Қазақстан Республикасы Білім және ғылым Министрлігі Ахмет Байтұрсыноватындағы

ҒЫЛЫМ, БІЛІМ БЕРУ ЖӘНЕ ПРАКТИКАДА АҚПАРАТТЫҚ  ТЕХНОЛОГИЯЛАРДЫҢ  
ДАМУ ЖОЛДАРЫ 
 
 
95
Мы  начинаем  моделирование  движения  объектов  в  пространстве  с  ситуации,  когда 
бомбардировщик, заходя над целью в определённый момент, должен сбросить бомбу на движущийся 
объект, пусть это будет вражеский грузовик. Упрощения, допускаемые при описании математической 
модели:  движение  цели  (вражеский  грузовик)  считается  равномерным  и  в  нулевой  момент  времени 
начинается  из  начала  координат  выбранной  системы  отсчёта;  движение  бомбардировщика  по 
горизонтали равномерное, а по вертикали равноускоренное, причём ускорение направленно вверх и 
начальная  скорость  вниз;  в  некоторый  момент,  который  собственно  и  подлежит  определению, 
самолёт  сбрасывает  бомбу,  которая  падает  под  силой  собственного  веса,  то  есть  с  ускорением 
свободного  падения.  Начальная  горизонтальная  скорость  остаётся  такой  же,  как  и  у  самолёта  в 
момент сброса бомбы. Бомба должна настигнуть цель на земле.  
 
При  сделанных  предположениях  нужно  построить  математическую  модель.  Для  движения 
самолёта имеем следующую систему: 
0
2
0
,
.
2
x
y
x
x
v t
a
y
y
v t
t










 
 
В  некоторый  момент  времени 
drop
T
 происходит  сброс  бомбы,  которая  далее  двигается    с 
ускорением  свободного  падения  и  с  такой  же  горизонтальной  скоростью.  Учитываем,  что  то 
положение,  где  самолёт  находился  в  момент  времени 
drop
t
T

,  становится  начальным  положением 
бомбы. Уравнение движения выглядит следующим образом: 






0
2
2
0
,
,
2
2
x
y
y
x
x
v t
g t T
aT
y
y
v T
v
aT
t T









 





 
 
Эта  система  имеет  место  для  моментов  времени  после  сброса  бомбы,  то  есть  для 
drop
t
T

 
Далее  требуется  вычислить  момент  встречи  бомбы  и  объекта.  Для  этого  зададим  закон 
движения объекта в виде: 
,
0.
x
vt
y





 
Легко найти момент встречи (то есть момент попадания бомбы в цель) с помощью координат 
по оси x. Приравниваем их и получаем выражение для момента взрыва.  
0
,
x
x
v t
vt


 
0
.
meet
x
x
T
v
v


  
Теперь  это  значение  времени  можно  подставить  в  уравнение,  которое  получается,  если 
приравнять соответствующие координаты по оси у. То есть заменить в уравнении 






2
2
0
0
2
2
y
y
g t T
aT
y
v T
v
aT
t T




 



  
значение  t  на 
drop
t
T

.  Полученное  квадратное  уравнение 
относительно Т можно решить и найти время сброса бомбы. Получившееся уравнение имеет вид 


2
0
2
0
0
0
.
2
2
x
y
y
x
x
g
T
v
v
x
aT
y
v T
v
aT
T
v
v













 








                  (1) 
 
Решить  это  уравнение  в  общем  виде    довольно  громоздко  и  мы  предоставим  эту  тяжёлую 
работу компьютеру. Система компьютерной алгебры Maple (Computer Algerbra System) поможет нам в 
этом.  
Постановка задачи о ракете перехватчике. 
       
Движение ракеты противника описывается системой уравнений, также как и движение ракеты-
перехватчика.  Решать  задачу  в  общем  виде  затруднительно,  поэтому  мы  прибегаем  к  помощи 
вычислительных средств компьютерной алгебры.  
       
В  рамках  решения  поставленной  задачи  мы  построим  две  модели  –  первую,  упрощённую 
двумерную  с  одним  стрельбовым    комплексом  (данная  модель  позволяет  понять  суть  метода 
решения  на  более  простом  примере);  вторая  модель  –  трёхмерная,  также  с  одним  стрельбовым 
комплексом.  Каждая  модель  снабжается  графическим  анимированным  решением  так,  что  всё 
решение можно увидеть в режиме реального времени. 
      
Построение двумерной модели ракеты-перехватчика 
       
Как и было сказано выше, решать задачу мы начнём с более лёгкой двумерной модели. Итак, 
требуется описать движение двух объектов – ракеты противника и ракеты-перехватчика. Рассмотрим 
следующий рисунок: (Рис.1) 

ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В НАУКЕ,  
ОБРАЗОВАНИИ И ПРАКТИКЕ 
 
 
96
 
 
 
В момент времени 
1
0
t
t


 ракета противника замечена в точке с координатами 
1
1
( ,
)
x y
, а в 
момент  времени 
2
t
t

 в  точке 
2
2
( ,
)
x y
.  Система  с  ПВО  находится  в  начале  координат,  то  есть  в 
точке  (0,  0).  Как  только  ракета  замечена  в  точке 
2
2
( ,
)
x y
 система  ПРО  должна  рассчитать  в  каком 
направлении  и  в  какое  время  выпустить  ракету-перехватчик,  линейная  скорость  которой  считается 
равной  v.  При  этом  столкновение  с  целью  должно  произойти  на  максимально  большой  высоте. 
Отметим  также,  что  мы  задаём  некоторый  промежуток  времени 

,  необходимый  для  проведения 
расчётов,  подготовки  ракеты  к  запуску  и  т.д. Таким  образом  ракета  не  может  быть  запущена  ранее, 
чем была обнаружена в последний раз плюс время 

. 
 
Приступим к математическому описанию двумерной модели.  
Пусть 
*
*
( ,   )
x
y
 -  координаты  ракеты  противника,  тогда  учитывая,  что  вертикальная  составляющая 
скорости  имеет  ускорение  свободного  падения,  а  скорость  горизонтальной  составляющей 
равномерна,  то  приходим  к  системе  уравнений  для  определения  координат  ракеты  противника  в 
любой  момент  времени  t.  Начало  отсчёта  времени  начинается  с  момента  первого  обнаружения 
ракеты (
1
0
t 
).   
      а)  Общий  вид  равноускоренного  движения  есть 
2
0
0
2
g
y
s
v t
t



,  подставляя  сюда  известные  точки 
1
y
 и 
2
y
 в соответствующие им моменты времени, получаем искомую систему: 
2
1
0
0 1
1
2
2
0
0 2
2
2
2
g
y
s
v t
t
g
y
s
v t
t













   
1
0
2
2
1
0 1
1
2
y
s
g
y
y
v t
t



 





 
Получаем  выражения  для  неизвестных  параметров  движения: 
1
0
y
s

 и 
2
2
1
2
0
2
2
g
y
y
t
v
t



. 
 
Отсюда легко получаем выражение для 
*
y
:                            
2
2
1
2
*
2
1
2
2
2
g
y
y
t
g
y
y
t
t
t





 
б)  Общий  вид  равномерного  движения  есть 
1
1
x
x
v t


,  так  как  при 
0
t 
 
1
x
x

.  Определим 
величину 
1
v
, подставив сюда известную точку 
2
x
 в соответствующий момент времени: 
2
1
2
1
1 2
1
2
 
 
x
x
x
x
v t
v
t





. 
Тогда выражение для 
*
x
 выглядит следующим образом: 
*
2
1
1
2
x
x
x
x
t
t



 
Итак, траектория движения ракеты противника определена системой: 
*
2
1
1
2
2
2
1
2
*
2
1
2
,
2
.
2
x
x
x
x
t
t
g
y
y
t
g
y
y
t
t
t















 

ҒЫЛЫМ, БІЛІМ БЕРУ ЖӘНЕ ПРАКТИКАДА АҚПАРАТТЫҚ  ТЕХНОЛОГИЯЛАРДЫҢ  
ДАМУ ЖОЛДАРЫ 
 
 
97
Решение  квадратного  уравнения 
*
0
y 
подставляем  в 
*
x
 и  получаем  место  на  нашей 
территории,  куда  метился  противник.  Теперь  займёмся  непосредственно  расчётами  ракеты-
перехватчика,  движение  которой  задаётся  координатами 
0
x
 и 
0
y
.  Итак,  пусть  a  –  горизонтальная 
составляющая  скорости  перехватчика. Тогда  вертикальная  составляющая  будет 
2
2
v
a

.  Считая,  что 
запуск ракеты осуществляется не сразу после обнаружения цели, а в некоторый оптимальный момент 
времени 
0
t
, получаем уравнения движения ракеты-перехватчика: 
0
0
0
2
2
0
(
)
(
)
x
a t
t
y
v
a t
t










 
Имея  уравнения  движения  обоих  нужных  нам  объектов,  мы  приступаем  к  решению 
следующей задачи: 
*
0
*
0
max
x
x
y
y
y





 

 
Дополнительно к этим условиям включим условие преждевременного запуска: 
0
2
t
t



. 
       
Расписывая более подробно, имеем для решения следующую задачу: 
 
2
1
0
1
2
2
2
1
2
2
2
2
0
1
2
0
(
)
                                       (1)
2
(
)
      (2)
2
max                                                             (3)
2
                     
x
x
a t
t
x
t
t
g
y
y
t
g
v
a t
t
y
t
t
t
y
t
t















                                       (4)











 
Заметьте,  что  система  имеет  три  неизвестных 
0
t
,  t,  a    -  время  запуска,  время  перехвата, 
горизонтальная составляющая скорости перехватчика. 
       
Разделив почленно (2) на (1), получим: 
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
g
y
y
t
g
y
t
t
v
a
t
x
x
a
x
t
t








 
Решая  данное  квадратное  уравнение  относительно  t,  имеем  весьма  громоздкое  решение  в 
общем виде, которое мы для краткости обозначим 
( ).
t
a


 Теперь мы можем использовать условие 
(3)  для  нахождения  а.  Если  подставить  найденное    t  в  формулу 
0
2
2
0
(
)
y
v
a t
t



,  то  неизвестное 
0
t
 
помешает  определить  а,  однако  формула 
2
2
1
2
*
2
1
2
2
2
g
y
y
t
g
y
y
t
t
t





  
такого  недостатка  лишена.  
Подставляем  выражение 
( )
t
a


 в  эту  формулу  и  полученную  функцию  максимизируем  по  а, 
другими  словами  находим  такое  значение  а,  при  котором 
*
y
 достигает  максимума.  Сразу  же 
отметим, что а не может превосходить по абсолютной величине параметр v.  
Допустим,  такая  задача  решена,  и  мы  нашли  а,  доставляющее  максимум  для 
*
y
.  Затем 
последовательно находим время встречи 
( )
t
a


, а затем и время запуска 
max
0
2
2
y
t
t
v
a
 

.         
Зная значение каждого неизвестного, легко изобразить решение графически. Однако нас ждёт 
одна неприятность, если мы оставим всё как есть. Дело в том, что параметры могут быть подобраны 
таким  образом,  что  время  запуска  окажется  меньше  времени  последнего  обнаружения  ракеты 
противника.  Такую  проблему  можно  решить  следующим  образом.  Если  в  результате  вычислений 
появилось  неравенство 
0
2
t
t



,  то  мы  искусственно  подгоним 
0
t
 к 
2
,
t


 решая  уравнение 
0
2
,
t
t



 что даёт нам 
*
2
2
2
( )
,
y
a
t
v
a






 также относительно а.  

ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В НАУКЕ,  
ОБРАЗОВАНИИ И ПРАКТИКЕ 
 
 
98
Следует  отметить,  что  тот  факт,  что  мы  задали  расположение  системы  ПВО  в  начале 
координат,  не  умоляет  общности  задачи,  так  как  можно  преобразованием  координат  ракеты 
противника добиться рассмотрения любого случая.  Координата нуль по оси ординат у системы ПВО 
отражает естественное расположение противоракетного комплекса на земле.  
         
Задача в трёхмерном пространстве ставится подобным же образом, что и двумерный случай. 
Наши  допущения  относительно  характера  движения  остаются  прежними.  По  сравнению  с 
предыдущей  задачей  введём  незначительное  усложнение  и  зададим  координаты  системы  ПРО, 
учитывая,  что  она  находится  на  земле.  Таким  образом,  координаты  ПРО 
( ,   , 0).
m n
 Время, 
отведённое  для  вычислений  и  подготовки  системы  к  запуску  ракеты,  пусть  будет  равно 

.  Поэтому 
запустить ракету не удастся ранее времени 
2
t
t



.  
Аналогично  двумерному  случаю,  напишем  общее  уравнение  движения  ракеты  противника,  а 
затем найдём все неизвестные коэффициенты: 
*
0
*
0
*
2
0
2
x
y
z
x
x
v t
y
y
v t
g
z
z
v t
t
















  
 
Подставляя  в  эту  систему  сначала  тройку 
1
1
1
( ,   ,  )
x y z
 при 
1
0
t
t


,  а  затем 
2
2
2
( ,   ,  )
x
y z
 при 
2
t
t

, 
после несложных преобразований получаем: 
0
1
x
x

,  
2
1
2
x
x
x
v
t


 
0
1
y
y

,  
2
1
2
y
y
y
v
t


 
0
1
z
z

, 
2
2
1
2
2
/ 2
z
z
z
gt
v
t



 
Исходя  из  найденного,  система,  описывающая  траекторию  движения  ракеты  противника  с 
параметром – временем: 
*
2
1
1
2
*
2
1
1
2
2
*
2
2
1
2
1
2
/ 2
2
x
x
x
x
t
t
y
y
y
y
t
t
z
z
gt
g
z
z
t
t
t






















 
Общий вид уравнения движения ракеты-перехватчика выглядит следующим образом: 
0
0
0
0
0
0
(
)
(
)
(
)
x
m a t
t
y
n b t
t
z
c t t





 






 
В  этой  системе 
0
t
 –  время  запуска  ракеты-перехватчика;  a,  b,  c  –  составляющие  скорости  v 
соответственно  по  оси  абсцисс,  ординат  и  аппликат.  Тогда  имеем  соотношение  между  этими 
значениями 
2
2
2
2
a
b
c
v



.  
После  определения  вида  всех  уравнений,  можем  сформулировать  постановку  задачи  в 
следующем виде  
*
0
*
0
*
0
2
2
2
2
0
2
                  (1)
                  (2)
                   (3)
    (4)
max                (5)
              (6)
x
x
y
y
z
z
a
b
c
v
z
t
t














 





 
         
Разрешить  такое  уравнение  в  общем  виде  невозможно  и  получение  каких-либо  результатов 
таким методом не получится.  
         
Нужно  искать  кардинально  другой  метод  решения  задачи.  Мы  попытаемся  заранее  задать 
один  из  параметров,  тогда  получаемая  система  будет  содержать  на  одно  неизвестное  меньше  и, 
следовательно,  полностью  разрешима.  Найденное  значение  t  позволяет  вычислять  высоту 

жүктеу/скачать 39,72 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: