1 7 .
Пусть
/ :
Е —* F, Р — семейство подмножеств множества Е, Q — семейство
подмножеств множества F. Обозначим
f ( P) = {/(Л ) € Q : л € Р),
f ~ l (Q) = { / -
1
(В) € В : В € Q}.
Доказать, что: а) если Q — кольцо, то f ~ l (Q) — также кольцо; б) если Р — кольцо^ то
f ( P) не обязательно является кольцом.
4 а) Поскольку Q кольцо, то из В\ £ Q, В
2
€ Q следует {В\ U В2) G Q, ( B i \ B 2) *£Q.
Тогда, согласно предыдущему примеру,
Г \ В г ) U /- * ( В 2) = Г \ В , и В2) £ /-*();
Г
1
= / "
1
(В
1
\В 2) € Г \ Я ) ,
т. е. f ~ l (Q) — кольцо.
б) Пусть Е = {а, Ъ, с, d), F = {а1, Ь', d'}, f ( a ) = а', f(b) — f ( c ) = ft', /( d ) = d'. Семейство
P = {{a, b, c, d}, {а,
6
}, {c, d),
0
}
является кольцом, однако /({a, b } ) \f( { c , d}) = {в',
6
'} \ {
6
', d'} = {а'} g f ( P) = {{«', Ь»', d'},
{о*, ft'}, {
6
', с'},
0
}, т. е. /(/*) не является кольцом. ►
1 8 . Какая из указанных функций / : [0, 1] —* [
0
, 3]:
а) х I—
►
3sin
б)
1 1
—
►
tg^p;
в) х I-* 3*;
г) х
12
(х - j
) 2
;
д) х
3 -
y
(х - j
-)2
;
е) * *-♦
2
|х +
2
| - 3
инъективна, сюръективна или биективна? Построить графики этих функций.
■4 а) Так как для произвольного у £ [0, 3] уравнение у = 3sin ” имеет единственное
решение х = ^ a r c s in |, принадлежащее сегменту [
0
,
1
], то функция х ь-> 3sin
является
биективной (рис.
11
).
б) Пусть у £ [0,
1
]. Тогда уравнение
У = tg —
(1)
имеет единственное решение х = ^ arctg у, принадлежащее сегменту [
0
,
1
], если у £i{
0
,
1
].
Если же у б]1, 3], то уравнение (
1
) не имеет решений, принадлежащих [
0
, 1]. Следовательно,
уравнение (
1
) для любого у £ [
0
, 3] имеет не более одного решения х £ [
0
,
1
), а поэтому
функция х
tg
инъективна (рис. 12).
§ 2. Функция. Отображение
17
в) Если у € [0, 3], то уравнение у = 3* имеет не более одного решения х € [0, 1]. Именно,
при у € [
1
, 3] решением является х = logЗу, а при
у
€ [0, 1[ — решений нет. Следовательно,
г и З * — инъекция (рис. 13).
г) Из уравнения у = 12 (х -
\ ) 2
, у £ [
0
, 3], находим хх = | -
х
2
= 1 +
причем, если
0
<
у
^
3, то оба к|эрня нринадле^<дт^]
0
_,
1]
, если у
=
0
,
то
корни
совпадаю т
Л = i
2
= j и принадлежат [
0
,
1
]г Сяе^ватедьдо, V у £ [О, 3J уравнени! у
и
1 1
(
ili
i ) 2l
[О,
1
] имеет хотя бы одно решение. ^Поэтому рассматриваемая функцйя сМ?||£НЧ,Р
д)
Пусть
у
€
[
0
, 3]. Уравнение:.у
—
3
^
^ { x l—
1
)
2
имеет решение xx =:^i — i
у ^ 3, принадлеж ащ ее
[о,
у ], и р е ш е н и е
х2
= у + у V9 ~ З у , 0
^
у
^
пр)
[у, l ] . Таким образом, V у £ [
0
, $] существует один или два прообраза, а поэтом;
сюръективна (рис. 15).
' ' '
'
'Г /*Т У Т »
;дерсащее
18
Гл. 1. Введение в анализ
е)
Пусть у е [О, 3]. Тогда уравнение у =
2
|х +
2
| — 3 при у € [1, 3] имеет единственное ре
шение * =
если у € [
0
,
1
[, то это уравнение не имеет решений, принадлежащих сегменту
[О,
1
]. Следовательно, х i-+
2
\х +
2
| — 3 — инъекция (рис. 16). ►
19.
Дана функция /( х )
=
tg x ,
^
найти обратную ей.
4 Покажем, что данная функция является биекцией / :]^р ,
►
К- С этой целью
обозначим х =
2
я- + г, —| < г < j . Тогда V у е К уравнение у = tg х принимает вид
у
г= tg r , г € ] _ f> §[- Отсюда г = arctg у и, пользуясь тем, что х = 2ir + г, находим
х =
2
я + arctg у; причем если у е R, то х € ]
^ [, т. е. биективность функции установлена.
А поскольку каждому у € К соответствует единственное значение х € ]
y
>
~ [, то обратную
функцию / - I : R —►
]
y
’, —■ [ определяет соответствие у i—►
2
тг
arctg х, х е ]
^ [. ►
20
.
Написать явные выражения функций, заданных параметрически:
а) х = a cost, у = а sin t,
0
^ t sj ж;
б) х = а cost, у = а sin t, jr ^ t ^
2
л (а >
0
).
4 а) Поскольку функция t »-+ a cost, t € [
0
, jr], является биекцией [0,
jt
] —♦ [—а, а], то V х
6
[—в, в] из равенства х = a cos t находим единственное значение t = arccos | , принадлежащее
Сегменту [0, »]. Подставив это значение во второе равенство, получим
; a sin ^arccos —^ = a y j
1
— cos
2
^arccos — ^ = a y l
—
^ ,
T. e. у = Va
2
—
t
2, x € [—а, a].
б)
Обозначим ж + г = t. Тогда, если
г
€ [0, »], то
t
€
[
jt
,
2ж], при этом первое равенство
Приводится к виду х = —a
cost
.
Функция г *— —a
cost
является биекцией [
0
, jr] —►
[—a, а], поэтому V х е [—a, а] находим
г =а arccos ( —^) = ж — arccos^ и t =
2
ж — arccos ^ . Подставив найденное значение t во второе
равенство, получим
у = — \ / а
2
— х2, х
6
[-а , о]. ►
2 1
. Написать явное выражение для функции / :
—-J —*■
[4я-, 5я-], заданной неявно,
Посредством равенства
sin х — cos у = О,
* €
Зя- 5я-
Т ’ Т
у € [4я-, 5я’].
(
1
)
4 Для любого фиксированного х е [ ^ ,
имеем sin х = у, q е [-1 , 1]. Поэтому (
1
)
равносильно уравнению cos у = у, которое на сегменте [4я, 5я] имеет единственное решение.
Этим доказано существование функции
/ :
Зя 5я
Т ’ т
[4я, 5я].
Для записи аналогичного выражения функции / преобразуем равенство (1) к виду
sin х — sin ^ — у^ =
0
.
Отсюда
2
sin
х - - + у
cos ■
X + ж - У
=
0
.
2
—
2
Приравняв к нулю каждый множитель, находим два значения у:
У = х — — + 2»я,
n e Z ,
(2)
У = — х + ^ +
2
«я-,
п е г .
•
(3)
В случае (
2
) из условия х е [ ^ , у-] следует у е [(
2
я + \)ж, (
2
« +
2
)ж] и не принадлежит
[4», 5
jt
] V
ii
е г , т. е. у = х — ^ + 2пя не является значением функции / ни при каком п е г .
19
В случае (3) из условия ж €
следует у € [(2» - 2)л, (2« - 1)тг] С [4л, 5л] при « = 3.
При этом значении п из (3) находим явное выражение функции /
§ 2. Функция. Отображение
У — —х +
13л
2
’
5л
Т
.
►
Упражнения для самостоятельной работы
19. Пусть отображение / : К —►
[—
1
,
1
] задано равенством f ( x) = cos ж.
Найти: а) /(0); б) / ( f ) ; в) / ( f ) ; г) / ( f ) ; Д) / ( [ - § , § ]) ; e ) / ( ] - f , f [ ) ;
* ) / ( [ » - I D : з) /( [
0
,
2
»]); и) / _
1
(
0
); * ) / - ( ! ) ; л) Г
1
( # ) ; м) Г
1
( # ) ;
н) / —
Х([ 1> 0]);
о)
Г 1 ([о, # ] ) ;
п)
/ - 1
( [ - # , # ] ) •
20.
Для отображения
/ : [о, f J —
. R,
заданного равенствами
({^ ’ 1)Л/5})-
а) -/(ж) = tg ж;
б) / ( i ) = c tg i,
найти: / ( [ 0 , f ] ) , / (
[о,
f ] ) , / ( [ f , f ]), / " ‘QO, 1]), /" * ([;)=, V ^ ]),
21. Доказать, что если / : Е -*■ F, А
С
Е, В
С
£ , то:
а) Д Л П В)
С
(Д Л ) П f ( B) ) ; б) (Д Л )\Д В )) С Д Л \В ).
22. Пусть f : Е
F, А С F, В С F. Доказать, что если Л С В, то / -
1
(Л) С / Х(В).
23. Доказать, что если / : Е -> В и Л С Е, В С F, то:
а) А С / _
1
(/(>1));
б) / ( / " ‘(В)) = В;
в) /(Л ) П В = /(Л П / - Х(В));
г) (/(Л ) П 5 =
0
) ^ (Л П / " ‘(В) =
0
);
д) (Д Л ) С В) * (Л С / -
1
(Я)).
2 4 . К акая из ф ункций / : [—1, 1] —*• [0, 1]:
а) ж ►
-+ cos
;
б) * i-> — х 2 +
1
;
в) х >-*' |ж|;
г)
х
►-
д) ^
^ 5
е) х н- 2Х~ ‘
инъективна, сюръективна или биективна? Построить графики.
25. Найти биективное сужение функций:
а) Дж) = ж2, ж € К ;
б) f(x ) — sin х, х € М;
в) f( x ) = cosх, х G М;
i
г) /( * ) = sin f , х >
0
;
д) Дж) =
10
*, х € К;
е) f( x ) = х3 + х +
1
, ж € К-
26. Найти функции, обратные данным:
а) /(ж) = sill ж, г б [ - у , - х ] :
б) /(ж) = sin ж, х € [ § , чр] ;
в) Дж) = совж, ж € [2x,3л];
г) Дж) = cos ж, ж € [-7 х , —
6
х];
д) f ( x ) = tg x , ж б ] + § , ^р[;
е) Дж) = ctgж, ж ё ] - ж ,
0
[.
27. Найти явное выражение для функций, заданных параметрически:
а) I =
» = T ^ > ° ^ < < + ° о ; б) ж = ^ ,
- o o < t ^ 0 (а > 0).
28. Найти явное выражение для функции / : [х,
2
ж] —►
[ ^ ,
], заданной неявно
cos ж + sin у =
0
, ж € [л,
2
х], у € [ ^ ,
.
29. Найти явное выражение для функции / : [я-, 2л] —*■ [ f , т р ], заданной неявно
cos ж + sin у =
0
,
ж € [л,
2
л],
У € [ f ,
.
20
§ 3. Действительные числа
3.1. Бинарные отношения и бинарные операции.
О п ред елен и е 1. Бинарным отношением в множестве Е называется всякое под мно
жество В из произведения Е х Е.
О п ред елен и е 2. Бинарное отношение Я называется отношением эквивалентности
в множестве Е, если подмножество Я:
а) рефлексивно: (а, а) € Я Va € Е\
б) симметрично: ((а, ft) € 71) => (( b, а) € 71);
в) транзитивно: ((а, Ь) € 71 А (Ь, с) € Я) =>■ ((а, с) € Я).
Вместо (а, ft) € 'Я часто пишут а ~ ft или а = Ъ.
О п ред елен и е 3. Бинарное отношение П называется отношением порядка в множе
стве Е, если оно:
а) рефлексивно: (a, а) £!1 Va € Е\
б) транзитивно: ((a, ft) € П Л (ft, с) € П) =>■ ((а, с) € П);
в) антисимметрично: ((a, ft) £ П Л (ft, а) € fi)
(а = ft).
При этом говорят, что отношение П упорядочивает 7J. Вместо (a, ft) € П часто пишут
а ^ ft, или о С Ь.
Если Va, b £ Е всегда (a, Ь) € П или (Ь, а) € П, то говорят, что множество Е вполне
упорядочено.
О п ред елен и е 4. Внутренней бинарной операцией на множестве Е называется ото
бражение f : Е х Е —►
Е.
Пусть заданы два множества Е и F.
О п ред елен и е 5. Внешней бинарной операцией на множестве Е называется отобра
жение / : Е х F —> Е.
О п ред елен и е
6
. Множество Е, обладающее внутренней бинарной операцией Т , назы
вается группой, если:
1
) операция ассоциативна: (a Т ft) Т с = a Т (ft Т с) Va, ft, с € Е\
2) имеется нейтральный элемент: Эе € Е такое, что Va € Е справедливо равенство
о Т е = е Т а = а;
3) всякий элемент,имеет симметричный: Va
6
Е 3 а £ Е такое, что а Т а = а Т а = е .
Если, кроме того,
4) операция Т коммутативна, то группа называется коммутативной или абелевой.
Если операция Т есть сложение, то группа называется аддитивной, если Т есть умноже
ние, то группа называется мультипликативной.
3.2. Аксиомы поля действительных чисел.
О п ред елен и е 1. Множество R = {a, Ь, с, . . . } называется полем дейст вит ельны х
(или вещественных) чисел, если для его элементов установлены бинарные отношения и
бинарные операции, подчиненные перечисленным ниже аксиомам.
А кси ом ы сл о ж е н и я
С.О. В множестве R определена внутренняя бинарная операция — сложение
R x R - * l l : ( a , f t ) H a + ft,
которая каждой паре элементов a, Ь £ R однозначно ставит в соответствие некоторый элемент
множества R, называемый их суммой и обозначаемый символом a + ft. При этом выполняются
следующие аксиомы:
С.1. (a + ft) + с = a -f (ft + с) (ассоциативный закон).
С.2. В R существует элемент, называемый нулем и обозначаемый символом 0, такой, что
Va € R
a -f
0
= a.
С.З. Va € R существует такое число ( —a) € R, что выполняется равенство
a + (—a) =
0
.
С.4. Va,
6
е R
a +
6
=
6
+ a.
Таким образом, множество R является аддитивной абелевой группой.
Достарыңызбен бөлісу: |