2 2 .
Доказать, что в множестве R имеются единственные нуль
к
единица.
◄ Предположим, что в множестве R имеется два нуля Oi и
0
2. Тогда, согласно аксиомам
С.
2 и С.4, имеем
Oi = Oi +
02
=
02
+
0
i =
0
2.
Аналогично, если l i и 1
2
единицы в R, то, согласно У.2 и У.4,
li = li •
12
=
12
• li =
1
2. ►
2 3 .
Доказать, что: а) уравнение а
+
х
=
Ь имеет единственное решение
* =
—а
+
5; 6)
уравнение ах =
6
имеет единственное решение х = о-
16
.
◄ а) Число —а +
6
удовлетворяет уравнению а + х =
6
. В самом деле: а
+ (—а +
6
) =
(а + (—а)) +
6
=
0
+ 5 = 5. Других решений нет. Действительно, если х € R — другое решение,
то
—а + 5 = — а + 5,
—а + (а + х) = — а + 5,
( - а + в) + х = - а +
6
,
0
+
1 = 1
= —а + 6.
б) Аналогично число а -15 удовлетворяет уравнению ах = Ь:
а(а-
16
) = (а • а
- 1 )6
=
1
-
6
=
6 -1
=
6
.
Если х g R — какое-либо другое решение уравнения ах =
6
, то
a~l b = a~l b,
аГ 1{ах) — а~1Ь,
(а
-1
а)х = а 1Ь,
1 • * = а -
16
.
х = а -
1
5. ►
2 4 .
Элемент а
€
Е называется регулярным относительно внутренней бинарной операции
Т , если V®, у € Е
(о Т х = а Т у) Л (х Т а = у Т а)
* = у.
Доказать, что всякий элемент с
6
R регулярен относительно сложений, а' всякий Ненуле
вой элемент с £ R регулярен относительно умножения.
24
Гл. 1. Введение в анализ
◄ Докажем, что произвольный элемент с £ R регулярен относительно сложения. В силу
коммутативности сложения (с + а = с + Ь)
(а + с =
6
+ с). Поэтому достаточно показать,
что (с + а = с + Ь) =>■ (а = Ь).
На основании предыдущего примера и ассоциативности сложения имеем
а = — с + (с + Ь) = (—с + с )+
6
= 0 +
6
=
6
.
Аналогично доказывается, что Vc £ R\{0} регулярен относительно умножения. ►
2 5 .
Обозначим Е = {/} — множество функций / : А —►
А, А С
R.
Пусть на этом
множестве определена внутренняя бинарная операция
Е
х
Е
- *
Е
:
(/,
д)
/
о д.
а) Показать, что эта операция ассоциативна.
б) Определить регулярные элементы этой операции.
◄ а) Для доказательства равенства
( / °д)
0
h = f о (д о к)
достаточно показать, что образы любого элемента х € А совпадают. Пусть х € А, и = к(х),
v = g(u). Имеем
( ( / о
9
) о h)(x) = ( / о д)(Цх)) = ( / О д)(и) = f(g(u)) = f(v),
(д о h)(x) = g(h(x)) = д(и) = v,
следовательно, ( / о (д о h))(x) = f ((g о h)(x)) = f(v), т. е. образы элементов х совпадают и
ассоциативность доказана.
б)
Отображение / назовем регулярным слева, если ( f o g = f oh) =>( g = h ) , u регулярным
справа, если (д о / = h о / ) ^ (д = h). Ясно, что отображение регулярно, если оно регулярно
слева и справа.
Покажем сначала,- что отображение / регулярно слева тогда и только тогда, когда оно
инъективно.
В самом деле, если / инъективно и f о д = f о h, то для любого х Е А
(/((*)) = /(М *))) =► ОК*) = Ч *)) =>{9 = h).
Если же / не инъективно, то на множестве А существуют различные числа х н у , образы
которых совпадают: f ( x) = f(y)- Выберем отображения д и к такими, чтобы д{а) = х,
h(a) = у для некоторого а Е А. Поскольку х Ф у, то из f o g = f o h не следует равенство
д = к, т. е. / не будет регулярным слева.
Покажем теперь, что / регулярно справа тогда и только тогда, когда функция / сюръек
тивна.
Если / сюръективно, то Vi £ А существует такое u Е А, что /(« ) = х. Тогда
Х
(д ° f = к о f ) =>
= к(х))
V® Е А.
Если же / не сюръективно, то j o / = ко f для тех отображений д и к , сужения которых
совпадают на множестве f ( A) . Однако отображения д и к могут быть различны, поскольку
могут принимать различные значения на множестве A \ f ( A ) .
Таким образом, для того чтобы отображение / было регулярно, необходимо и достаточно,
чтобы оно было биективным. >■
2 6 .
Множество А С R называется ограниченным снизу, если 3m Е К такое, что Va Е А
выполняется неравенство m ^ а; при этом число m называется нижней гранью. Нижняя
грань т * множества А называется точной нижней гранью множества А, если всякая другая
нижняя грань m множества А не больше т*. Точная нижняя грань множества А обознача
ется символом inf А.
Доказать, что всякое ограниченное снизу множество А имеет точную нижнюю грань,
причем, inf А = — sup{—А], где —А = {—ж}, х Е А.
◄ Согласно условию, З т £ К такое, что х ^ m V® £ А, откуда —х sj — т, т. е. множество
—А ограничено сверху. Согласно аксиоме В.О, 3sup{—А] = М *. Тогда —х ^ М* 'ix £ А,
поэтому —М ' ' < х 'ix Е А, следовательно, —А/* — нижняя грань множества А. Если N
— любая другая нижняя грань множества А А, то —N — верхняя грань множества —А, а
поэтому —N ^ М* = sup{— А}, откуда N sC — М , так что —М* = — sup{—А} является точной
иижией гранью множества А. М
25
§ 3. Действительные числа
2 7 . Доказать теорему Архимеда: если а > 0, а b — произвольное действительное число,,
то существует такое п g Z, что (я —
1
)а ^.Ь, па > Ь.
■4 Докажем сначала, что Эя € Ъ такое, что па > Ь. Для доказательства предположим
обратное, т. е. ka ^ Ъ \/k g Ъ. Тогда множество {fca} ограничено сверху и, согласно аксиоме
В.О, имеет точную верхнюю грань sup{fca} = М * ^
6
. Поскольку число М* — а не является
верхней гранью множества {A:a}, то 3 pa g {to} такое, что М * — а < pa ^ М*. Отсюда
(p + l)a > М *, (р + 1) g Ъ, что противоречит определению числа М *. Источник противоречия.
в предположении, что ka ^ b Vk g Z. Следовательно, существует число fe g Z такое, что
ka > b.
Аналогично доказывается, что Эш g X такое, что т а < Ь. Сегмент [т а , fca], содержащий
точку Ь, делится точками (m +
1
)а, ( т +
2
) а ,. . . , (к —
1
)а на к — т сегментов; одному из них
принадлежит точка Ь. Следовательно, существует n g Z такое, что (п —
1
)а <С
6
< па. ►
2 8 . Доказать, что для произвольно заданного положительного числа е существует такое
натуральное число я, что
1
- < £.
Я
1
■
Достарыңызбен бөлісу: |