Вычисление обратной матрицы методом Гаусса

3.4. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса

Пусть дана неособенная матрица

Таким образом, получим n систем линейных уравнений для j = 1, 2, ..., n, имеющих одну и ту же матрицу коэффициентов A и различные столбцы - свободные члены, которые можно одновременно решить методом Гаусса.

Рассмотрим это подробнее, вычислив матрицу, обратную :

Разделив все коэффициенты первой строки на a₁₁ = 2, получим первую главную строку (обратите внимание, что с n столбцами свободных членов проводятся те же действия, что и с одним):

1.0 0.5 -0.05 0.5 0.5 0 0 0

1.0 13.4 -29 -0.6667 3.333 0 0

Для проверки перемножим полученную обратную матрицу и исходную (должны получить единичную):

Благодаря округлению, убеждаемся, что обратная матрица вычислена неточно. В дальнейшем можно показать, как методом простой итерации можно уточнить A^-1.

3.5. Вычисление определителей методом Гаусса

Пусть дана исходная матрица

. (3.23)

Необходимо вычислить  = det A.

Вспомним свойства определителей:

• 
  для того чтобы умножить (разделить) определитель на какое либо число, достаточно умножить (разделить) на это число строку или столбец:
  

; (3.24)

• 
  значение определителя не изменится, если его строку заменить суммой этой строки и другой, умноженной на произвольное число.
  

Учитывая это свойство, умножая первую строку последовательно на a₂₁, a₃₁, ..., a_n1 и вычитая из второй, третьей и т.д., получим


; (3.25)

• 
  величина определителя равна сумме произведений элементов строки (столбца) на (-1)^i+j |A|_{i j}, где |A|_{i j} – соответствующие миноры.
  

Используя это свойство, представим определитель как сумму произведений элементов первого столбца на соответствующие миноры. При этом учтем, что за исключением первого элемента значения остальных элементов столбца равны нулю.
Таким образом, мы понизили порядок определителя на 1. Применим к полученному определителю порядка n - 1 такие же преобразования. Выполняя n шагов, найдем определитель  как произведение ведущих элементов:


(3.26)

жүктеу/скачать 1,04 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: