а ) /(* ) = <
COS
X ,
sin х, tgx,
Функция f ( x ) б)
/ 0
е ) tgx, < sill я,
COS
X ,
7Г
,
•
y / 5 — 1
— - ^ x ^ arcsm —-—;
7 ^ x < л-;
arcsm —
5
— ^ x < - ,
jr < ® < —.
27г~периодическая.
- i < i ^ 0 ,
0 < x SC J ,
7Г
7
7>
2
< х ^ - + arccos
5 Я* ^
-- 377
ч/5- l
2 '
тг .
V5 —1
2 + arCCOS —— ^ X <
5тг
4 *
405. Спиралевидная кривая, лежащая на конусе х2 + у2 — z 2 =
0
.
406. Двойная 2jr-
периодическая (по <) кривая, лежащая на параболическом цилиндре у = ^®2
— а. В проекции
на плоскость O Y Z — петлевидная кривая, симметричная относительно оси O Y . 407. От
резок |®| ^ 1. 408. Внутренняя часть ^ квадрата. 409. Внутренняя часть прямоугольника
О ^ х ^ 5, — 3 ^ у 5$ 2 с выброшенным полукругом (i/ х
) 4
+
2/2
^ 1. 410. Плоскость треуголь
ника
с
вершинами М\{ — 1,
0
); Л/г(
0
,
1
); Л/з(
1
,
0
).
Гл ава 3
1. - | ( 1 - 4®) уЛ - 4т. 2. arctg(x + 2). 3. j-arctg (® + j ) . 4.
ln(a2 cos2
x + b2 sin2
x). 5. j ln ( r 2 + 4x + 9). 6. t g f , * # i r + 2 k r. 7.
arctg(x2n) . 8. ± In f £ = f , |x| ф 1
. 9. - f -
x > 0. x Ф — 1. 10. In |tg ( I +
I — ctgx — x, x ф Щ-- 11. tg x + I tg3 x, x Ф j + kir. V1'
12. — sin x + j sin3 x .
13.
14.
17. 2 \ / h x ,
x > 1.
18. ^
-
tg x
+
2 * e *
1+ln 2 ■
3
l 6
* ) + 7“
2
s i n i , x =*£ 0. 16. j i n 3 ®, ® > 0.
f + kw. 19. § - ^
20. |(® 3 + 1)5.
21. j y ^ + r + l) ’"
22. jI n |x
3
-f
|®2
+ Зх + 11.
23. In |x + 1 + л/2 + 2® + x2\. 24‘ [Jf
2
+
2
( l -
52
) + 3 (p- -
32
) + . .. + [x]
•
2 5 - i ( - ^ + W + ( l - i ) A+ . . . + ( l - ^ ) A) . 26. ®ln[®]+ g l n ( l - i ) " . 2 7 . ^ +
\
/
71 = 2
[ v^l
/
\
1
28. - i i n 2 i± ^.
29. i l n 3(l - X2), |*| < 1.
30. -(® 2 + 1)” -
7 1 = 1
'
31.
32. i l n ^ - i
1
4
*
33. i arctg 2 ^ . 34. j arctg
(®3
+ p-)
Г
О c
x
r sgn®. 35. -Г--
x —
если —
oo
< x < 1; x - i - , если -1 < x < 1; ^ ----X + J > если
1
< * < + 00-
36. (—l ) ”(x—u7r)2 + ^ - ( l —(—1)”), где n =
37. j | x —2w7r|(x—2»ir)+mr2 ,.где n = [ ^ ~ ] -
38>
39. i ( , + !)“ - i ( , + l
)22
+ ^r(x + ! ) " . 40. -
5
^
+
« • И>« . « • - ( . ' - T i w > . . 43.
356 О т в ет ы М > - « • * (
i
£ E £ - S
j
^
) , М > . - « . £ ( ; * £ = ? + W K 3 ? ) . ' * ' < • •
46. i( V
«2
-
*2)3
+ » V
«2
-
*2
- a
3
In |
|
, |*| < a. 47. j ^ C i / a
2
- z2)5, |z| < <*•
I. 51. ln(zV z
2
48. e
>+*2
. 49. 2 arcsin £ + § ( * - 2 ) \ / 4 - z 2, |z| s$ 2. 50. In 1+X«*
V ^ + ^ + T ) -
52.
53. з- ^ - ^ - i - a r c t g i .
54. 0 n z -
« > »•
55 (Зж
2
6
) sin ж ~ (ж
3
—
6
ж) cos ж. 56. —ж ctg ж —In | sin ж|. 57. 2ж cos ж Н-(ж — 2)sinx. 58.
4
И - - П ^ - Й К + |1"|‘8||- ««•П^ + Й А + И » М § + т)|- 61. - tg
6
Ж - j tg
4
ж + | tg
2
z + In | cos x | . 62. x arcsin § + -\/4 - z2, |z| < 2. 63.
arcsin r -
, |z| < 1.
64. Ц- arctg z -
+ | ln(l -f z 2) .
65 - ~ “ arctS Й _
2
^
J
2
“ ’ x Ф 0. 66
. - ^ i a r c t g * + f .
67.
arctg ж + |a r c t g z - f
68
. eal
^ + £ - ^ r) •
69. *^p
4
(a cos2
* + 2 sin x cos x +
• 70. — -
—, z > 0. 71. z In
2
z — 2z In z -|- 2z, x > 0. 72
. — Ь
2
* -
2
f - l n z + ^ - , z > 0. 7
3
.
z > 0. 74. z ln (z + V
<*2
+ z
2
)--\/a
2
+ x2 ■ 75. f - ln ( z + лЛ
2
- a2) - ^ ^ -
5
— 1-------v Г
■
76. zc liz - shz.
77.
—1
-------—------ T '
78. (z
3
+ <>z)sliz — (3z
2
+
6
)cliz. 79. x - s/\ - x2 arcsin x. 80.
- 2л/1 - x2) arcsin x — x arcsin
2
x + 2x + V l ~ x 2, \x\ ^ 1
. 81. §=fea , z # -
2
. 82.
- | ) sin z -
cos x'j ex . " б ( х
3
- 1
) 2
_ 3 ( x
3
- l ) + 3 l n I * -
1
I ’
83. z arctg z —hi V T T z 2- | arctg
2
x . 84.
. 85. -
z ф 1
.
86
. —
+
•In
8
( x
4 - ! ) 2
3 2 ( x 4 —1)
1
128
l x
+ 1
-
* Ф ±
1
-
87- ^ ? ln
r-V2
t+\/2
^ l n | f ^ | , ^ 2 , z
2
# 3 .
88
. 2 1 n f ± i - j | ^ . 89. i a r c t g z + i l n ^ - j ^ T ,
z # l . 90. i b | z | - ^ l n ( z
2
+ l) +
55
|l n ( z
2
+ 4 ) -
5
j ^ Jy, z / 0 . 91. \ arctg
- ~ In
,
z
2
Ф 1; 2. 92. z - In |z + 1| - ^ arctg
^
sgnz. 93.
+ *+i
94.
9
х
2 + 10
д
+7
96.
(х+1)(х2+Д+2.) 5
(весь интеграл). 97. 2In|V z + 1 - 1| - ( y j ^ - i
)2
“
x Ф - 1 - 9 5 . ^ . i #
0
, z > - l . 98. | arctg ( |q j|) 2 , x Ф —
2
. 99. 4 0 7 * +
2
-
1
-
2
л
/2
arctg \ J x > -
1
.
100. In * W
0 i 4 t l . Ю
1
.
21n(z + | + V
*2
+ * + l ) . 103. ^
In
3
•
2 * Л+ З х
- arcsin ж------ -— л/1 — ж2, |ж|
1
. 102. 2(x
3
+ 1)-\/ж
2
+ ® 4-1 +
104. (3l+8)v/д2+1 +
-у /х
2
+
2
х +
2
- У
2
(х -|-
1
)
\ /
х
-2-|-2
х
+2-У2(
х
+1)
x-fl
2т/х2+2х+2 '
8
( х +
2
)
| arctg -\/ж
2
-Ь
1
.
106.
5
,
4
= arete V
l2+J:+1
__ !_ jn •у/з(
1
+х+х
2
')-(х+
1
)у/г
Vx
2
+x+i
105. -^= arctg
v^(i—xj
Ve \ / 1—X-
+
107. ^
+
108. | ( 4 ^ + ^ -
3 ) 0 + V х , X > 0.109. - j e t g ( z + f ) - n ctg
3
(®+ f ) . 110. ^ l n [tg ( f + f ) [ + f a r c tg ( s m z -
cosz), sin x ф — cosz. l l l . _ —
In |tg | | +
5%/ v7-
= arctg
\ / 2 c o s t V 7T - t = X Sy/^/s-2 In
y j \ Z 5 ~ + 2 - f \ / 2 c o s t V v ? + 2 - \ A c o s t ?• cos* ^ si,lx -
112-
+ i ^
arcsinT ? ^ -
113- l n | t g ( | + f ) | -
7
^-------
3
- ■ t sin
X Ф 0. 114. In
i n s
3 s m 3
X ’
' sin
3
\ / c o s
4
д + s i n
* x —c o s
2
a;
sin
2 x 5
^ In |4 cos z + 3 sin z |.
1 1 7
.
118.
|- a li(eaar) , x ф 0. 119. | th f - | th
3
f .
1 2 0 - 5 ^ 7 +
^ « c tg (sh z ).
121
. =У=. + Й>* +
1 2 2 . ! | l £ _ *
1
2 3 . e4 li(e2( ^ - 2)) -
. 115. arcsin(sin x — cos x ) . 116. f +
X 2
2
е2и(е2(х-1)); х ф ь 2
124_
+
ф ь Д ф н + i _._t . Л - ! cos2z > 0. 2(ex +1)
/ c o s
2
x
5
^
e4
_
^ + 1 + ^
arctg
T" • 125.
126. ;sln ^ , cos
2
z >
0
.
127. — i arctg -r Cos
x 1 i
v---^ -
4
In
v c o s
2
x
*
/c o s
2 x ) y^cos 2Х+СОЗ x
V co s 2 x —cos s
Ответы 357 128. arctgV cos2r — Vcos2x.
129. ж tg
130. SIP X—X COS X x sin я+cos x *
131.
я Sin дЦ-cos X 132.
X *f
___ , ___
k TCOS*“ Sin X ls ( l - f ) > * # - f + n r , n £ Z . 133. - tg | + In [tg ( f + I ) I •
134.
X х , X > 0 .
________ _____
X X
/
X \
135. — e~x arcsin ex — ln(l + л/ I — e2*) + x, — oo < x < 0. 136. —
2
e
~2
arctg e
2
arctg2 / es J
x - ln(l + e*).
137. j ( |l + i |( l +
x ) + (1 - :r)|l - *|).
138. - | 0
-
X y / x , 0 <
x < 1.
139. _ I E i i n f!±2± ^ ± ^ ± L . 140. In j # + [* P + E b / l + ( l - i ) 2> * > 1. 1 4 1 . ^ - +
n=l
[*]
,
£ й >x >
n = 1
Глава 4
1.136. 2. f . 3. 21£. 4 .1 . 5.85,5. 6.16. 7. f .
8
. f . 9. 4e->. 17. **=?£(/'(*) - /'(a ))'
18. 37,5 • 150,2* - ±(1,3* + 2* + 3* + ... + 150*). 19. ^
+ ± ( £ + £ + • • • + SS*) -
20• bi i25!i,2 •
2 1
. 74^/74,2 —(
л
/ 3 +
л
/4 + ... +y/74) — 2y,/2$. 22
. 0,9
2
+ (l +
57
+ p- +
+ jr)so
. 27. 4 - x. 28. ?r — 3x
2
+ 24*
1 — 5 • 0,22. 23. — .
' IT 24.
8028
25.
8
+ ^ 2 * . 26
уД ■
тгу /2 17 I* 4R
29.
*^^2
^. 30. О, если |a| < 1;
если )a| = 1; —■ если |a| > 1. 31. 4n. 32.
no
JT i In 2
1
Л Л ' Эу/3 +
9
- 6 •
34. — —
216 ■ 35.
(
2
n+l)!
2
ch ^
(n > 2 + l2 )(m 2+ 3 2) ... ( m 2 + ( 2 „ + l ) 2 ) •
36. frln2
37.
l ± T r
i+fc* ;
2
jp
W < “ •
38. ^ J bp ■ 39.
.
40.
1
Г. 41.
1
= 2.
42. 2ln2.
43.
max /(ж) =
' ■'
1—
v
Л 1).
= / ( - j ) - 44. / mi„ = / (
1
) = -± ± ; точки перегиба: (2, - ± ) , (±, ~ ) . 47. 2 + l n ^ j j . 48. При a = e. 59. / <
0
. 60. h > I2. 6 1 .1 . 62. /( 0 ) ln £ .
/
o
n
'
, +
21
n
63- (?lu ? “ Г arctS
l ln
• 64-
l/2 64
231
V 1 + e ^
^
( б 4 - (з2 + 4 х + ^ у / Г = Р ) j ( 1 - b i 2 ) y
65. («i, « 2), где
«1
= ^
(ln
2
2 - | 1
b
2 + | -
+ § arctg 2 - ± - f ,,.p
/2
= (In 4) In j + ± l n |+ ,
|a r c tg 2 -
+ i .
66
. I + ln(l + -y/2) - c
_1
-
67.
70. f(ft - a)(a + 3ft).
2
71
68
.
72.
73.
З у / 3 ~ (2n—3)!
69. f ( v ^ - l ) .
75.
«
2 - 1
2
_____ _____
и.
яС
2
" —З
)!!»*-1
«КП a
2
a
2
»-l ' (
2
n -
2
)!f
(
2
n_
2
)!!(ac_
62
)"T*M
a2 + 62 '
* a2 + b3 *
. 76.
/1
=
/2
= — £ In
2
. 77. Сходится. 78. Расходится. 79. Рас-
a { a 2 + 2 2 ) ( a 2 + 4 3 ) . . . ( a ^ + 4 n 3 ) '
- - - -
j
.
-
2
ходится. 80. Расходится. 81. Сходится. 82. Расходится. 83. Расходится. 84. Сходится
абсолютно при n >
1
; при н
1 расходится.
85. Сходится.
86
. Сходится.
07
In
b—у/62—a2
98.
99.
0
.
103. а) 4;
б) 4.
104. V([t] - t; 0, х) ■\J Ь2—a2
х + [ж],
р ( х ) = [ж], q{х) - X, 0 ^ X ^ 2.
105. 1 + | l n | .
106. <*sh^.
107. a ln ^ i
1 0 8 .6 a . 109. | (
2
+
a. 110. <
0
\/a
2
+
6
2. 111. ж0 + ^ - . U 2 . x
0
+ z0. 113. ж0 +
z0.
114. ^ l n ( l + л/2) + a.
116. f x a 2.
117. xy/2. 118. f ( a
2
+ ft2).
119. |(40
3x)a2.
120.
(4
■ 121. 0,1.
122.
123. aftarcsin^rf.
124. Площадь фигуры,
2
^
~
2
ограниченной одной петлей, равна
125. ^-ln tg ( f + <ро) ■ 126. (ж + l)a 2. 127. fj-.
128.
8
— arctg y j 1 -f- j .
129. 4aft arctg
130.
.
131.
8
xa
3
In ( l —
5
^) —
x ( у + aft(4a + ft)) .
132. 14 =
1
га
3
((2fc
2
-
6
it + 5)t
0
- |(21
-2
- 13It + 15)\/2fc - fc2) .
V
2
=
x
“3
((2 l
2
—
6
к + 5)(x — to) + j ( 2 t
2
— 131 -f-15)\/2к — l 2) , где to = arccos(l — 1'). 133. jr^a3.
134. |x a 3. 135. 2xa
3
^ s i n a - a c o s a -
. 136.
137.
3y/2 . 138. x
2
a3^ . 1 3 9 . ^ .
358 О т в ет ы 140. ^ - V ^ P - 141. 7Г - 142. | f а2у Я . 143.
2 6
_ 2 6
е а — е а + 4
о-
144. i r 3 ctgor((2 +
cos2 Ifi) sin Ip -