а ) /(* ) = < COS  X , sin х,  tgx, Функция f ( x ) б) /

356
О т в ет ы
М > - « • * (
i
£ E £ - S
j
^
) , М > . - « . £ ( ; * £ = ? + W K 3 ? ) . ' * ' < • •
46. i( V
«2
-
*2)3
+ » V
«2
-
*2
- a
3
In |
|
, |*| < a. 
47. j ^ C i / a
2
- z2)5, |z| < <*•
I. 51. ln(zV z
2
48. e
>+*2
. 49. 2 arcsin £ + § ( * - 2 ) \ / 4 - z 2, |z| s$ 2. 50. In 1+X«*
V ^ + ^ + T ) -
52. 
53. з- ^ - ^ - i - a r c t g i .
54. 0 n z -
« > »•
55 (Зж
2
6
) sin ж ~ (ж
3
— 
6
ж) cos ж. 56. —ж ctg ж —In | sin ж|. 57. 2ж cos ж Н-(ж — 2)sinx. 58. 
4
И - - П ^ - Й К + |1"|‘8||- ««•П^ + Й А + И » М § + т)|-
61. - tg
6
Ж - j tg
4
ж + | tg
2
z + In | cos x | . 62. x arcsin § + -\/4 - z2, |z| < 2. 63. 
arcsin r -
, |z| < 1. 
64. Ц- arctg z -
+ | ln(l -f z 2) . 
65 - ~ “ arctS Й _
2
^ 
J
2
“ ’ x Ф 0.
66
. - ^ i a r c t g * + f .
67. 
arctg ж + |a r c t g z - f
68
. eal 
^ + £ - ^ r) •
69. *^p
4
(a 
cos2
* + 2 sin x cos x +
• 70. — -
—, z > 0. 71. z In
2
z — 2z In z -|- 2z, x > 0.
72
. — Ь
2
* -
2
f - l n z + ^ - , z > 0. 7
3
.
z > 0. 74. z ln (z + V
<*2
+ z
2
)--\/a
2
+ x2 ■
75. f - ln ( z + лЛ
2
- a2) - ^ ^ -
5
— 1-------v Г
■
76. zc liz - shz. 
77. 
—1
-------—------ T '
78. (z
3
+ <>z)sliz — (3z
2
+
6
)cliz. 79. x - s/\ - x2 arcsin x. 80. 
- 2л/1 - x2) arcsin x —
x arcsin
2
x + 2x + V l ~ x 2, \x\ ^  
1
. 81. §=fea , z # -
2
. 82. 
- | ) sin z -
cos x'j ex .
" б ( х
3
- 1
) 2
_ 3 ( x
3
- l ) + 3 l n I * -
1
I ’
83. z arctg z —hi V T T z 2- | arctg
2
x . 84. 
. 85. -
z ф 
1
. 
86
. —
+
•In
8
( x
4 - ! ) 2
3 2 ( x 4 —1) 
1
128 
l x
+ 1
-
* Ф ±
1
- 
87- ^ ? ln
r-V2
t+\/2
^ l n | f ^ | , ^ 2 , z
2
# 3 .
88
. 2 1 n f ± i - j | ^ . 89. i a r c t g z + i l n ^ - j ^ T ,
z # l . 90. i b | z | - ^ l n ( z
2
+ l) +
55
|l n ( z
2
+ 4 ) -
5
j ^ Jy, z / 0 . 91. \  arctg 
- ~ In 
, 
z
2
Ф 1; 2. 92. z - In |z + 1| - ^ arctg 
^
sgnz. 93.
+ *+i
94.
9
х
2 + 10
д
+7
96.
(х+1)(х2+Д+2.) 5
(весь интеграл). 97. 2In|V z + 1 - 1| - ( y j ^ - i
)2
“
x Ф
- 1 - 9 5 . ^ .
i #
0
, z > - l . 98. | arctg ( |q j|) 2 , x Ф —
2
. 99. 4 0 7 * +
2
-
1
-
2
л
/2
arctg \
J
x
> -
1
. 
100. In * W
0 i 4 t l . Ю
1
.
21n(z + | + V
*2
+ * + l ) . 103. ^
In
3
• 
2 * Л+ З х
- arcsin ж------ -— л/1 — ж2, |ж| 
1
. 102. 2(x
3
+ 1)-\/ж
2
+ ® 4-1 +
104. (3l+8)v/д2+1 +
-у /х
2
+
2
х +
2
- У
2
(х -|-
1
)
\ /
х
-2-|-2
х
+2-У2(
х
+1)
x-fl
2т/х2+2х+2 '
8
( х +
2
)
| arctg -\/ж
2
-Ь 
1
.
106.
5
, 
4
= arete V
l2+J:+1
__ !_ jn •у/з(
1
+х+х
2
')-(х+
1
)у/г 
Vx
2
+x+i
105. -^= arctg
v^(i—xj 
Ve
\ / 1—X-
+
107. ^
+
108. | ( 4 ^ + ^ -
3 ) 0 + V х , X > 0.109. - j e t g ( z + f ) - n ctg
3
(®+ f ) . 110. ^ l n [tg ( f + f ) [ + f a r c tg ( s m z -
cosz), sin x ф — cosz. l l l . _ —
In |tg | | +
5%/ v7-
= arctg
\ / 2 c o s t
V 7T -
t = X
Sy/^/s-2
In
y j  \ Z 5 ~ + 2 - f \ / 2  c o s t 
V
v
? + 2 - \ A
 c o s t
?• cos* ^ si,lx - 
112- 
+ i ^
arcsinT ? ^ -
113- l n | t g ( | + f ) | -
7
^------- 
3
- ■ t sin 
X 
Ф 0. 114. In
i n s
3 s m 3 
X
’ 
'
sin
3
\ / c o s
4
д + s i n
* x —c o s 
2
a; 
sin 
2 x
5
^ In |4 cos z + 3 sin z |. 
1 1 7
. 
118. 
|- a li(eaar) , x ф 0. 
119. | th f - | th
3
f .
1 2 0 - 5 ^ 7 +
^ « c tg (sh z ). 
121
. =У=. + Й>* +
1 2 2 . ! | l £ _ * 
1
2 3 . e4 li(e2( ^ - 2)) -
. 115. arcsin(sin x — cos x ) . 116. f +
X
2
2
е2и(е2(х-1)); х ф ь  2 
124_ 
+
ф ь Д ф н + i _._t . Л - !
cos2z > 0.
2(ex +1) 
/ c o s
2
x
5
^
e4
_
^ + 1 + ^
arctg
T" • 125.
126. ;sln ^ , cos
2
z > 
0
.
127. — i arctg -r
Cos 
x  
1 i
v---^ -
4
In
v c o s
2
x
*
/c o s
2 x )
y^cos 2Х+СОЗ x 
V co s 2 x —cos s

Ответы
357
128. arctgV cos2r — Vcos2x. 
129. ж tg 
130. SIP X—X COS X
x sin я+cos x *
131.
я Sin дЦ-cos X
132. 
X
*f
___ , ___
k TCOS*“ Sin X
ls ( l - f ) > * # - f + n r , n £ Z .  
133. - tg | + In [tg ( f + I ) I • 
134. 
X х , X
> 0 .
________ _____
X  
X
/
X \
135. — e~x arcsin ex — ln(l + л/ I — e2*) + x, — oo < x < 0. 136. — 
2
e
~2
arctg e
2
arctg2 / es J 
x 
-
ln(l + e*). 
137. j ( |l + i |( l +
x )
+ (1 - :r)|l - *|). 
138. - | 0
-
X y / x ,
0 < 
x
< 1.
139. _ I E i i n f!±2± ^ ± ^ ± L .  140. In j #  + [* P + E b / l + ( l - i ) 2>
* > 1. 1 4 1 . ^ - +
n=l
[*] 
,
£ й >x >
n =
1
Глава 
4
1.136. 2. f . 3. 21£. 4 .1 . 5.85,5. 6.16. 7. f . 
8
. f . 9. 4e->. 17. **=?£(/'(*) - /'(a ))' 
18. 37,5 • 150,2* - ±(1,3* + 2* + 3* + ... + 150*). 19. ^
+ ± ( £ + £ + • • • + SS*) -
20• bi i25!i,2 • 
2 1
. 74^/74,2 —(
л
/ 3 +
л
/4 + ... +y/74) — 2y,/2$. 
22
. 0,9
2
+ (l +
57
+ p- +
+ jr)so
. 27. 4 - x. 28. ?r — 3x
2
+ 24*
1 — 5 • 0,22. 23. — .
' 
IT
24.
8028
25. 
8
+ ^ 2 * . 26
уД ■
тгу
/2 
17 I* 4R
29. 
*^^2
^. 30. О, если |a| < 1; 
если )a| = 1; —■ если |a| > 1. 31. 4n. 32.
no 
JT i In 2 
1
Л Л ' Эу/3 +
9 
- 6 •
34. — —
216 ■
35.
(
2
n+l)!
2
ch ^
(n > 2 + l2 )(m 2+ 3 2) ... ( m 2 + ( 2 „ + l ) 2 ) •
36. frln2
37.
l ± T r
i+fc* ;
2
jp
W < “ • 
38. ^ J bp  ■ 39. 
. 
40. 
1
Г. 41. 
1
= 2. 
42. 2ln2. 
43. 
max /(ж) =
' ■' 
1—
v
Л 1). 
= / ( - j ) - 44. / mi„ = / (
1
) = -± ± ; точки перегиба: (2, - ± ) , (±, ~ ) .
47. 2 + l n ^ j j . 48. При a = e. 59. / < 
0
. 60. h > I2. 6 1 .1 . 62. /( 0 ) ln £ .
/ 
o
n
' 
, +
21
n
63- (?lu ? “ Г arctS 
l ln 
• 64-
l/2
64
231
V  1 + e ^
^
( б 4 - (з2 + 4 х + ^ у / Г = Р )  
j ( 1 - b i 2 ) y
65. («i, « 2), где 
«1
= ^
(ln
2
2 - | 1
b
2 + | -
+ § arctg 2 - ± - f ,,.p
/2
= (In 4) In j + ± l n |+ ,
|a r c tg 2 -
+ i .
66
. I + ln(l + -y/2) - c
_1
-
67.
70. f(ft - a)(a + 3ft).
2
71
68
.
72.
73.
З
у
/ 3 ~
(2n—3)!
69. f ( v ^ - l ) .
75.
«
2 - 1
2
_____ _____
и.
яС
2
" —З
)!!»*-1
«КП a
2
a
2
»-l ' (
2
n -
2
)!f 
(
2
n_
2
)!!(ac_
62
)"T*M
a2 + 62 ' 
* a2 + b3 *
. 76. 
/1
=
/2
= — £ In 
2
. 77. Сходится. 78. Расходится. 79. Рас-
a { a 2 + 2 2 ) ( a 2 + 4 3 ) . . . ( a ^ + 4 n 3 ) '
- - - -
j
. 
- 
2
ходится. 80. Расходится. 81. Сходится. 82. Расходится. 83. Расходится. 84. Сходится 
абсолютно при n > 
1
; при н 
1 расходится. 
85. Сходится. 
86
. Сходится.
07
In
b—у/62—a2
98.
99. 
0
. 
103. а) 4; 
б) 4. 
104. V([t] - t; 0, х)
■\J Ь2—a2
х + [ж], 
р ( х )
= [ж], q{х) - X, 0 ^ X ^ 2. 
105. 1 + | l n | .
106. <*sh^. 
107. a ln ^ i
1 0 8 .6 a . 109. | (
2
+
a. 110. <
0
\/a
2
+
6
2. 111. ж0 + ^ - . U 2 . x
0
+ z0. 113. ж0 +
z0. 
114. ^ l n ( l + л/2) + a. 
116. f x a 2. 
117. xy/2. 
118. f ( a
2
+ ft2). 
119. |(40
3x)a2. 
120. 
(4
■ 
121. 0,1. 
122. 
123. aftarcsin^rf. 
124. Площадь фигуры,
2 
^ 
~ 
2 
ограниченной одной петлей, равна 
125. ^-ln tg ( f + <ро) ■ 126. (ж + l)a 2. 127. fj-.
128. 
8
— arctg y j  1 -f- j . 
129. 4aft arctg 
130. 
. 
131. 
8
xa
3
In ( l — 
5
^) —
x ( у + aft(4a + ft)) . 
132. 14 =
1
га
3
((2fc
2
-
6
it + 5)t
0
- |(21
-2
- 13It + 15)\/2fc - fc2) . 
V
2
=
x
“3
((2 l
2
— 
6
к + 5)(x — to) + j ( 2 t
2
— 131 -f-15)\/2к — l 2) , где to = arccos(l — 1'). 133. jr^a3.
134. |x a 3. 135. 2xa
3
^ s i n a - a c o s a -
. 136. 
137.
3y/2
. 138. x
2
a3^ . 1 3 9 . ^ .

358
О т в ет ы
140. ^ - V ^ P -  141. 7Г - 142. | f а2у Я .  143.
2 6
_ 2 6
е а — е а + 4
о-
144. i r 3 ctgor((2 +
cos2 Ifi) sin Ip -

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: