Гл. 1. Введение в анализ
§ 1. Элементы теории множеств
9
2.
Доказать принцип двойственности:
С (A
U
Я) = СА
П
СВ,
(1)
С (А П В) = С А и С В
щ
(см. равенства (1), п. 1.4).
!
◄ Докажем равенство (
1
) (равенство (
2
) доказывается аналогично).
- ;
Пусть I € С (A U В), тогда, согласно равенству (5) предыдущей задачи, х £ A U В , т. е.
х g А Л х g В. Отсюда х £ СА Л х € СВ, а следовательно, х £ СА П СВ. Таким образом,
С
(A
U
В) С СА
П
СВ.
.
(3)
Предположим теперь, что ж € СА П СВ. Тогда х £ СА Л х € СВ, т. е. х & А Л х 0 В, а
значит, г ^ А и В и х € С (A U В). Отсюда
С (A U В) С С А П СВ.
(4)
Из включений (3) и (4) следует равенство (1). ►
3 . Доказать равенства
А и (А П .
8
) = А П (А и В) = А.
_
(Д)
◄ Пользуясь свойствами 4) и 5) задачи
1
, получаем первое из равенств (1):
Г
A
U
(А П В) - (A
U
А) П (A
U
В) = А П (A
U
В).
Остается доказать,
что А П (A U В) = А. Если х £ А П (A U В), т о ж € А Л ж € Д и В и <
следовательно,
А П (A
U
В) С А.
(2)
Если же х £ А, то х € A
U
В, а значит, х £ А П (A
U
В), т. е.
•
1
>
;
А С А П (A U В).
(3)
Из включений (
2
) и (3) следует второе из равенств (
1
). ►
'■
4 . Доказать равенства:
а) СОА = А; б) C J =
0
; в) С
0
= J .
,
◄ а) Если х £
ССА, то х £ СА, а поэтому х £ А и справедливо включение CCA С А.
Наоборот, если х £ А, то х £ СА, а поэтому х £ ССА и справедливо включение А С ССА.
Из доказанных включений следует равенство а).
.
,
б) Множество C J пустое, так как отрицание х £ C J справедливо для любого х £ 3 .
в) Если х € J , то х ^
0
, а поэтому х £ С
0
и, следовательно, J С С
0
. Поскольку всегда
С
0
С 3 , то из последних двух включений следует равенство в). ►
'
5 . Доказать справедливость включения
(
а
\
в
) с (
a
\
d
) п (
d
\
b
).
◄ Пусть х
£
(А \В ), тогда х £ А Л х
Д. Если при этом x £ D , то х £
(А\Р)
и,
следовательно, х £ (A \D )
U
(D \B ). Если же х € Л , то поскольку х £ В, находим,.что,
х £ (D \B ) , а поэтому х € (А \Л )
U
(D \B ). Таким образом, как при х £ D, так и,при
х £ Z) из условия х £ (А \В ) следует х £ (A \D )
U
(D \B ), что равносильно доказываемому
включению. ►
6
. Определить множества A
U
В, А П В , А \ В , В \ А , А А В , если:
а) А = {х : 0 < х <• 2}, В = {х :
1
^ х ^ 3};
б) А = {х : х
2
— Зх < 0}, В = {х : х
2
— 4х + 3 ^ 0};
в) А = {ж : |ж — 1| < 2}, В = {ж : |х —
1
) + |х — 2| < 3}.
◄ Пользуясь определениями объединения, пересечения, разности и симметрической раз
ности множеств, находим:
a) A
U
В = {ж : (0 < х < 2) V (1 ^ х ^ 3)} = {х : 0 < ж ^ 3};
. ,(. ,
А П В = {х : (0 < х < 2) Л (1 sj х sj 3)} = {х : 1 sj х < 2};
ич
А \ В = {х : (0 < х <
2
) /\ ж & [1, 3]} = {х :
0
< х <
1
};
.; .!■ ,г Г
В \ А = {ж : (1 sj х ^ 3) Л х ^ ]0, 2[} = {х : 2 ^ х sj 3};
А Д В = ( х : ( А \ г ) и ( 3 \ А ) ) = { х : ( 0 < х < 1 ) У ( 2 ^ х < 3 ) } .
10
Гл. 1. Введение в анализ
б) Поскольку х
2
— Зх <
0
для 0 < х < 3 , т о Л = { х : 0 < х < 3}. Неравенство х
2
—4х+3 ^ 0
справедливо для — оо < х ^ 1 и 3
х < +оо. Обозначим
D
= {х : — оо <
х
<
1
),
Е
=
{х
: 3 ^
х
< +оо}, тогда
В
=
D
U
Е.
Используя свойства операций над множествами, находим:
A U В = A U (D U Е) = A U D U Е = {х : (0 < х < 3) V
V (—оо < х < 1) V (3 <
х
< +оо)} = {х : —оо < х < + оо};
А
П
В = А
П
(D
и
Е)
=
( А
П
D)
и
(А
Л
Е)
= {х : (0 < х < 1) V х € 0 } = {х : 0 <
х
^ 1};
А \ В
= Н \( Л
u
£ ) = {
x
:
x
€
j
4
a
(
x
^ ] ) V
x
^
Е)} =
-
{х : (х 6
А
А х 6
D)
V (х €
А
А х €
Е)}
= ( И \Д ) и ( Л \ £ ) = {х : 1 < х < 3};
В \ А = (D U Е ) \ А
= {х : (х €
D
V х € 1?) А х 0 И} =
= {х : (х €
D
А
х £ И)
V
(х
6
£
А
х 0 Л)} =
( 0 \ Л ) U
(
Е \ А )
=
= {х : (—оо < x < 0 ) v ( 3 ^ x < +оо)};
A A B = A A ( D L > E ) = ( A \ ( D
U
Е))
и
((D
и
Е )\ А) =
/
= {х : (1 < х < 3) V (—оо < x ^ 0 ) V ( 3 ^ x < +оо)} =
= {х : (—оо < x ^
0
) v ( l < x < -foo)}.
в) Запишем явное выражение для множества А = {х :
—2
< х —
1
<
2
} = {х : — 1 < х < 3}.
Затем, решая неравенство |х —
1
| + |х —
2
| < 3, находим явное выражение для множества
В
= {х : 0 < х < 3}.
Тогда
A
U
В
= {х : (-1 < х < 3)
V
(0 < х < 3)} = {х : - 1 < х < 3};
А
П
В
= {х : ( - 1 < х <
3)
А
(0
<
х
<
3)}
=
{х
:
0
<
х
<
3};
А \ В
= {х : (—1 < х < 3) А х 0]О, 3[} = {х : — 1 < х ^ 0};
В \ А —
{х : (0 < х < 3) А х $£] — 1, 3[} = 0 ;
А А В =
(
А \ В
) U
( В \ А ) = А \ В
=
{х
:
- 1
<
х
<
0}.
►
Рис. 7
Рис. 9
7 . Имеем А = {(х, у) : |х| + \у\ < £} (рис. 7), В =
{(х,у) : \ / х
2
+ у
2
< £} (рис.
8
), D — {(х, у) : тах{ |х|, |у|} <
6
}
(рис. 9). Показать, что А С В С D .
ч
◄ Пусть (х,у) € А, тогда |х| + |у| <
6
. Отсюда
i / x
2
+ у
2
^ \ J
%2
+
2
|х||у| -f у
2
= |х| + |у| < Ь,
т. е. (х,у) € В, что, в свою очередь, влечет выполнение нера
венства
шах{|х|, |у|} < \ J x
2
+ у
2
<
6
,
х
а следовательно, и включение (х,у) £ D. Таким образом,
А С В С D. ►
Рис. Ю
8
.
Пусть А = {х : 2 ^ х ^ 4}, В - {у :
1
^ у ^ 3}. Изобразить на плоскости хОу
множество точек А х В.
4
Поскольку А х В = {(х,у) : (2 ^ х ^ 4) л (1 ^ у < 3)}, то А х В есть совокупность
точек прямоугольника, ограниченного прямыми х = 2, х = 4, у —
у — Z (рис. 10). ►
и
9 . Показать, что семейство R, замкнутое относительно объединения и разности, является
кольцом.
◄ Пусть А и В — произвольные множества семейства R. Поскольку А П В = А \ ( А \ В ) ,
а А С R, А \ В С R, то А П В С R. Следовательно, семейство R замкнуто относительно
объединения, пересечения и разности, т. е. является кольцом. ►
1 0
. Показать, что семейство R = {«,
0
}, состоящее из непустого множества а и пустого
множества
0
, образует кольцо. Является ли это кольцо алгеброй?
◄ Семейство R содержит своими элементами объединение а и
0
= си и разности а
\0
=
а,
0
\« =
0
. Поэтому R замкнуто относительно объединения и разности, т. е., согласно
предыдущему примеру, является кольцом. А так как элемент « € R содержит все остальные
множества семейства R, то а — единица семейства, a R — алгебра. ►
1 1 . Пусть множество J = {«, /?, у} состоит из трех элементов, a P ( J ) — семейство всех
подмножеств множества J .
а) Записать все алгебры, которые можно построить из элементов множества P(J)> и
указать их единицы.
б) Описать все кольца, которые можно построить из элементов множества P { J ) -
в) Описать все полукольца, которые можно построить из элементов множества Р(S ) и
которые не являются кольцами.
◄ а) Простейшими алгебрами являются: семейство {
0
}, состоящее из одного пустого
множества; три алгебры
{{« },
<
2
,
}, {{З Ь 0 } , {{7},
0),
состоящие из двух элементов с единицами, соответственно равными {«}, {/?}, {
7
} (см. пре
дыдущий пример); шесть алгебр
{{«, /?}, {«}, {/?},
0
}, {{«,
7
}, {а}, {
7
},
0
},
{{/3. 7>, {3}, М ,
0},
0),
0)>
{{3, т},
&
},
единицами которых соответственно являются множества {а,
0
), { « ,
7
}, {/3,7}, {«, /?},
{«,
7
}, {/?,
7
}. Легко видеть, что любое из этих семейств замкнуто относительно объединения
и разности; четыре алгебры
{ J , {«, /3}, {У}, 0 }, { J , {«,
7
}, {3},
0
}, { J , {0,
7
}, {«}> 0}>
0}>
единицей которых является множество J . Наконец, объединение всех перечисленных алгебр
{ J , {«, /*}, {«, 7}, {3, 7}, {«}, {/?}, {7>, 0 )
также является алгеброй с единицей J .
б) Все приведенные в пункте а) алгебры, естественно, являются кольцами. Других колец
нет.
в) Всякое кольцо является полукольцом. Действительно, из условия, что Л и Л; С Л
принадлежат кольцу R, следует, что
А = Ai U А
2
, где А
2
= A\Ai С R-
Кроме того, в нашем случае можно построить примеры полуколец, которые не являются
кольцами. Например, семейства
{{«}, { у } ,
0
}, {{-з}, М ,
0
),
{{« , (3), {
7
},
0],
{{« , 7},{(3},
0},
{{/3,7>, {« }.
0}-
В самом деле, в каждом из шести семейств пересечение любых двух элементов семей
ства принадлежит этому семейству. Далее, каждый непустой элемент семейства имеет в
качестве своего подмножества только само множество, поэтому, например, для семейства
Ш , у}, {«},
0
}, имеем
{/?,
7
} = {/3,
7
} □
0
= {/?,
7
}, {«} = {«} U
0
= {«},
т. е. второе условие определения полукольца выполняется. Полукольцом является любое
семейство, содержащее {«}, {/?}, {
7
},
0
, но не совпадающее с P (J )-
{{«, 3}. {«},{/?}, {
7
},
0
}, {{«, 7}. {«}> {|3}, {7>, 0 } и т . д.
§ 1. Элементы теории множеств
|