Четные и нечетные функции

 
Педагогикалы
қ ізденіс № 4 2014 ж. 
Педагогический поиск №4 2014 г. 
64 
 
Утверждение 
Объединение  и  пересечение  двух  множеств,  симметричных  относительно  нуля, 
является множеством, симметричным относительно нуля. 
Доказательство. 
Пусть 
B
A
x


,  тогда 
A
x

  или 
B
x

.  Так  как  данные  множества 
A
  и 
B
  -
являются симметричными относительно нуля, то 
A
x


 или 
B
x


, то есть 
B
A
x



. 
Так  как  множество 
B
A

  вместе  с  каждым  x   содержит 
x

,  то  множество 
B
A

 
является симметричным относительно нуля. 
Пусть 
B
A
x


, тогда 
A
x

 и 
B
x

. Так как данные множества 
A
 и 
B
 -являются 
симметричными относительно нуля, то 
A
x


 и 
B
x


, то есть 
B
A
x



. 
Так  как  множество 
B
A

  вместе  с  каждым  x   содержит 
x

,  то  множество 
B
A

 
является симметричным относительно нуля. 
Определение № 1: Функция 
 
x
f
y

 называется четной, если для любого значения 
аргумента из ее области определения выполняется условие 
 
 
x
f
x
f


. 
Следствие  №  1.  Очевидно,  что  область  определения  четной  функции  является 
множеством  симметричным  относительно  нуля,  то  есть  для  того  чтобы  функция  была 
четной  необходимо,  чтобы  ее  область  определения  была  симметричной  относительно 
нуля. 
Следствие № 2. График любой четной функции имеет осью симметрии ось ординат, 
так  как  вместе  с  каждой  точкой  М
 
y
x;
,  принадлежащей  графику  функции 
 
x
f
y

, 
графику этой функции принадлежит и точка 


y
x
M
;


. 
Определение №2: Функция 
 
x
f
y

 называется нечетной, если для любого 
значения аргумента из ее области определения выполняется условие 
 
 
x
f
x
f



. 
Следствие  №  1.  Очевидно,  что  область  определения  нечетной  функции  является 
множеством  симметричным  относительно  нуля,  то  есть  для  того  чтобы  функция  была 
нечетной  необходимо,  чтобы  ее  область  определения  была  симметричной  относительно 
нуля. 
Следствие  №  2.  График  любой  четной  функции  имеет  центром  симметрии  ось 
начало  координат,  так  как  вместе  с  каждой  точкой  М
 
y
x;
,  принадлежащей  графику 
функции 
 
x
f
y

, графику этой функции принадлежит и точка 


y
x
M



;
. 
Следствие № 3. Если в область определения нечетной функции входит число 0, то 
это  число  является  нулем  этой  функции.  При  исследовании  функции  на  нечетность 
удобнее применять следствие № 4. 
Следствие № 4. Функция 
 
x
f
y

 называется нечетной, если для любого значения 
аргумента из ее области определения выполняется условие 
   
0



x
f
x
f
. 
Замечание.  Введенные  определения  четной  и  нечетной  функции  верны  при 
следующей договоренности: 
0
0
0




. 
Определение  №  3.  Если  функция 
 
x
f
y

  определена  на  множестве, 
симметричным относительно начало координат, и не является четной и нечетной, то такая 
функция называется ни четной и ни нечетной. 
Критерий ни четности ни нечетности функции. 
Функция 
 
x
f
y

  является  ни  четной  ни  нечетной  тогда  и  только  тогда,  когда  ее 
можно представить в виде суммы функций четной и нечетной функций 
Доказательство теоремы тривиально, поэтому не будем его приводить. 
Определение  №  4.  Пусть  функция 
 
x
f
y

  определена  на  множестве 
 
f
D
,  а 
функция 
 
x
g
y

  определена  на  множестве 
 
g
D
,  тогда  суммой  (алгебраической), 
произведением  и  частным  этих  функций  называется  функции,  определенные  на 

 
Педагогикалы
қ ізденіс № 4 2014 ж. 
Педагогический поиск №4 2014 г. 
65 
 
множестве 
 
 
g
D
f
D

,  каждое  значение  которых  находится  по  правилу 
   
x
g
x
f

, 
   
x
g
x
f

, 
  
x
fg
 и 
 
 
x
g
x
f
 соответственно. Сумма, произведение и частное двух функций 
обозначаются 

 
x
g
f

, 
  
x
fg
, 
 
x
g
f






. 
Классификация функций по четности и нечетности 
  Ныне действующий учебник предлагает все функции делит на три класса, а именно 
четные,  нечетные  и  функции  общего  вида.  Нет  никаких  возражений  против  такой 
классификации,  но  тогда  к  функциям  общего  вида  следует  отнести  и  ни  четные  ни 
нечетные  функции,  и  функции,  область  определения  которых  не  симметрична 
относительно начала координат, поэтому разумнее следующая классификация 
Все функции делятся на два класса по области определения: 
а)  функции,  область  определения  которых  не  симметрична  относительно  начала 
координат,  естественно  о  четности  или  нечетности  таких  функций  не  имеет  смысла 
говорить (примерами таких функций могут быть функции 
x
y

, 
x
y
2

и т.д.); 
б)  функции  область,  определения  которых  симметрична  относительно  начало 
координат.  Функции,  область  определения  которых  симметрична  относительно  нуля, 
делятся  на  четыре  класса:  четные  функции,  нечетные  функции;  ни  четные  и  нечетные 
функции, четные и нечетные функции. 
Некоторые полезные теоремы. 
  Ниже  изложенные  утверждения  являются  тривиальными,  что  не  умаляет  их 
актуальности при исследовании функций на четность или нечетность. 
Теорема № 1.  Сумма (алгебраическая) функций одной четности  – функция той же 
четности. 
Теорема  №  2.  Произведение  двух  функций  одной  четности  –  четная  функция,  а 
разной четности нечетная функция. 
Обобщение теоремы № 2. 
Произведение  четного  числа  функций  любой  четности  –  четная  функция, 
произведение  нечетного  числа  нечетных  функций  –  нечетная  функция,  произведение 
любого числа четных функций – четная функция. 
Теорема № 3. Функция 
 


x
g
f
, где 
 
x
g
- четная функция, - четная функция. 
Доказательство теорем № 1 – 3 не приводится ввиду их простоты. 
Контрольные вопросы: 
1.  Может  ли  функция  быть  четной  или  нечетной,  если  ее  область  определения 
множество: 
а) 
N
; б) 
 
0 ; в) 


2
,
1
,
1
,
2


; г) 


2
;
2

; д) 


3
;
2

; е) 
Z
? 
Ответ:  а)  нет;  б)  может  быть  и  четной  и  нечетной;  в)  может  быть  четной  и 
нечетной; г) нет; д) нет; е) может.. 
2. Известно, что 
 
 
x
f
x
f


. Верно ли, что 
 
x
f
  -  четная  функция?  Ответ:  нет, 
смотри рисунок 
3. Может ли график нечетной функции пересекать ось ординат в точке, отличной от 
точки 
 
0
;
0
О
? Ответ: нет. 
4. Какой является в смысле четности функция 
 
 
x
f
? Ответ: четной. 
2. Периодические функции 
Рассмотрим определение периодической функции, приведенное в нашем учебнике. 
Определение № 1. Если найдется такое число 
0

T
, что для любого  x  из области 
определения  функции 
 
x
f
y

  выполняется  равенство 


 
x
f
T
x
f


,  то  функция 
называется периодической, число 
0

T
 называется ее периодом функции.  

 
Педагогикалы
қ ізденіс № 4 2014 ж. 
Педагогический поиск №4 2014 г. 
66 
 
Определение  требует  небольшого  уточнения,  так  как  по  данному  определению 
следует,  что  функция,  например,  функция 
 
2
sin
x
y

-  периодическая,  а  на  самом  деле 
это не так.  
Определение  №  2.  Функция 
 
x
f
y

  называется  периодической,  если  найдется 
такое  число 
0

T
,  что  для  любого  x   из  области  определения  функции 
 
x
f
y

 
выполняется  равенство 


 


T
x
f
x
f
T
x
f




,  число 
0

T
  называется  ее  периодом 
функции. 
Следствие  №  1.  Область  определения  периодической  функции  не  ограничена,  то 
есть  содержит  как  сколь  угодно  большие  по  модулю,  так  как  вместе  с  каждым  x   из 
области определения этой функции ее области определения принадлежат и числа 
nT
x

, 
где 
N
n

. 
Следствие  №  2.  Если 
 
x
f
y

  -  периодическая  функция,  а  число 
a   принадлежит 
области значений данной функции, то уравнение 
 
a
x
f

 имеет бесконечное множество 
решений. 
Следствие  №  3.  Если  число 
0

T
  является  периодом  периодической  функции 
 
x
f
y

, то любое число вида 
kT
, где 
 
0
/
Z
k

, - тоже является периодом этой функции. 
Следствие  №  4.  Если 
 
x
f
y

  -  периодическая  функция,  то  функция 
 


x
f
g
y

 
тоже является периодической. 
Следствие № 5. Любая периодическая функция не может быть монотонной на всей 
области определения. 
Следствие  №  6.  Если 
 
x
f
y

  -  периодическая  функция,  а 
0

T
  -  ее  период,  то 
функция 
 
kx
f
y

 - тоже периодическая, а 
k
T
 ее период (здесь 
0

k
). 
Следствие № 7. Если периодическая функция 
 
x
f
y

 с периодом 
0

T
ограничена 
на  некотором  отрезке 


 
f
D
T
a
a


;
,  то  эта  функция  ограничена  на  всей  своей 
области определения. 
Определение  №  3.  Наименьшее  положительное  число 
T
называется  наименьшим 
положительным периодом функции, если для любого  x  из области определения функции 
 
x
f
y

 выполняется равенство 


 


T
x
f
x
f
T
x
f




. 
Контрольные вопросы: 
1. Всегда ли периодическая функция имеет наименьший положительный период? 
Ответ: нет, функция 
C
y

, где 
R
C

, является периодической, ее период – любое 
число, поэтому указать наименьший положительный период нельзя. 
2.  Верно  ли,  что  сумма  двух  периодических  функций  является  периодической 
функцией?  Ответ:  нет,  например  функция 
 
x
x
y


cos
  -  непериодическая,  хотя 
функции 
x
y
cos

 и 
 
x
y

 являются периодическими. 
Замечание. Доказывать непериодичность функции гораздо сложнее, чем доказать ее 
периодичность.  Попробуйте  самостоятельно  доказать  непериодичность  функции 
 
x
x
y


cos
. 
3.  Может  ли  сумма  периодической  и  непериодической  функций  быть 
периодической? 
Ответ:  может.  Например,  функция 
 
 
x
x
f


2
  -  периодическая  (ее  периодом 
является  любое  целое  число),  функция 
 
 
x
x
x
g


cos
  -  непериодическая,  но  функция 

 
x
x
g
f
cos
2



 - периодическая. 
4.  Существует  ли  функция,  для  которой  любое  рациональной  число,  отличное  от 
нуля, является периодом, а любое иррациональное число не является периодом. 

 
Педагогикалы
қ ізденіс № 4 2014 ж. 
Педагогический поиск №4 2014 г. 
67 
 
Ответ:  да,  например  функция  Дирихле.  В  самом  деле, 
 






.
,
0
,
,
1
I
x
если
Q
x
если
x
D
. 
Очевидно, что область определения функции Дирихле – вся числовая прямая. Пусть 
0

T
 
-  произвольное  рациональное  число.  Выберем  произвольное  значение  аргумента  x   из 
области  определения  функции 
 
x
D
y

,  тогда  возможны  варианты 
Q
x

  или 
I
x

. 
Пусть 
Q
x

, 
тогда 
T
x

 
и 
T
x

 
тоже 
рациональные 
числа 
и 




 
1





x
D
T
x
D
Y
x
D
. Если 
I
x

, то 
T
x

 и 
T
x

- тоже иррациональные числа, 
тогда 




 
0





x
D
T
x
D
Y
x
D
. 
5. Верно ли, что сумма двух непериодических функций – непериодическая функция? 
Ответ:  нет,  в  самом  деле,  функции 
 
x
x
x
f
2
sin


  и 
 
x
x
x
g
2
cos


  не  являются 
периодическими, а функция 

 
x
x
x
g
f
sin
cos



 является периодической. 
3. Промежутки возрастания и убывания функции 
Ниже приведенные определения промежутков монотонности функции взяты из ныне 
действующего учебника 
Определение  №  1.  Если  на  множестве 
 
f
D
X

  для  любых 
1
x   и 
2
x   из  этого 
множества  из  неравенства 
2
1
x
x

  следует,  что 
 
 
2
1
x
f
x
f

,  то  функция  называется 
возрастающей на этом множестве. 
Определение  №  2.  Если  на  множестве 
 
f
D
X

  для  любых 
1
x   и 
2
x   из  этого 
множества  из  неравенства 
2
1
x
x

  следует,  что 
 
 
2
1
x
f
x
f

,  то  функция  называется 
убывающей на этом множестве. 
Определение  №  3.  Если  на  множестве 
 
f
D
X

  для  любых 
1
x   и 
2
x   из  этого 
множества  из  неравенства 
2
1
x
x

  следует,  что 
 
 
2
1
x
f
x
f

,  то  функция  называется 
неубывающей на этом множестве. 
Определение  №  4.  Если  на  множестве 
 
f
D
X

  для  любых 
1
x   и 
2
x   из  этого 
множества  из  неравенства 
2
1
x
x

  следует,  что 
 
 
2
1
x
f
x
f

,  то  функция  называется 
невозрастающей на этом множестве. 
Определение № 5. Числовые промежутки, на которых функция возрастает, убывает, 
не возрастает или не убывает, называются промежутками монотонности. 
Определение  №  6.  Если  промежуток  монотонности  функции  совпадает  с  ее 
областью определения, то такая функция называется монотонной. 
Приведем  необычный  пример  монотонной  функции,  это  функция  знаков  или 
функция 











.
0
,
1
,
0
,
0
,
0
,
1
sgn
x
если
x
если
x
если
x
y
  является  монотонно  неубывающей  на  всей  числовой 
прямой. 
Все эти определения были нами воспроизведены затем, чтобы провести правильную 
классификацию функций в смысле монотонности. 
Классификаций функций по монотонности. 
В смысле монотонности следует различить следующие функции: 
а)  немонотонные  функции,  примером  такой  функции  может  служить  функция 
Дирихле; 
б)  монотонные  функции,  примером  такой  функции  может  служить  показательная 
функция, которая в области своего определения не меняет наименования монотонности; 
в)  кусочно-монотонные  функции,  примером  такой  функции  служит  квадратичная 
функция, которая в области определения и возрастает и убывает. 

 
Педагогикалы
қ ізденіс № 4 2014 ж. 
Педагогический поиск №4 2014 г. 
68 
 
При  исследовании  функций  на  монотонность  полезно  знать  несколько  простых 
теорем. 
Теорема  №  1.  Если  функция 
 
x
f
y

  возрастает  (убывает)  на  промежутке 
 
f
D
X

, то функция 
 
x
f
y


 убывает (возрастает) на этом промежутке. 
Доказательство.  Так  как  по  условию  теоремы  функция 
 
x
f
y

  возрастает  на 
промежутке 
 
x
f
y

,  то 
X
x


1
  и 
X
x


2
  из  неравенства 
2
1
x
x

  следует,  что 
)
(
)
(
2
1
x
f
x
f

.  Применяя  к  последнему  неравенству  теоремы  о  числовых  неравенствах, 
получим, что 
)
(
)
(
2
1
x
f
x
f



. Таким образом, мы получили, что 
X
x


1
 и 
X
x


2
 из 
неравенства 
2
1
x
x

 следует, что 
)
(
)
(
2
1
x
f
x
f



. Последнее же доказывает, что функция 
 
x
f
y


 убывает на промежутке 
.
X
 Теорема доказана. 

жүктеу/скачать 6,39 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: