8
2) Поскольку высказывание
х € А
V х 6
В равносильно высказыванию
х €
В
V
х с А, то
A \J В = {х £ J : х £ A V х £ В ) = {х £ J \ х £ В У х е А ) = В \J А.
Второе
равенство
доказы вается аналогично.
3)
В
силу свойств логического сим вола V, имеем
A U ( 5 U B ) = { i 6 l7 : i 6 J4 V i e ( f l U £))} = { i e j : i € A V ( r е в V * е D )} =
= {x
€
3 : (x
€
A
V X €
В)
V x € £>}
= {x
€
3 ■
x
e
(-4
U
В)
V
x
€
D} = (A U
B) U
D.
Второе равенство из
3) доказы вается аналогично.
4) Имеем
Л и
(В П
D) - {х
6
3 :
х € А
V
х €
{В
П
£>)} =
= {х € J : х £ А V (х е В Л х € D)} = {х € J : (х € A V х £ В) Л (х € А V х € D)} =
= {* €
J ■
■
(* € Л U
В) А {х €
A U £>)} = (Л U
В) П (Л U
D).
Второе равенство доказывается аналогично.
5) Пусть а; € Л U Л, тогда
х €
А А х €
А, т. е.
х € Л и, тем самым, справедливо включение
Л U Л С Л, Обратное включение
А С A U А непосредственно следует из определения
объединения. Из двух последних включений вытекает равенство
A U
А = Л.
Равенство Л П
А = А доказывается аналогично.
6
)
Предположим, что справедливо равенство
А Л
В = Л. Тогда
(Л П
В = Л) =*• (Л С Л П
В) => (Л С В).
Пользуясь полученным включением,
находим
Л и В = { х € J : i € A V x e 5 } C { x e J : i 6 B V i e B } = 5 .
А поскольку Л U В Э
В , то Л U
В = В.
Таким образом,
(А Л
B = A ) = > ( A U B = B).
(
1
)
Пусть теперь Л U
В — В. Тогда справедливы импликации
(Л U
В = В) => (Л U
В С 5 ) => (Л С 5 ).
Пользуясь включением
А С В, находим
А Л . 8 = { х € 17 : : с € А Л х € В } э { ж € . 7 : : с € А Л х е А } = А .
А поскольку
справедливо и обратное вклю чение А л
В
С
Л,
то
А
Л
В
=
А,
следовательно,
( А и В = Я ) = > ( А л £ = А).
(
2
)
Из (1) и (2) следует
(АС\ В = А) & (A U В = В).
7)
Если
x
€ A U 0 ,
t o x
€ A V
x
€ 0 .
Поскольку
м нож ество 0 не содерж ит
ни
одного
элемента, то
из
х
€
A U
0 следует х €
Л,
т. е.
A U
0
С Л,
что совместно с вклю чением
Л U
0
Э Л
равносильно равенству
Л U
0
= Л.
Далее,
и з 0 С Л Л 0 С 0
непосредственно
следует равенство
Л Л
0
=
0 .
Поскольку
АС. 3
1
т о
А Л 17 = {
х
€
1
7 :
ж
€ А Л
х
€ .7}, Э { х € У : х € Л Л х € Л } = А ,
что совместно с включением Л Л
J С Л влечет равенство Л Л ,7 = А.
Наконец,
непосредственно из вклю чений
J С A l l J С 3
следует равенство A
U
3 = 3 ■
I
8
) Согласно свойству 1),
A U C A C 3 .
(3)
Пусть
х £ 3 , тогда если
х
€ Л, то
х
€ Л U СЛ; если же х 0 Л, то х € СА и снова
х € Л U СЛ. Таким образом, из х €
3 следует х € Л U СЛ, т. е.
7 C A U C A .
(4)
Из (3) и (4) следует равенство
Л U СЛ =
3■
(5)
Для доказательства равенства Л
Л
СЛ =
0
покажем, что множество Л
Л
СЛ не содержит
ни одного элемента. Действительно, согласно равенству (5), любой элемент множества
3
принадлежит Л или СЛ. Если
х
€ Л, то х 0 СЛ и, следовательно, х 0 Л Л СЛ. Если же х €
СЛ, то ж £ А (так как если бы х
6
А, то х £ СЛ), и снова х ^ Л Л СЛ. Поскольку множество
Л Л СЛ не содержит ни одного элемента, то это множество пустое, т. е. Л Л СЛ =
0
. ►
Достарыңызбен бөлісу: