Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

§ 3. Действительные числа
21
Аксиомы умножения
У.О. В множестве R определена внутренняя бинарная операция — умножение
1 х Е -* К : (a, i) w а ■ к,
. 
. ‘ *
которая каждой паре элементов а, b € R однозначно ставит в соответствие некоторый 
эле­
мент множества R, называемый их произведением и обозначаемый символом а ■ Ь. При'этом 
выполняются следующие аксиомы:
У.1. (а ■ Ь) • с = а ■ (Ь ■ с) Va, b, с е R (ассоциативный закон).
У.2. В R существует элемент, называемый единицей и обозначаемый символом 1, такой, 
что Va € R справедливо равенство
а • 
1
= а.
У.З. Va € R \{
0
} существует элемент a
-1
€ R, называемый обратным числу а, такой, что
а ■ a
-1
=
1
.
У.4. а ■ Ь = Ь ■ a Va, b € R.
Следовательно, множество ненулевых элементов множества R является мультиплика­
тивной абелевой группой.
Д.
1
. Операция умножения дистрибутивна относительно сложения, т. е.
a-(b + 
c) 
= a- b + a- 
c 
Va, Ь, с 
6
R.
Множество {а, Ь, с, . . . },  удовлетворяющее аксиомам С, У и Д, называется числовым по­
лем. Это же множество без аксиомы У.4 называется телом.
А кси ом ы п о р яд ка
П.
0
. В множестве R задано отношение 
которое вполне упорядочивает R:
П.1. a ^ a Va € R (рефлексивность).
П.2, (а ^ Ъ 
Л 
Ъ ^ а) =*■ (а =
6
) (антисимметричность).
П.З. (а < Ъ 
Л 
Ъ < с) => (а ^ с) (транзитивность).
П.4. Va, Ь € R или a < 
6
, или Ь ^ а, или то и другое.
Следующие две аксиомы связывают отношение порядка и бинарные операции:
ПП.1. Если а, Ь, с € R и а ^ Ь, то а + с ^
6
+ с.
ПП.2. Из 
0
^ а и 
0 ^ 6
следует 
0
^ ab Va, 
6
€ R.
А кси ом а о вер х н ей гр ан и
О п ред елен и е 
2
. Множество А С R называется ограниченным сверху, если существу­
ет элемент М  С R такой, что а ^ М Va € А , при этом число М называется верхней . 
гранью множества А . 
.. г*
О п ред елен и е 3. Верхняя грань М* множества А называется т очной верхней гранью 
множества А , если всякая другая верхняя грань М множества А не меньше числа М *. 
Точная верхняя грань множества А  обозначается символом sup А.
В.О. Всякое ограниченное сверху множество А С R имеет точную верхнюю грань.
3.3. Расширенное множество действительных чисел.
О п ред елен и е. Множество R = RU {—оо, +оо}, состоящее из элементов множества К 
и двух символов —оо и +оо, называется расширенной системой действительных чисел; 
причем выполняются следующие условия:
а) —оо < a < +оо,
а 
а
а — оо = —оо, 
а + оо = +оо, 
-----= - —
= 0
Va £ R;
— 
00
+00
б) если а > 
0
, то а ■ (—оо) = —оо, a • (+оо) = +оо;
в) если а < 0, то а ■ (—оо) = +оо, a • (+оо) = —оо.
Символ —оо +оо называется минус (плюс бесконечностью.

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: