§ 9. Приближенное вычисление определенных интегралов
351
167.
Построить по точкам график функции у
X
/
sin t
~
dt (0 $ х $; 2?г), приняв А х = —.
Уо = 0;
Vi
4тг
X
{ * , =
f ;
г — о , 1 , 2 , :
1Г
2ir
3
X
f
s i n
х ,
/ ---------
dx;
2/2 =
[
J
x
J
0
57Г
0
X
dx;
уз
7Г
/
sin х .
X
У4
/
sin х ,
f
sin х ,
f
—^ —dx;
уь = J —— dx-,
y6 —
- dx.
0
0
0
Задача сводится к приближенному вычислению шести интегралов.
Рассмотрим на отрезке [0, 2т] сетку Сон = {xi = г'-^; г = 0, 1 ,..., 24} ; очевидно, узлы cei>
ки со/, являются узлами сетки Со/,. Вычислять интегралы будем по формуле Симпсона.
2/1
~ g (уо + 2/4 +
Ц У 1
+
уз)
+ 2 у2) =
2,9579
0,9860;
2/2
« - I 2/о
2/з я г
2/4 я -
Уь
« -
+ 2 / 8 + 4
У2к-1 + 2 ^
У2к
ч
k=l
к
= 1
/
6
5
>
2/о + У
12
+ 4 ^
Узк—i + 2
2 /2
fc
* = 1
f c = l
/
8
7
\
Уо + У
1 6
+ 4 ^ у 2^-1 + 2 y ^ i / 2 f c
* = 1
Аг=1
>
10
9
N
Уо + У 2 0 + 4
^
У 2 / С - 1
У 2 к
У С
А;=1
12
* = 1
11
4,9407
______
t
3
5,5570
3
5,1635
3
4,5247
3
4,2568
1,6469;
1,8523;
1,7212;
1,5082;
1,4189.
I 2/о + h i + 4 ^ 2 У
2
к-\ + 2 ^
у2к
\
к=1
к=1
)
При х е]0, т[ у'(х) > 0, а при х е]х, 2х[ у'(х) < 0; у"(х) < 0 при х S ]0, ^ [ . Таким
образом, у(х) в интервале ]0, я] возрастает, а в интервале ]т, ^ -[ убывает; на интервале
]®’ Т"[ ФУНКДИЯ
У(х )
выпукла сверху. График функции изображен на рис. 72. ^
Упражнения для самостоятельной работы
ю
174. Вычислить In 10 = J -j-, используя правило Симпсона при п = Ю. Найти модуль
о
перехода от натуральных логарифмов к десятичным. Сравнить с табличным значением.
Ответы
Глава 1
9. a) A U В — {ж
: —4 < ж < 4}, А П В = {ж : 0 < ж <
1}, А \ В = {ж : — 4 < ж
^
0},
' В\А =
{ж : 1 ^ ж < 4}, А А В = {х : (—4 < ж ^ 0 ) \ / ( 1 ^ ж < 4)}; б) A U В = {х : — 1 < х ^
6}, А П В = {х : 0 < х < 2}, А \ В = {х : - 1 < х < 0}, В \ А = {ж : 2 < х < 6}, А Д В =
{х : (—1 < ж ^ 0) V (2 ^ ж ^ 6)}; в) A U В = А, А П В = В, А \ В = {ж : ж = 2n, n £ Z},
В \ А =
0
, А А В — {ж : ж = 2«, и 6 Z } .
10. а) А и В = В, А п В = А, А \ В =
0 , В \ А = А А В = {(ж, у) : — 1 < ж < 1, у/ l — ж2 < |у| ^ 1 — |ж|}; б) A U В = А, А П
В = В, В \ А = 0, А \ В = А А В = {(ж, у) : - 1 < ж ^ 1, 1 — |ж| < |у| < 1}; в) A U В =
{(ж, у) : ( M + |y |< 2 ) V ((ж - 2)2 + (у - 2)2 < 4) },
А П В = {(ж, у) : 0 < ж < 2, 2 -
л/4ж — ж2 < у < 2 — ж },
А \ В = {(ж, у) : (—2 < ж ^ О, 2 — ж < у < 2 + ж ) \ / ( о < ж < 2 ,
—2 + х < у ^ 2 — л/4ж — ж2) } ,
В \ А = {(ж, у) : (о < ж < 2, 2 — ж < у < 2 + л/4х — ж4 *
) V
(2 < ж < 4, |у — 2| < т/4ж — ж2 j }, Л Д В = ( А\ В) U (В\ А) . 11. а) Множество точек пря
моугольника, ограниченного прямыми ж = —2, ж = 1, у = —3, у = 1, причем стороны,
лежащие на прямых ж = —2, у = —3, не принадлежат множеству А х В.
б) Параллеле
пипед, ограниченный плоскостями ж = 0, ж = 1, у = 0, у = 2, г = 0, г = 3.
в) Прямые,
параллельные оси
Ох
и проходящие через точки (0, п ), где п £ Z. г) Прямые, параллельные
оси
Оу
и проходящие через точки (и, 0), п £ Z. 24. а), б), в) — сюръективные функции;
г) - биективна;
д),
е) - инъективные.
25. а) /1Ьоо,0], / |, 0f+ee[; б) f \ [2n„_„/2 am+r/g ,
п € Z, / | [2llff+ff/
2
l2,lff+
3
ff/
2
j> 11 € z . 27. а) ж = ф а у - у2, 0 ^ у < 2а; б) ж = - ф а у - у 2,
0 < у < 2 а . 28. у = -ж + ^ - 2 9 .у = ж - | . 34. а) (п + 1)! - 1; б) ^ п ( н + l)(6n3 + 9»»2 - 1 ) ;
в) j ^n 2(n + 1 )2(2тг2 + 2n + 1). 37. а) ± 2; б) 0 < ж < +оо.
39. а) 26;
б) ~ ф ;
в)
■
4 0 - а) ^ е г — _ 1 > 1 т г — °;
б) Re г — 2, 1т г = | ;
в) R ez = 2, Im г = 0.
42. а) |г] = 125, argz = - f + 3 arctg j ; 6) |z| = 0,25, argz = 0;
в) |z| = х/гсовД ,
argz = f . 43. - 1 , ' -^ ф. 44. ^2(cos45° + isin 45°), ^ 2 (cos 165° + is in 165°), v^2(cos285° +
г sin 285°). 45. 2(cos + isin $>),
= 30°, 90°, 150°, 210°, 270°, 300°. 46. 2(cosy> + isiny»),
= 0°, 60°, 120°, 180°, 240°, 300°. 47. zi = - 2 + i, z2 = - 3 + i. 48. z, = 2»', z2 = - 1 .
49. z* = ctg
1- =
82. (e, Ve, . .. , ’l/e).
87.
2
6
12 \
- 2 - 6 -1 2 j '
0, n - 1. 55. a), 6), r). 57. а), в), r). 73. 0. 81. (e, e2, . .. , em).
83. (In2, In3, . .. , ln(m + 1)).
84. (3, 4, 6).
85. (2, Ф ) .
86. (e88.
° Л .
91. sup{/} = / ( - 1 ) = - i , inf{/} = /(1 ) = 1.
92. sup{/} = +oo, in f{/} = -o o . 93. sup{/} = 4, in f{/} = 0. 1 0 8 .2 . 109. Щ . 110. f-$/a.
Ш .
Ц 2 . ф ф .
113. V “i « 2 . . . a m.
114.
115.
116.
117. e ^ . 120. i . 121.
122. i . 123. e~l . 124. e " ‘ . 125. i . 126. yfl. 127. I = r 2,
L = 2.
128. / = 0, L = 1 + b2. 129. / = - 2 , L = 1. 130. f = 0, L = e. 131. J = e,
L = e + 1. 132. / = | , L = | . 133. Непрерывна. 134. Непрерывна. 135. Непрерывна.
136. Непрерывна. 137. Непрерывна.
138. Функция терпит устранимый разрыв в точке
ж = 0. 139. Функция терпит разрыв в точках ж = f +1чт, к € Z. 140. Функция терпит разрыв
в точках ж = £ +
ki
г,
к
£ Z. 141. Непрерывна. 142. Функция непрерывна только в точках
ж =
ктг, к
£ Z.” 143. Непрерывна. 144. Непрерывна. 145. Непрерывна. 146. Непрерывна.
147. Непрерывна.
148. Непрерывна справа в точках ж = n, п £ Z.
149. Непрерывна.
150. Непрерывна. 151. Непрерывна. 152. ж = 0 — точка разрыва второго рода. 154. ж =
(27j + 1)7г
,
н £
Z,
— точки устранимого разрыва.
155. ж = ±1 — точки разрыва второ
го рода.
156. ж = j + Д?7г,
к
€ Z — точки устранимого разрыва.
157. ж = j + jfcjr,
к
£ Z, — точки разрыва типа полюса. 158. ж = птг, n £ Z, — точки устранимого разрыва.
159. ж = 0 — точка разрыва второго рода. 160. ж = ~
7r(
2
n+i) > ** ё Z, — точки разрыва второго
рода. 161. Непрерывна. 162. Непрерывна. 163. Непрерывна. 164. Непрерывна. 165. Не-
354
Ответы
прерывна. 166. Непрерывна. 167. х = 3--.— , j = 1, п, г = 1, т, к £ Z, — точки разрыва.
168. * = 0 — точка разрыва. 169. х = 0 —• точка устранимого разрыва. 170. х = 0 — точка
разрыва. 171. Равномерно-непрерывна. 172. Равномерно-непрерывна. 173. Равномерно
непрерывна. 174. Равномерно-непрерывна. 175. Равномерно-непрерывна. 176. Не являет
ся равномерно-непрерывной. 177. Равномерно-непрерывна. 178. Равномерно-непрерывна.
179. Равномерно-непрерывна. 180. Равномерно-непрерывна. 181. Не является равномерно
непрерывной. 182. Не является равномерно-непрерывной. 183. Равномерно-непрерывна.
184. Не является равномерно-непрерывной. 185. Не является равномерно-непрерывной.
1.
- .
2
.
= . 3. —
Г л ава 2
-. 4.
~ е 4 . 5. tgxy/ Е Ж . 12.
■
°
(х2 + у2 + 1)2
(
i
4 - 1 ) 3 •
‘ ( v/ J
+ 2
+ i ) v / v ^ p
2
_ 1
s m - j r c o s i -
' («.*■‘ +
1
)
2
'
20. *“(*>«(*) (l + i + ln * ln (ln * )),« (* ) = ( b * r . 22. ( - 2 « ( * ) e - “aC*),
4n3(x)shii4(x), 5и4(х)сЬи*(х)^и'(х).
24. ((« cos t - sin <)ea t, («sin t + cost)ea t, - p V ( i )
w'(sin t) cost) .
25. {p'(ip) sin p + p(
cos
p(ip)sm
2
3 ip2 —x 2).
27. (2cos(e2a:)e2;c, esin * sin 2s,
(sin2 ж) sin 2ж, — y/(cos2 x) sin 2s). 30. a)
/ n
\
fk(*)f'k(x)
T ,
6) (^f> 2sin x + ^ c o si, 2cosx - xsin x j x.
31. a) (3, 0, 0). 32. a) 1. 33. a) t = 0, x —
произвольное;
6) t = 1, x - ±4. 35. a) i (w2n +
, t # 1;
6) |( w 2 + 1), t = 1.
( l n s i n ( x j / ) + I^ ) s i n I ( s j , ) \
j/i+ ^ '^ ln j/c o sC x j/)
/
36. в) - sin 2(x + гх3)(1 + Згх2) .
39. I
(
t
2-!/)2
\ ( xyy™v™L«
- , ■
и cos ШХ \
4 0 .1 v^Vi+*3
. 4 3 .0 . 44. 2cos2; 2. 48. a) 0; 6)0. 50. f' ( k) — 0, если к £ Ж;
-u sin w x
1
/
!
’
J \
,
’
не существует, если x ф к. 51. а) /'(х ) = < ~ !,inX’
0 £) х ^ я,
54. f' ( x) = — - ^
4 '
I U,
7Г ^ X < +О0.
■
>
\ >
х
х2 ’
ж # 0 : 72. Нет. 73. a) x'nyn+x + х пУп, /'(0 ) = 0. 74. а) ж - ^ ( 1 + t), у = ^ - ( 1 - t ) , z = тг + 4<.
75. а) ж 4-
4- Згг = 6. 81. а) 0; 4£3 4* 1. 82. a) arccos 7Г27л • 83. а)
7
7
тН-М
>
( х 2 — Х + 1 ) л / х 2 + х + 1
б?ж:
б) J % V 4 T * l d*■ 84. б) /'(х ) = ф' f e f j )
^
. 8 7 . , ) d f ( x ) = u ^
J + 2ixdx.
88. а) (0, 1, 2х, ... , кх'!-1)с/х
94_ (Я», f'(x))d*
\v(x) J
v2(*)
■
v
*-1
( 1
+ *)
92. 1 e(4’’V\
*6 2(V)>¥’) + 1
((VJ,
))•
с Ц Ф , V>)
sh(Vi,
(fl)
|/(l)|
• 96. a) 0,275 ... . 100. 3cZx. 107. a) dt2;
5
dt2. 109.3, 116.
119.0.
126. df(0) = f .
127. /'(x ) = (c o s, - s i n , 1 ) ^ .
132. (
134
( ’/,4|y|)(t+3ti )
.
,2\
• Vlwl-V’(l#l)V''(l#l)’
’
)
1
,1-1 Л.Л
2 ( V ( t 2 ) + 2 t ' > ' ( t 2 ) ) ‘
/1 — 1 / ... 1 / 1 » Л . . \
Л
137
( x - 2 ) » + l
( 1 - 3 ) " +
0
178. (
,
«"(*)
\2м '2(х) + 2 и(х)и"(х)
v"(x)
\
2v'2 (х) + 2
у
(
х
)
х
"(
х
) )
181.
1
/ е~‘ (4<3 + ?)
e“ 2t ( | + 8t3) е - 34
5(1+И)2 ^
_ 4<3
! -
Г< — 12r
192
= 1.
197. A =
const. 254. При |x| >
выпукла вниз. 255. При x < 0 выпукла вверх; при х > | выпукла
вниз. 256. На ]0, 1[и]3, +оо[ выпукла вверх; при 1 < х < 3 выпукла вниз. 257. При х > — Л
выпукла вниз. 258. Выпукла вниз при t > — 1. 259. Выпукла вверх. 260. При 0 < t < е-1
Ответы
355
и i > е выпукла
вверх.
261. Выпукла вниз. 262. Выпукла вверх. 264. Слева.от точки
х =
—
1
выпукла
вниз.
265. Перегиба нет. 295.
0.
296.
| .
297. 0. 298.
299.
301. 0 при а = Ь, с. = 0. 302. б ( | - ^ . ) , если а = 9Яп 3. 304. | . 3 0 5 .0 . 3 0 6 .1 . 307.0.
309.
1.
310.
е о.
312.
,
п = 2.
313.
- 2 s h | , и = 0.
314.
О,
п
< 2.
315.
1.
3 1 6 .1 . 318.0. 320.
. 321. е-11. 322.0. 323. ( - 0 , l) . 324. ( “ jp
325.
359. Указание. Функцию / разложить по степеням h. 364. 0.
404.
3>3> Достарыңызбен бөлісу: |