой / или символом f : Е
F, указывая 
тем самым, что / отображает множество Е в F. Употребляется также обозначение, х *-►
f( x ) , указывающее, что элементу х соответствует элемент /( х ) . Иногда функцию, удобно 
задавать посредством равенства, в котором содержится закон соответствия. Наприм^Р^ можно 
говорить, что “функция / определена равенством f( x )  = у/х2 + 1, х € fa, 6]”. Если “у” — 
общее наименование элементов множества F, т. е. F = {у}, то отображений 
: Е '—* F 
записывают в виде равенства у = /(х ) и говорят, что это отображение задано явйс
1
.


14
Гл. 1. Введение в анализ
2.2. Образ и прообраз множества при заданном отображении.
Пусть задано отображение f : Е —> F и множество D С Е.
О п ред елен и е 1. Множество элементов из F, каждый из которых является образом 
хотя бы одного элемента из D при отображении f , называется образом множества D и 
обозначается f ( D) .
Очевидно,
f ( D) = { f ( x ) € F : x € D } .
Пусть теперь задано множество С F .
О п ред елен и е 2. Множество элементов х 
6
Е таких, что f ( x)  € У, называется 
прообразом множества Y при отображении f и обозначается / -
1
{У).
Ясно, что
/ - ‘0 0 = { * € £ : / ( * ) € У}.
Если 
у 
€ F, то / _
1
(у) =  
6
Е : 
/ ( х )
=
у }
. Если при каждом 
у
F множество / -
1
(у) состоит 
не более чем из одного элемента хЕ, то / называется взаимно однозначным отображением 
Е в F. Впрочем, можно определить взаимно однозначное отображение / множества Е на F.
О п ред елен и е 3. Отображение / : Е —> F называется:
инъективным (или инъекцией, или взаимно однозначным отображением множества 
Е в F), если (х ф х') =>■ (f (x) ф f (x' )) или если Vy 
6
F уравнение /(х ) = у имеет не более 
одного решения;
сюръективным (или сюръекцией, или отображением множества Е на F), если 
f ( E) = F или если Vy 
6
F уравнение /(а:) = у имеет, по крайней мере, одно решение;
биективным (или биекцией, или взаимно однозначным отображением множества Е 
на F ), если оно инъективно и сюръективно или если Vy 
6
F уравнение /( х ) = у имеет одно 
и только одно решение.
2.3. Суперпозиция отображений. Обратное, параметрическое и неявное 
отображения.
О п ред елен и е 1. Пусть f : Е —* F , a g : F —* G . Поскольку f ( E)  С F , то отображение 
g каждому элементу /(х ) € f ( E ) С F относит определенный элемент g(f (x)) 
6
G.
Таким образом, каждому х G Е посредством правила у о / поставлен в соответствие эле­
мент (у о f ) ( x)  = у(/(х)), у(/(х)) € G. Тем самым определено новое отображение (или новая 
функция), которое назовем композицией отображений, или суперпозицией отображений, или 
сложным отображением.
О п ред елен и е 2. Пусть f : Е —*■
Fбиективное отображение и F = {у}. В силу 
биективности f каждому у £ F соответствует единственный образ х , который обозначим 
через / _
1
(у), и такой, что f ( x)  = у. Таким образом, определено отображение 
/ -1
: F —►
Е , 
которое называется обратным отображению / , или обратной функцией функции f .
Очевидно, отображение / обратное отображению / _1. Поэтому отображения / и 
/ _1 
называют взаимно обратными. Для них справедливы соотношения
/ ( / -
1
(У)) = У Vy € Е; /■ * (/(* )) = * V z e £ .
.
О п ред елен и е 3. Пусть ip : П —►
X , ф : Q —* Y , причем хотя бы одно из этих отобра­
жений, например <р, биективно. Тогда существует обратное отображение
-1
: X —►
П, а 
значит, ф о p ~ l : X —►
Y .
Определенное таким образом отображение называется заданным параметрически с помо- 
щью-отображений 

0
—> X, ф : Q —►У, причем переменное из U называется параметром.
О п ред елен и е 4. Пусть на множестве G = X  х У определено отображение Т : G —* Д , 
г/Зе множество Д содержит нулевой элемент. Предположим, что существуют множества 
Е  С X , В  С У такие, что при каждом фиксированном хЕ уравнение Т (х , у) = 0 име­
ет единственное решение уВ. Тогда на множестве Е можно определить отображение 
/ : Е —>

В , ставящее каждому хЕ в соответствие то значение у £ В , которое при 
указанном х является решением уравнения Т {х, у) =
0
.
Относительно так определенного отображения у = f ( x) , х g Е, уВ, говорят, что оно 
задано неявно посредством уравнения Е (х, у) =
0
.
О п ред елен и е 5. Отображение f : Е —►
F называется продолжением отображения 
у : D —> F , а д сужением отображения f , если Е  О D и f ( x )  = у(х) Vx € D.
Сужение отображения / : Е —►
F на множество D С Е  иногда обозначают символом / |о -




Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   ...   135




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет