Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл



Pdf көрінісі
бет7/135
Дата31.10.2022
өлшемі16,21 Mb.
#46579
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   135
Байланысты:
Anti-Demidovich Lyashko I I i dr Tom 1 Vvedenie v matematicheskij analiz proizvodnaja integral 2001 ru T 358s

С1 К = П С^ ’ 
с П л" = и с ^ - 
(2)
м
м
 
м
 
и
В этом случае символ дополнения С можно менять местами со знаком U или П, при этом 
знаки эти переходят один в другой.
1.5. А лгебра множеств.
Пусть — некоторое множество, а Р ( 3 )  — система всех подмножеств множества 3 •
О п ред елен и е 1. Непустое семейство R С Р ( 3 ) , замкнутое относительно операций 
объединения, пересечения и разности множеств, называется кольцом множеств.
О п ред елен и е 2. Множество Е называется единицей семейства множеств И, если 
Е  
6
£ и VA € £ справедливо равенство А Л Е — А.
О п ред елен и е 3. Кольцо множеств, содержащее в качестве своего элемента единицу, 
называется алгеброй множеств.
О п ред елен и е 4. Семейство множеств S С Р{ 
содержит пустое множество и если VA € S и VAi С А существуют такие множества 
А
2

А
з

. . . , А пS, что
А = AiА
2
U ... U Ап,
где символ U означает объединение непересекающихся множеств.
1 . Доказать справедливость отношений 
1
)—
8
) пункта 1.3.
•4 
1) По определению 3, п. 1.2,
A U В = {х € 3 :х € A V х е В},
следовательно, из включения х € A U В следует х € У , т . е. A \J В С. 3 ■
Аналогично, по определению 4, п. 1.2,
А Л В = {t 
6
/ : х е А А х б В}, 
поэтому из включения х € А Л В следует включение A n B C j -


8
2) Поскольку высказывание х € А 
V х 6
В  равносильно высказыванию хВ 

х с  А, то
A \J В = {х £ J : х £ A V х £ В ) = {х £ J \ х £ В У х е А ) = В \J А.
Второе равенство 
доказы вается аналогично.
3)
В 
силу свойств логического сим вола V, имеем
A U ( 5 U B ) = { i 6 l7 : i 6 J4 V i e ( f l U £))} = { i e j : i € A V ( r е в V * е D )} =
= {x 

: (x 


V X €
В) 
V x € £>} 
= {x 
€ 
3 ■ 

e 
(-4 
U В) 

x
D} = (A U B) U D.
Второе равенство из 
3) доказы вается аналогично.
4) Имеем
Л и (В  П D) - {х 
6
 3 х € А 

х 
П 
£>)} =
= {х € J : х £ А V (х е В Л х € D)} = {х € J : (х € A V х £ В) Л (х € А V х € D)} =
= {* € J ■

(* € Л U В) А {х € A U £>)} = (Л U В) П (Л U D). 
Второе равенство доказывается аналогично.
5) Пусть а; € Л U Л, тогда х € А А х € А, т. е. х € Л и, тем самым, справедливо включение 
Л U Л С Л, Обратное включение А С A U А  непосредственно следует из определения 
объединения. Из двух последних включений вытекает равенство AА = Л.
Равенство Л П А = А доказывается аналогично.
6
) Предположим, что справедливо равенство А  Л В  = Л. Тогда
(Л П В = Л) =*• (Л С Л П В) => (Л С В).
Пользуясь полученным включением, находим
Л и В = { х € J : i € A V x e 5 } C { x e J : i 6 B V i e B } = 5 .
А поскольку Л U В Э В , то Л U В = В. Таким образом,
(А Л B = A ) = > ( A U B = B). 
(
1
)
Пусть теперь Л U В — В. Тогда справедливы импликации
(Л U В = В) => (Л U В С 5 ) => (Л С 5 ).
Пользуясь включением А С В, находим
А Л . 8 = { х € 17 : : с € А Л х € В } э { ж € . 7 : : с € А Л х е А } = А .
А поскольку 
справедливо и обратное вклю чение А л
В 
С 
Л, 
то 
А 
Л 
В 

А, 
следовательно,
( А и В = Я ) = > ( А л £ = А). 
(
2
)
Из (1) и (2) следует (АС\ В = А) & (A U В = В).
7)
Если 
x
€ A U 0 ,
t o x
€ A V
x
€ 0 .
Поскольку 
м нож ество 0 не содерж ит 
ни 
одного 
элемента, то 
из 
х 

A
0 следует х €
Л, 
т. е. 
A U 
0
С Л, 
что совместно с вклю чением
Л U 
0
Э Л 
равносильно равенству 
Л U 
0
= Л.
Далее, 
и з 0 С Л Л 0 С 0
непосредственно следует равенство 
Л Л 
0
=
0 .
Поскольку АС. 3
1
т о
А Л 17 = {
х

1
7 :
ж
€ А Л
х
€ .7}, Э { х € У : х € Л Л х € Л } = А ,
что совместно с включением Л Л  С Л влечет равенство Л Л ,7 = А.
Наконец, 
непосредственно из вклю чений 
J С A l l J С 3  
следует равенство A 
U 3 = 3 ■

8
) Согласно свойству 1),
A U C A C 3 .
(3)
Пусть х £ 3 ,  тогда если 
х 
€ Л, то 
х 
€ Л U СЛ; если же х 0 Л, то х € СА и снова 
х € Л U СЛ. Таким образом, из х €  следует х € Л U СЛ, т. е.
7 C A U C A .
(4)
Из (3) и (4) следует равенство
Л U СЛ = 3■ 
(5)
Для доказательства равенства Л 
Л 
СЛ =
0
покажем, что множество Л 
Л 
СЛ не содержит 
ни одного элемента. Действительно, согласно равенству (5), любой элемент множества  
принадлежит Л или СЛ. Если 
х 
€ Л, то х 0 СЛ и, следовательно, х 0 Л Л СЛ. Если же х € 
СЛ, то ж £ А (так как если бы х 
6
А, то х £ СЛ), и снова х ^ Л Л СЛ. Поскольку множество 
Л Л СЛ не содержит ни одного элемента, то это множество пустое, т. е. Л Л СЛ =
0
. ►


Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   135




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет