Пәннің ОҚУ-Әдістемелік кешені «Орнықтылық теориясы»
жүктеу/скачать 0,55 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- -түрлендіруі.
- Н-түрлендіруі.
- Дұрыс жүйелер.
| 1-анықтама. нормалары шенелген жағдайда түрлендіруі Ляпунов түрлендіруі Ляпунов түрлендіруі деп аталады.
Төменде Ляпунов түрлендіруі мысалдарын келтіреміз. матрицаның диагональды бөлігі болсын. Мынадай түрлендіру матрицасын матрицасына көшіреді. Мұнда (диагональ емес элементтер басқаша түрлендіріледі). Демек, түрлендіру Ляпунов түрлендіруі болады, егер матрицалардың нормалары шенелген болса. Осындай түрлендірудің кейбір дербес жағдайларын қарастырайық. -түрлендіруі. Бұл түрлендіру диагональдың жорамал бөлігін жояды және А шенелген болса, үнемі Ляпунов түрлендіруі болады. Бұл былай анықталады: болсын, мұндағы және –сәйкес диагональды матрицалар. Айталық онда түрлендіруі унитар болады, өйткені және Ляпунов түрлендіруі болады, егер айнымалы шенелген болса ал бұл үшін А-ның шенелгендігі жеткілікті. Н-түрлендіруі. А шенелген болсын және оның диагоналі нақты болсын: Кез келген алайық, сонда және шенелген болғандықтан, онда бұл Ляпунов түрлендіруі болады. Бұл диагоналін диагоналіне ауыстырады. Ляпунов сызықтық жүйелердің классификациясын ұсынды, яғни тұрақты коэффициентті жүйелер және келтірімді жүйелер, келесі кеңейтілген класты құрайтын дұрыс жүйелер және қалған жүйелер класын құрайтын дұрыс емес жүйелер. Ляпунов классификациясының негізгі етіп әртүрлі кластар жүйелері көрсеткіштерінің сыртқы әсер күштер әсерінен өзгерті ерекшеліктері алынған. Дұрыс жүйелер. Айталық жүйе үшін (2) оның қалыпты фундаментальды шешімдер жүйесіне енетін шешімдердің характеристикалық көрсеткіштерінің қосындысы болсын. 2-анықтама. Сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесі ляпунов бойынша дұрыс деп аталады, егер оның шешімдерінің характеристикалық көрсеткіштерінің қосындысы жүйенің матрицасының ізінің орта мәнінің төменгі шегіне тең болса, яғни Лемма. Сызықтық дифференциалдық теңдеулердің (2) жүйесі дұрыс болады, сонда тек сонда ғана, егер: 1) жүйе матрицасы ізінің нақты бөлігінің орта мәнінің шегі бар болса 2) Ляпунов теңдігі орындалса. Келтірімді жүйелер мен дұрыс жүйелер арасындағы байланысты тағайындаған Ляпунов. 1-теорема. Сызықтық дифференциалдық теңдеулердің кез келген келтірімді жүйесі дұрыс болады. Айталық, (2) жүйесі келтірімді болсын, оның қалыпты фундаментальды матрицасы. Онда (3) болатындай Ляпунов матрицасы табылады, мұндағы (3) теңдіктен Остраградский – Лиувилль формуласын пайдаланайық деп белгілесек, Демек, ) аралығында шенелген болғандықтан, жоғарыдағы теңдіктен аламыз. Сонымен бірге қосындылар сәйкес және фундаментальды матрицалардың характреистикалық көрсеткіштердің қосындысы болсын. Ляпунов түрлендіруі кезінде характеристикалық көрсееткіштер сақталатындықтан, сонымен бірге қалыпты жүйе болса, -те қалыпты болады. Ал қалыпты матрица үшін характеристикалық көрсеткіштер сипаттаушы теңдеудің түбірлерінің нақты бөліктері. Сондықтан Сонымен, жүйе дұрыс. Дұрыс жүйелер келтірімді емес болуы мүмкін. Сызықтық жүйенің дұрыстық критерийлері ішіндегі негізгілер төмендегідей. жүктеу/скачать 0,55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|