Пәннің ОҚУ-Әдістемелік кешені «Орнықтылық теориясы»
Еругиннің келтірімділік критерийі
жүктеу/скачать 0,55 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Дәлелдеуі .
| Еругиннің келтірімділік критерийі. (4) сызықты біртекті дифференциалдық теңдеулер жүйесі келтірімді болады, сонда тек сонда ғана, егер (4) жүйенің
(12) болатындай фундаменталды матрицасы бар болса, мұндағы - Ляпунов матрицасы, - тұрақты матрица. Дәлелдеуі. Қажеттілігі. (4) жүйе келтірімді, сондықтан да (4)-ті стациионар жүйесіне келтіретін Ляпунов түрлендіруі бар болады. Y бұл жүйенің фундаменталды матрицасы болғандықтан, онда (4) жүйенің (12) түрінде берілген фундаменталды матрицасы бар болады. Жеткіліктілігі. (12) қатыстан мынаны аламыз: . (4) теңдеуіне (13) ауыстыруын жасап, мынаны аламыз: Осылайша (13) Ляпунов түрлендіруі (4) жүйені стациионар жүйесіне келтіреді, демек (14) жүйе келтірімді. 1-лемма. Ляпунов түрлендіруі (4) жүйенің сәйкес шешімінің Ляпунов (сипаттауыш) көрсеткішін өзгертпейді. Дәлелдеуі. Ляпунов матрицасының шенелгендігінен , мұндағы . Осылайша, матрицасының шенелгендігінен болатындығын аламыз. Бұдан . 1-леммадан, егер (4) жүйе (11) жүйеге келтірімді болса, онда (4) жүйенің шешімінің сипаттауыш көрсеткіші (11) жүйенің сәйкес шешімінің сипаттауыш көрсеткішімен сәйкес келеді. матрицасының меншікті мәндерін деп белгілейік. 2-лемма. Келтірімді жүйенің шешімінің сипаттауыш көрсеткіші артпайды. Дәлелдеуі. Бізге (11) стационар жүйесінің сипаттауыш көрсеткіші -дан артпайтындығын дәлелдесек жеткілікті. (11) жүйенің кез келген нөлдік емес шешімін төмендегідей түрде келтіруге болады: мұндағы - полиномдық вектор-функциялар, сонымен қатар, олардың ең болмағанда біреуі нөлдік емес. Онда Сондықтан да, Лемма дәлелденді. жүктеу/скачать 0,55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|