Пәннің ОҚУ-Әдістемелік кешені «Орнықтылық теориясы»
жүктеу/скачать 0,55 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Келтірімді жүйелердің орнықтылығы аралықта үзіліссіз -өлшемді вектор-функциясын қарастырайық. 1-анықтама
| Еругин теоремасы. Сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесі келтірімді болу үшін оның қандай да бір фундаментальды матрицасы
мұндағы тәуелсіз айнымалы, тұрақты матрица түрінде жазылуы қажетті және жеткілікті. Дәлелдеуі. Қажеттілігі. Айталық, жүйе келтірімді болса, онда түрлендіру көмегімен сызықтық жүйеге түрлендіруге болады. (1) жүйенің фундаментальды матрицасы матрицалық теңдеуді қанағаттандырады. Бұдан , кез келген ерекше емес тұрақты матрица. деп алсақ , болады. Жеткіліктілігі. Айталық болсын. Бұдан жүйеде Ляпунов түрлендіруін жасайық. Сонда болғандықтан Бұдан тұрақты матрица. Келтірімді жүйелердің орнықтылығы аралықта үзіліссіз -өлшемді вектор-функциясын қарастырайық. 1-анықтама: вектор-функциясының сипаттамалық көрсеткіші деп (1) шаманы айтады. Бұл ақырлы сипаттамалық көрсеткіштің анықтамасы, біздің қарастыратын вектор-функциялар осындай көрсеткіштерге ие болады. (1) теңдіктің орындалуы (2) теңсіздігімен (3) теңдігінің кез келген оң саны үшін бір мезгілде орындалуымен пара-пар. Айталық, бізге , , (4) мұндағы -матрица, сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесі берілсін. , ерекше емес дифференциалданатын матрица болсын. Сонда мұндағы
Сонымен, кез келген сызықтық түрлендіру берілген жүйені сызықтық жүйеге көшіреді. қатысын кинематикалық ұқсастық деп атайды. Егер - тұрақты матрица болса, онда кәдімгі ұқсастық болады. Айталық, енді , (5) жүйеде және (6) теңдеуде коэффициенттер матрицасы интервалында аргументтің үзіліссіз шенелген функциясы болсын. Белгісіз функцияларының орнына , (7) түрендіруінің көмегімен жаңа белгісіз функцияларын енгізейік. түрлендіру матрицасына төмендегі шектеулерді қоямыз: 1 -ның интервалында үзіліссіз туындысы бар; 2 және матрицалары аралығында шенелген; 3 болатын тұрақтысы бар, яғни модуль бойынша анықтауышы төменнен оң тұрақтымен шенелген. 1-3 шарттарын қанағаттандыратын коэффициенттер матрицасы бар (7) түрлендіруін – Ляпунов түрлендіруі, ал матрицасын – Ляпунов матрицасы деп атайтын боламыз. Ляпунов түрлендіруі нөлдік шешім сипатын (орнықтылыққа қатысты) өзгертпейді. Сондықтан, бұл түрлендірулер берілген теңдеулер жүйелерін орнықтылыққа зерттегенде ықшамдау үшін қолданылуы мүмкін. Ляпунов түрлендіруі (5) жүйенің интегралдық матрицасын (5) жүйенің қандай да бір интегралдық матрицасына алмастырады және олардың арасында мынадай қатыс болады: (8) (*) жүйенің матрицалық жазылуы (9) түрде болады, мұндағы - (*) жүйенің коэффициенттер матрицасы. (6) теңдеудегі -тің орнына көбейтіндісін қоя отырып және (9) жүйеден алынған теңдеуді салыстыра отырып, матрицасы үшін және матрицаларымен өрнектелетін төмендегі формуланы оңай табамыз: . (10) 2-анықтама. (4) сызықты жүйе келтірімді деп аталады, егер оны қандай да бір (7) Ляпунов түрлендіруінің көмегімен (жалпы айтқанда L комплексті матрицасы бар) тұрақты матрицасы бар (11) жүйесіне келтіруге болса. жүктеу/скачать 0,55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|