Пәннің ОҚУ-Әдістемелік кешені «Орнықтылық теориясы»
-ескерту. Егер матрицасы нақты болса, онда және матрицалары сондай-ақ нақты деп есептеуге болады. 3-теорема
жүктеу/скачать 0,55 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 3-теорема (Ляпунов)
| 2-ескерту. Егер матрицасы нақты болса, онда және матрицалары сондай-ақ нақты деп есептеуге болады.
3-теорема. (Дұрыс сызықты жүйелер үшін Коши матрицасының нормасын бағалау). Үзіліссіз, шектеулі және нақты матрицасы бар (1) сызықты біртекті теңдеулер жүйесі дұрыс және (12) оның шешімінің нақты фундаменталды матрицасы болсын деп ұйғарайық. Айталық, - фундаменталды матрицасын құрайтын шешімінің сипаттауыш көрсеткіші және Коши матрицасы болсын. Егер барлық сипаттауыш көрсеткіштер теріс болса, онда кез келген үшін және кез келген үшін қандай да бір болғанда төмендегі теңсіздік орындалады (13) Дәлелдеуі. Диагональды матрица енгізейік: . Сонда мынаны аламыз Бұдан (*) Енді кері матрицасын қарастырайық. Оның вектор–жолының сипаттауыш көрсеткіші болады. Сондықтан да және Осының нәтижесінде мынадай бағалауды аламыз мұндағы , - кез келген оң сан және - -ға тәуелді оң тұрақты. Бұдан ақырсыз аз үшін теңсіздігі дұрыс болғандықтан, (13) бағалауды аламыз. Теорема дәлелденді. (14) үзіліссіз, шектеулі, нақты матрицасы бар нақты сызықты емес жүйені қарастырайық, мұнда барлық үшін , облысында , , сонымен қатар болатындай қандай да бір оң үзіліссіз функциясы үшін (15) теңсіздігі орындалсын. Матрицаның нормасы төмендегідей анықталады: 3-теорема (Ляпунов). Егер (16) бірінші жуыктау жүйесі дұрыс және оның барлық сипаттауыш көрсеткіштері теріс, сонымен қатар (15) сызықты еместік шарты орындалса, онда (14) жүйенің нөлдік шешімі экспонентті орнықты болады. Дәлелдеуі. оң санын болатындай етіп еңгізейік. (14) жүйенің шешіміне мынадай түрлендіру жасайық: . Бұдан -ке қатысты төмендегідей жүйені аламыз: (17) мұндағы (18) сондай-ақ, ,. (17) үшін бірінші жуықтау жүйесін қарастырайық: (19) (19) жүйенің сипаттауыш көрсеткіштерін деп белгілейік. болатындығы айқын. (16) жүйе дұрыс болғандықтан Сондықтан Демек (19) жүйе дұрыс. (19) жүйе шешімінің нормаланған фундаменталды матрицасын деп белгілейік. бастапқы шарты бар (19) сызықты емес жүйені оған тепе-тең (20) мұндағы . Дифференциалдық теңдеулер жүйесі шешімінің бар болуы туралы локальді теореманың негізінде болатындай кез келген жұбы үшін (17) жүйенің шешімі бар болады, ал ендеше аралығында анықталған және осы аралықта теңсіздігін қанағаттандыратын, мұнда негізінде -ға тәуелді, шартын қанағаттандыратын (20) интегралдық теңдеудің де шешімі болады. теңсіздігінен (21) болатындай оң тұрақтысы бар болады. Сонымен қатар, 3-теорема бойынша кез келген үшін (22) теңсіздігі орындалады. Енді (15) және (18) формулалардың негізінде болғанда мынаны аламыз: мұндағы - жеткілікті үлкен оң тұрақты. болғанда (20) интегралдық теңдеудің сол жағын нормасы бойынша бағаласақ мынаны аламыз: немесе (жоғарыда үшін алынған бағалауды ескерсек) (23) оң санын болатындай соншалықты кішкентай етіп таңдап аламыз. Онда болғанда (23)-тен келесі теңсіздік шығады: (24) мұндағы . (24) теңсіздіктен Бихари леммасының 1-салдарының негізінде төмендегі теңсіздікті аламыз: (25) егер тек (26) болатын болса. Алайда болғандықтан (26) теңсіздікті бастапқы берілгендерінің жеткілікті аз төңірегінің есебінен әрқашанда орындалады деп санауға болады. (25)-тен, егер шамасы жеткілікті аз болса, онда кез келген үшін нүктесі облысының ішкі нүктесі болып табылады. Бұдан шешімі оңға қарай шексіз жалғасады, яғни деп есептеуге болады. Сонымен, (27) Мұндағы, - қандай да бір тұрақты. (27)-де бастапқы айнымалысына оралсақ, болғанда мынаны аламыз: Мұндағы, -оң тұрақтысы ақырсыз аз. Демек, (14) сызықты емес жүйенің нөлдік шешімі экспонентті орнықты. Теорема дәлелденді. №15 дәріс жүктеу/скачать 0,55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|