Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл


 2 . Доказать, что в множестве R имеются единственные нуль  к



Pdf көрінісі
бет16/135
Дата31.10.2022
өлшемі16,21 Mb.
#46579
1   ...   12   13   14   15   16   17   18   19   ...   135
Байланысты:
Anti-Demidovich Lyashko I I i dr Tom 1 Vvedenie v matematicheskij analiz proizvodnaja integral 2001 ru T 358s

2 2 .
Доказать, что в множестве R имеются единственные нуль 
к 
единица.
◄ Предположим, что в множестве R имеется два нуля Oi и 
0
2. Тогда, согласно аксиомам
С.
2 и С.4, имеем
Oi = Oi +
02
=
02
+
0
i =
0
2.
Аналогично, если l i и 1
2
единицы в R, то, согласно У.2 и У.4,
li = li • 
12
=
12
• li =
1
2. ►
2 3 .
Доказать, что: а) уравнение а
+
х 
=
Ь имеет единственное решение 
* =
—а
+
5; 6) 
уравнение ах = 
6
имеет единственное решение х = о-
16
.
◄ а) Число —а +
6
удовлетворяет уравнению а + х =
6
. В самом деле: а
 
+ (—а +
6
) =
(а + (—а)) +
6
=
0
+ 5 = 5. Других решений нет. Действительно, если х € R — другое решение, 
то
—а + 5 = — а + 5,
—а + (а + х) = — а + 5,
( - а + в) + х = - а  +
6
,
0
+
1 = 1
= —а + 6.
б) Аналогично число а -15 удовлетворяет уравнению ах = Ь: 
а(а-
16
) = (а • а
- 1 )6
=
1

6
=
6 -1
=
6
.
Если х g R — какое-либо другое решение уравнения ах =
6
, то
a~l b = a~l b, 
аГ 1{ах) — а~1Ь, 

-1
а)х = а 1Ь,
1 • * = а -
16

х = а -
1
5. ►
2 4 .
Элемент а 

Е  называется регулярным относительно внутренней бинарной операции 
Т , если V®, у € Е
(о Т х = а Т у) Л  Т а = у Т а) 
* = у.
Доказать, что всякий элемент с 
6
R регулярен относительно сложений, а' всякий Ненуле­
вой элемент с £ R регулярен относительно умножения.


24
Гл. 1. Введение в анализ
◄ Докажем, что произвольный элемент с £ R регулярен относительно сложения. В силу 
коммутативности сложения (с + а = с + Ь) 
(а + с =
6
+ с). Поэтому достаточно показать, 
что (с + а = с + Ь) =>■ (а = Ь).
На основании предыдущего примера и ассоциативности сложения имеем 
а = — с + (с + Ь) = (—с + с )+
6
= 0 +
6
=
6
.
Аналогично доказывается, что Vc £ R\{0} регулярен относительно умножения. ►
2 5 .
Обозначим Е  = {/} — множество функций / : А —►
А, А С 
R. 
Пусть на этом 
множестве определена внутренняя бинарная операция
Е 
х 
Е 
- *
Е 
:
(/, 
д) 
/
о д.
а) Показать, что эта операция ассоциативна.
б) Определить регулярные элементы этой операции.
◄ а) Для доказательства равенства
( / °д) 
0
h = f  о  о к)
достаточно показать, что образы любого элемента хА совпадают. Пусть хА, и = к(х), 
v = g(u). Имеем
( ( / о 
9
) о h)(x) = ( / о д)(Цх)) = ( / О д)(и) = f(g(u)) = f(v),
 о h)(x) = g(h(x)) = д(и) = v,
следовательно, ( / о  о h))(x) = f ((g о h)(x)) = f(v),  т. е. образы элементов х совпадают и 
ассоциативность доказана.
б) 
Отображение / назовем регулярным слева, если ( f o g = f oh) =>( g = h ) , u регулярным 
справа, если  о / = h о / ) ^ (д = h). Ясно, что отображение регулярно, если оно регулярно 
слева и справа.
Покажем сначала,- что отображение / регулярно слева тогда и только тогда, когда оно 
инъективно.
В самом деле, если / инъективно и f о д = f о h, то для любого х Е А
(/(Ч *)) =>{9 = h).
Если же / не инъективно, то на множестве А  существуют различные числа х н у ,  образы 
которых совпадают: f ( x) = f(y)- Выберем отображения д и к  такими, чтобы д{а) = х, 
h(a) = у для некоторого а Е А. Поскольку х Ф у, то из f o g = f o h  не следует равенство 
д = к, т. е. / не будет регулярным слева.
Покажем теперь, что / регулярно справа тогда и только тогда, когда функция / сюръек­
тивна.
Если / сюръективно, то Vi £ А существует такое u Е А, что /(« ) = х. Тогда 
Х 
(д ° f = к о f ) => 
= к(х)) 
Е А.
Если же / не сюръективно, то j o / = ко f  для тех отображений д и к ,  сужения которых 
совпадают на множестве f ( A) .  Однако отображения д и к  могут быть различны, поскольку 
могут принимать различные значения на множестве A \ f ( A ) .
Таким образом, для того чтобы отображение / было регулярно, необходимо и достаточно, 
чтобы оно было биективным. >■
2 6 .
Множество А  С R называется ограниченным снизу, если 3m Е К такое, что Va Е А 
выполняется неравенство m ^ а; при этом число m называется нижней гранью. Нижняя 
грань т * множества А  называется точной нижней гранью множества А, если всякая другая 
нижняя грань m множества А  не больше т*. Точная нижняя грань множества А обознача­
ется символом inf А.
Доказать, что всякое ограниченное снизу множество А  имеет точную нижнюю грань, 
причем, inf А = — sup{—А], где —А = {—ж}, х Е А.
◄ Согласно условию, З т £ К такое, что х ^ m V® £ А, откуда —х sj — т, т. е. множество 
—А  ограничено сверху. Согласно аксиоме В.О, 3sup{—А] = М *. Тогда —х ^ М* 'ix £ А, 
поэтому —М ' ' < х 'ix Е А, следовательно, —А/* — нижняя грань множества А. Если N 
— любая другая нижняя грань множества А А, то —N — верхняя грань множества —А, а 
поэтому —N  ^ М* = sup{— А}, откуда sC — М , так что —М* = — sup{—А} является точной 
иижией гранью множества А. М


25
§ 3. Действительные числа
2 7 . Доказать теорему Архимеда: если а > 0, а bпроизвольное действительное число,, 
то существует такое п g Z, что (я — 
1
^.Ь, па > Ь.
■4 Докажем сначала, что Эя € Ъ такое, что па > Ь. Для доказательства предположим 
обратное, т. е. ka ^ Ъ \/kЪ. Тогда множество {fca} ограничено сверху и, согласно аксиоме 
В.О, имеет точную верхнюю грань sup{fca} = М * ^
6
. Поскольку число М* — а не является 
верхней гранью множества {A:a}, то 3pa g {to} такое, что М * — а < pa ^ М*. Отсюда 
(p + l)a > М *, (р + 1) g Ъ, что противоречит определению числа М *. Источник противоречия. 
в предположении, что ka ^ b Vk g Z. Следовательно, существует число fe g Z такое, что 
ka > b.
Аналогично доказывается, что Эш g X такое, что т а < Ь. Сегмент [т а , fca], содержащий 
точку Ь, делится точками (m +
1
)а, ( т +
2
) а ,. . . ,  — 
1
)а на к — т сегментов; одному из них 
принадлежит точка Ь. Следовательно, существует n g Z такое, что (п — 
1
)а <С 
6
< па. ►
2 8 . Доказать, что для произвольно заданного положительного числа е существует такое
натуральное число я, что
1
- < £.
Я 
1



Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   12   13   14   15   16   17   18   19   ...   135




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет